2017春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)16二次根式教案新版新人教版

PAGE第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,并能靈活運(yùn)用其對(duì)二次根式進(jìn)行加減.1.通過先提出問題,讓學(xué)生探討、分析問題,師生共同歸納得出概念,再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析,得出幾個(gè)重要結(jié)論,并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).2.讓學(xué)生用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,采用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法法則,并運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算.3.讓學(xué)生利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法法則的逆向等式,并運(yùn)用它們進(jìn)行化簡(jiǎn).4.通過分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果,抓住它們的共同特點(diǎn),給出最簡(jiǎn)二次根式的概念.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念,讓學(xué)生對(duì)被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并,達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的.1.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力,培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.2.經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論和二次根式的乘除法法則,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.二次根式是新課標(biāo)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,它是在前面平方根、立方根的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,是對(duì)代數(shù)式及實(shí)數(shù)等內(nèi)容的延伸與補(bǔ)充.同時(shí),也是后繼學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的邊角關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).因此,本章的相關(guān)知識(shí)對(duì)于整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)有著承前啟后的重要意義.本章內(nèi)容分為三節(jié),第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì);第二節(jié)是二次根式的乘法和除法運(yùn)算,主要研究二次根式的乘除法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn);第三節(jié)是二次根式的加法和減法運(yùn)算,主要研究二次根式的加減法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn).【重點(diǎn)】1.對(duì)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式乘除法的法則及其運(yùn)用.3.最簡(jiǎn)二次根式的概念.4.二次根式的加減運(yùn)算.【難點(diǎn)】1.對(duì)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式的乘法、除法的條件限制.3.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.1.通過前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道了平方根、立方根的概念和求法,實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算,對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍,并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受.因此,本章應(yīng)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系.同時(shí),本章內(nèi)容與整式也有著密切的聯(lián)系.由于數(shù)式通性,當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母時(shí),二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算,所以整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.因此本章強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系.2.對(duì)于一些重要結(jié)論,要注意經(jīng)歷觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過程.例如,對(duì)于二次根式的乘法法則,首先利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行具體的計(jì)算,并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系,并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算,再歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則.這個(gè)過程實(shí)際上就是反映了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程.要通過這樣的探究活動(dòng)來發(fā)展我們的思維能力,有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.3.熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練,可以適當(dāng)增加練習(xí),以便較好地理解二次根式的意義,較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).16.1二次根式2課時(shí)16.2二次根式的乘除2課時(shí)16.3二次根式的加減2課時(shí)單元概括整合1課時(shí)16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.2.掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn).3.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,會(huì)判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識(shí).【重點(diǎn)】會(huì)求二次根式中字母的取值范圍,理解和掌握二次根式的性質(zhì),熟練化簡(jiǎn)二次根式.【難點(diǎn)】運(yùn)用二次根式的雙重非負(fù)性解決問題,二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.第課時(shí)使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識(shí).【重點(diǎn)】了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.【難點(diǎn)】會(huì)求二次根式中字母的取值范圍.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平方根和立方根的有關(guān)知識(shí).導(dǎo)入一:唐僧師徒在萬壽山五莊觀做客.豬八戒來到后花園,看見人參果樹上結(jié)滿了人參果,嘴饞得直流口水.正準(zhǔn)備伸手摘時(shí),突然一道金光,在同一個(gè)枝頭上一大一小的兩個(gè)果子同時(shí)掉了下來,噗的一聲同時(shí)著地.有愛好數(shù)學(xué)的電視迷算了人參果下落的時(shí)間t與h之間的關(guān)系式為t=,你覺得他算的正確嗎?要解決這個(gè)問題,我們得從二次根式說起.[設(shè)計(jì)意圖]將數(shù)學(xué)問題融入到學(xué)生喜愛的神話故事中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,為探究本節(jié)課奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.教師出示復(fù)習(xí)題:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.

(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.

學(xué)生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16沒有平方根.(2)5的平方根是±;5的算術(shù)平方根是.2.教師出示教材第2頁“思考”題:用帶有根號(hào)的式子填空,看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn):(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為.

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄,長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130m2,則它的寬為m.

(3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下時(shí)離地面的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t為.

學(xué)生思考后回答,教師補(bǔ)充得出答案:(1),;(2);(3).[設(shè)計(jì)意圖]以回顧練習(xí)和思考的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶,鞏固所學(xué)知識(shí),并引入新課.1.二次根式的概念思路一[過渡語](針對(duì)導(dǎo)入二)讓我們一起來看下面的問題:上面得到的式子,,,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根.討論:你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號(hào).追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”?教師引導(dǎo)學(xué)生舉出例子說明,經(jīng)過討論知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系,體會(huì)研究二次根式的必要性,再讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力,最后通過討論二次根式中被開方數(shù)a≥0,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解.思路二像,,,這樣的式子有什么共同特點(diǎn)呢?學(xué)生觀察,交流發(fā)現(xiàn):一是從形式上看,都含有二次根號(hào);二是被開方數(shù)的取值范圍有限制:被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).教師進(jìn)一步明確:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引導(dǎo)學(xué)生說一說對(duì)二次根式的認(rèn)識(shí):(1)表示a的算術(shù)平方根;(2)a可以是數(shù),也可以是代數(shù)式;(3)從形式上看,含有二次根號(hào);(4)a≥0,≥0.[設(shè)計(jì)意圖]加深對(duì)二次根式的理解,進(jìn)一步明確二次根式的非負(fù)性.2.例題講解[過渡語]二次根式的定義怎樣理解?讓我們一起來學(xué)習(xí)幾個(gè)例題.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被開方數(shù).,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引導(dǎo)學(xué)生觀察根指數(shù)和被開方數(shù)分析發(fā)現(xiàn):顯然不是二次根式(因?yàn)樗母笖?shù)是4,含有四次根號(hào)),其余式子都含有二次根號(hào),關(guān)鍵看根號(hào)下的被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若根號(hào)下是負(fù)數(shù),則二次根式?jīng)]有意義.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被開方數(shù)依次是7,x-3,(x+1)2,.[解題策略]①當(dāng)被開方數(shù)形式是含有字母的代數(shù)式時(shí),可以把這個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體.如的被開方數(shù)是x2+2015.②當(dāng)被開方數(shù)形式比較復(fù)雜時(shí),可以將這個(gè)被開方數(shù)適當(dāng)化簡(jiǎn).如,因?yàn)?-3)2-7=9-7=2,所以它的被開方數(shù)其實(shí)就是2.【變式訓(xùn)練】下列各式中,一定是二次根式的是()A.B.C.D.(其中a<0)〔解析〕的被開方數(shù)-9<0,的被開方數(shù)m-1可能是負(fù)數(shù),的根指數(shù)是3,所以選項(xiàng)A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根號(hào),并且無論a取什么負(fù)數(shù),被開方數(shù)a2+8都是正數(shù),所以一定是二次根式.故選D.(教材例1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考:二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),則x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.當(dāng)x≥2時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.【變式訓(xùn)練】若式子1+有意義,則x的取值范圍是.

〔解析〕根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知:x+1≥0,即x≥-1;又因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?,所以x的取值范圍是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易錯(cuò)分析]容易產(chǎn)生只考慮到x+1≥0,而忽略了x≠0的錯(cuò)誤.[設(shè)計(jì)意圖]通過變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解,提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移能力和應(yīng)用意識(shí).[知識(shí)拓展](1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)果和形式上界定的,必須含有二次根號(hào)“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被開方數(shù)可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b與的乘積,如3表示3×,-表示-×,但是不能寫成3的形式.(4)當(dāng)a≥0時(shí),表示a的算術(shù)平方根.也就是說,有意義的條件是a≥0.(5)當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),(其中a≥0)本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù).師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被開方數(shù)是a被開方數(shù)也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等二次根式有意義的條件被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)求解二次根式中字母的取值范圍,要注意根號(hào)下的式子整體不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:的被開方數(shù)不是非負(fù)數(shù),所以不是二次根式,其余3個(gè)都是二次根式.故選C.2.(2014·南通中考)若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.則解得x>.故選C.3.當(dāng)x=時(shí),二次根式有最小值,其最小值是.

解析:∵二次根式有意義,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范圍:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù).(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù).(3)因?yàn)闊o論a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù).(4)因?yàn)闊o論a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù).第1課時(shí)1.二次根式的概念2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第3頁練習(xí)第1,2題;教材第5頁習(xí)題16.1第1題.【選做題】教材第5頁習(xí)題16.1第7題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.若是二次根式,則下列結(jié)論正確的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同號(hào)D.≥02.已知實(shí)數(shù)x,y,m滿足+=0,且y為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意義,那么在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.(2015·遵義中考)使二次根式有意義的x的取值范圍是.

【能力提升】5.當(dāng)x時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,則xy=.

7.已知x,y為實(shí)數(shù),且滿足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知實(shí)數(shù)a滿足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n滿足關(guān)系式+=·,試確定m的值.【答案與解析】1.D(解析:依題意得≥0,即≥0.故選D.)2.A(解析:根據(jù)題意,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得=0,=0,所以解得因?yàn)閥是負(fù)數(shù),所以6-m<0.解得m>6.故選A.)3.A(解析:根據(jù)二次根式有意義的條件,易得a>0,b>0.故選A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意義,則需滿足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足的被開方數(shù)2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴當(dāng)x≥-且x≠-1時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.)6.9(解析:由題意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化為a-2014+=a.∴=2014.兩邊平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右邊,根據(jù)二次根式有意義的條件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,兩式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我們經(jīng)常說過程比結(jié)果更重要.我對(duì)整節(jié)課的設(shè)計(jì)力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的教學(xué)情境,使學(xué)生始終處在好奇、好學(xué)的高亢的學(xué)習(xí)情緒當(dāng)中,同時(shí),整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學(xué)生學(xué)有情趣,學(xué)有所獲,并由衷感到:學(xué)習(xí)是快樂的事,學(xué)會(huì)了更是幸福的事.在教學(xué)中,我適當(dāng)增加了有拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),想使不同的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材中練習(xí)題的局限,就當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù)的練習(xí)沒有落實(shí)到位.根據(jù)教學(xué)時(shí)間多少調(diào)整例題教學(xué),適當(dāng)增加對(duì)二次根式非負(fù)性的例題的講解,注重變式練習(xí),以加深對(duì)二次根式具有雙重非負(fù)性的理解.練習(xí)(教材第3頁)1.解:設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為3acm,2acm.由題意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)取3cm,寬取2cm.2.解:(1)當(dāng)a-1≥0,即a≥1時(shí),有意義.(2)當(dāng)2a+3≥0,即a≥-時(shí),有意義.(3)當(dāng)-a≥0,即a≤0時(shí),有意義.(4)當(dāng)5-a≥0時(shí),即a≤5時(shí),有意義.若x,y為實(shí)數(shù),且滿足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于0,求得x,y的值,然后將其代入所求的代數(shù)式并計(jì)算.解:由二次根式有意義的條件得即x2-4=0,所以x=±2.當(dāng)x=±2時(shí),y=-3.①當(dāng)x=2,y=-3時(shí),x+2y=2+2×(-3)=-4;②當(dāng)x=-2,y=-3時(shí),x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解題策略]根據(jù)已知得出并得到x=±2是解決本題的關(guān)鍵.已知(3a-6)2+=0,求ba的值.〔解析〕根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì):若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0,解出a,b的值,再代入原式中計(jì)算.解:因?yàn)?3a-6)2與都是非負(fù)數(shù),且它們的和為0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此時(shí)ba=32=9.[解題策略]本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù):(1)絕對(duì)值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當(dāng)它們的和為0時(shí),必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類問題.第課時(shí)1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),會(huì)用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.3.了解代數(shù)式的概念.在明確()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的過程中,感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性.通過運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)的相關(guān)計(jì)算,解決一些實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.【重點(diǎn)】掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn).【難點(diǎn)】能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】自學(xué)教材第3~4頁的內(nèi)容.導(dǎo)入一:教師出示問題:先化簡(jiǎn)再求值:當(dāng)a=9時(shí),求a+值,甲、乙兩人的解答如下:甲的解答為:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答為:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.兩種解答中,誰的解答是錯(cuò)誤的呢?本節(jié)課,我們一起來學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問題了.[設(shè)計(jì)意圖]以問題設(shè)疑,發(fā)揮問題導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生的求知欲,為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.什么叫二次根式?2.當(dāng)a≥0時(shí),叫什么?當(dāng)a<0時(shí),有意義嗎?學(xué)生口答,老師點(diǎn)評(píng).通過前面的學(xué)習(xí),我們知道了二次根式具有雙重非負(fù)性.今天我們主要學(xué)習(xí)一些二次根式的其他性質(zhì).[設(shè)計(jì)意圖]復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新知,讓本節(jié)課自然過渡,為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).思路一1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0)[過渡語]我們先來探究性質(zhì)1:()2=a(a≥0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?()2,()2,,()2.學(xué)生口述,教師根據(jù)情況評(píng)價(jià).()2表示4的算術(shù)平方根的平方;()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方;()2表示0的算術(shù)平方根的平方.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).()2=;()2=;=;()2=.

學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于2的非負(fù)數(shù),因此有()2=2.是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于的非負(fù)數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有()2=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a≥0).(教材例2)計(jì)算:(1)()2;(2)(2)2.學(xué)生獨(dú)立完成,兩名學(xué)生板演,再集體訂正.〔解析〕(1)直接運(yùn)用()2=a(a≥0)化簡(jiǎn)即可.(2)運(yùn)用冪的性質(zhì)(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解題策略]把底數(shù)看成根號(hào)外因數(shù)與二次根式的積,按照積的乘方計(jì)算即可.【變式訓(xùn)練】計(jì)算:(-2)2.〔解析〕把原式的底數(shù)看成是-2與的積,先利用(mn)2=m2n2,再根據(jù)()2=a(a≥0)化簡(jiǎn).解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知識(shí)拓展]形如(x)2的關(guān)于二次根式的運(yùn)算可結(jié)合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題和變式訓(xùn)練及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)1,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0)[過渡語]我們?cè)賮硖骄恳幌滦再|(zhì)2:=a(a≥0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?,,,.教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根;表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)平方根.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).=;=;=;=.

學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù).即=a(a≥0).(教材例3)化簡(jiǎn):(1);(2).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)=a(a≥0)進(jìn)行分析:(1)因?yàn)?6=42,所以=,再計(jì)算即可得出結(jié)果.(2)因?yàn)?-5)2=52,所以=.學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.解:(1)==4.(2)==5.[知識(shí)拓展](1)中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù),即不論a取何值,一定有意義.(2)化簡(jiǎn)時(shí),一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),若是正數(shù)或0,則等于a本身,即=a(a≥0);若a是負(fù)數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即=-a(a<0).小組討論:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題練習(xí)及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)2.思路二請(qǐng)同學(xué)們閱讀和自學(xué)課本第3~4頁的內(nèi)容,并思考下面的問題:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.

(2)猜想當(dāng)a≥0時(shí),()2=.

2.(1)觀察下列各式的特點(diǎn),找出各式的共同規(guī)律,并用表達(dá)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.==;==;==;==;….

通過觀察,你得到的結(jié)論是什么?試著說一說.(2)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a≥0時(shí),=,當(dāng)a<0時(shí),=.

學(xué)生用充足的時(shí)間學(xué)習(xí)后,交流學(xué)習(xí)情況,教師分析并講解.1.(1)根據(jù)算術(shù)平方根與乘方運(yùn)算的關(guān)系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根據(jù)以上規(guī)律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)從第(1)問可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a≥0).2.先計(jì)算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一個(gè)正數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù),一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù).于是當(dāng)a≥0時(shí),=a,當(dāng)a<0時(shí),=-a.歸納并板書:二次根式的性質(zhì):1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提問:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=[設(shè)計(jì)意圖]在計(jì)算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、歸納得出二次根式的兩個(gè)性質(zhì),并從式子的意義和結(jié)果進(jìn)行比較,得出二者之間的關(guān)系.3.代數(shù)式提問:回顧我們學(xué)過的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),這些式子有哪些共同特征?學(xué)生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念.這些式子都是用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.學(xué)生舉出一些例子,并書寫,教師針對(duì)學(xué)生書寫出現(xiàn)問題的地方進(jìn)行指導(dǎo).[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生通過觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.4.例題講解(補(bǔ)充)計(jì)算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化簡(jiǎn),注意被開方數(shù)的符號(hào).解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(補(bǔ)充)比較2與3的大小.〔解析〕直接比較這兩個(gè)二次根式的大小不太容易,由于這兩個(gè)二次根式平方后得到兩個(gè)有理數(shù),因此可以通過比較這兩個(gè)二次根式平方的大小來比較它們的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)()2=a(a≥0)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方,其結(jié)果仍然是它本身被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)=|a|=任何實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根是它的絕對(duì)值底數(shù)a可以是任何實(shí)數(shù)代數(shù)式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式①式子中不能出現(xiàn)“=,≠,≥,≤,<,>”;②單個(gè)的數(shù)字或單個(gè)的字母也是代數(shù)式1.計(jì)算的結(jié)果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故選B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代數(shù)式的個(gè)數(shù)是()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)解析:③a-1=6是方程,不是代數(shù)式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代數(shù)式;其余都是代數(shù)式.故選C.3.+的值是.

解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)當(dāng)x時(shí),=2-x成立;

(2)計(jì)算=.

解析:(1)當(dāng)x-2≤0時(shí),=2-x,所以x≤2;(2)因?yàn)?<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.計(jì)算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2課時(shí)1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性質(zhì)2:=a(a≥0)例23.代數(shù)式4.例題講解例3例4一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁練習(xí)第1,2題;教材第5頁習(xí)題16.1第2,3,4,5,6題.【選做題】教材第5頁習(xí)題16.1第7,8,9,10題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.已知二次根式的值為3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,則()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整數(shù)),則k等于()A.6B.7C.8D.94.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡(jiǎn)-|a+b|的結(jié)果為()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一個(gè)正整數(shù),則正整數(shù)m的最小值是.

6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)x2-3=;

(2)n5-6n3+9n=.

7.列出下列代數(shù)式:(1)面積為3的圓的半徑;(2)面積為S且兩條鄰邊之比為3∶5的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬.8.計(jì)算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化簡(jiǎn),再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.對(duì)于題目“化簡(jiǎn)并求值:+,其中a=”,甲、乙兩人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.誰的解答是錯(cuò)誤的?為什么?【答案與解析】1.D(解析:根