2023學(xué)年湖北省黃岡市晉梅中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若曲線(xiàn)上始終存在兩點(diǎn)，，使得，且的中點(diǎn)在軸上，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．在中，角的對(duì)邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．324．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，若在中，，則（）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．7．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）A． B． C． D．8．已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則()A．1 B． C． D．9．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線(xiàn)或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線(xiàn)；②x、y是直線(xiàn)，z是平面；③z是直線(xiàn)，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②10．一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．11．平行四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別滿(mǎn)足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．12．若非零實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行四邊形中，，為邊上一點(diǎn)（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點(diǎn)均在一個(gè)球面上，當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，球的表面積為_(kāi)_______.14．已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接，則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________．15．如果拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是6，那么______.16．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量與向量共線(xiàn).（1）求B；（2）若，，且，求BD的長(zhǎng)度.18．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線(xiàn)，不等式恒成立，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求證：.20．（12分）已知?jiǎng)訄AE與圓外切，并與直線(xiàn)相切，記動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線(xiàn)C.（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，若曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P使得，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為1，并且22．（10分）網(wǎng)絡(luò)看病就是國(guó)內(nèi)或者國(guó)外的單個(gè)人、多個(gè)人或者單位通過(guò)國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對(duì)自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢(xún)問(wèn)、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此，實(shí)地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式，最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病，實(shí)地看病的滿(mǎn)意程度，在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名，將他們分成兩組，每組15人，分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病，實(shí)地看病兩種方式進(jìn)行滿(mǎn)意度測(cè)評(píng)，根據(jù)患者的評(píng)分（滿(mǎn)分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷患者對(duì)于網(wǎng)絡(luò)看病、實(shí)地看病那種方式的滿(mǎn)意度更高？并說(shuō)明理由；（2）若將大于等于80分視為“滿(mǎn)意”，根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下面的列聯(lián)表：滿(mǎn)意不滿(mǎn)意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病實(shí)地看病總計(jì)并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿(mǎn)意度與看病方式有關(guān)？（3）從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿(mǎn)意”的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

根據(jù)中點(diǎn)在軸上，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，，（）.對(duì)分成三類(lèi)，利用則，列方程，化簡(jiǎn)后求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【題目詳解】根據(jù)條件可知，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無(wú)解；若，顯然不滿(mǎn)足；若，則，由，即，即，因?yàn)椋院瘮?shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，?故選D.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.2、C【答案解析】

由，可得，化簡(jiǎn)利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【題目詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、A【答案解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【題目詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，故.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【答案解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，，得到，，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【題目詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，且，所以，即，所以，即故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5、B【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】

先由三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式可求.【題目詳解】解：角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，故選：B【答案點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【題目詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.8、D【答案解析】，則故選D.9、C【答案解析】

①舉反例，如直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行判斷.③用垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【題目詳解】①當(dāng)直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€(xiàn)平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€(xiàn)的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【答案點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線(xiàn)面關(guān)系，選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.10、A【答案解析】

求出滿(mǎn)足條件的正的面積，再求出滿(mǎn)足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【題目詳解】滿(mǎn)足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿(mǎn)足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、C【答案解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【題目詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后，然后取絕對(duì)值作差比較可得．【題目詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

依題意可得、、、四點(diǎn)共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱錐體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)面面時(shí)體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【題目詳解】解：依題意可得、、、四點(diǎn)共圓，所以因?yàn)?，所以，，所以三角形為正三角形，則，，利用余弦定理得即，解得，則所以，當(dāng)面面時(shí)，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計(jì)算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14、【答案解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，設(shè)圓半徑為R，其中滿(mǎn)足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR，則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==；故答案為：．15、【答案解析】

先求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為6，列出，直接求出結(jié)果.【題目詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意得，解得.∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，∴，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【答案解析】

（1）根據(jù)共線(xiàn)得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）∵與共線(xiàn)，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、（1）（2）【答案解析】

（1）由已知條件列出關(guān)于和的方程，并計(jì)算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出，分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【題目詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設(shè)，．當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，，且此時(shí)，，當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為【答案點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，求解過(guò)程中需要分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況，并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計(jì)算量.19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【答案解析】

（1）利用求導(dǎo)數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再證異號(hào)，即可證明結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時(shí)，恒成立，設(shè)（），需，根據(jù)（1）中的結(jié)論先求出，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，證明即可.【題目詳解】（1），令，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?，，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)（），所以.由（1）可知，，使，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)?，所以，從而，所?令，，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，故.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.20、（1）；（2）.【答案解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交則，結(jié)合由得到的斜率關(guān)系，即可求得斜率的范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，并與直線(xiàn)相切，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線(xiàn)的距離大.因?yàn)閳A的半徑為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以圓心的軌跡為拋物線(xiàn)，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線(xiàn)的方程.（2）設(shè)，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查由拋物線(xiàn)定義求拋物線(xiàn)方程，涉及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.21、（1）x22+y2【答案解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域．【題目詳解】（1）因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，所以a=2又由右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為1，得|m|1+k2聯(lián)立直線(xiàn)l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時(shí)，S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【答案點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這