平行四邊形性質(zhì)和判定(含答案)

-.z.--.--總結(jié)平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題精選一．解答題〔共26小題〕1．〔2011?資陽〕如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．〔1〕求證：BE=DF；〔2〕假設(shè)M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀〔不必說明理由〕．〔2011?〕如下圖，平行四邊形AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過點(diǎn)O，分別與AE，CF交于B，D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．3．〔2011?〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．〔1〕求證：△ABE≌△CDF；〔2〕假設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．〔2011?銅仁地區(qū)〕：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF=AD．5．〔2011?〕如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE∥AB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，猜測(cè)線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．6．〔2010?恩施州〕如圖，，平行四邊形ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)．求證：四邊形MFNE是平行四邊形．8．〔2009?來賓〕在平行四邊形ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE、DF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．9．〔2006?黃岡〕如下圖，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE．10.〔2002?〕如圖：D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分．11．：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，四邊形AODE是平行四邊形．求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形．12．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上．求證：EF和GH互相平分．13．如圖：平行四邊形ABCD中，MN∥AC，試說明MQ=NP．14．：如下圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O并且分別和AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為OA，OC的中點(diǎn)．求證：四邊形EHFG是平行四邊形．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG．〔1〕求證：四邊形GEHF是平行四邊形；〔2〕假設(shè)點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則〔1〕中的結(jié)論是否成立？〔不用說明理由〕16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點(diǎn)F，連接AE、CF．〔1〕求證：AF=CE；〔2〕如果AC=EF，且∠ACB=135°，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．17．如圖平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，DF=2〔1〕求證：D是EC中點(diǎn)；〔2〕求FC的長．18．〔2010?〕如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．〔1〕求證：四邊形EFCD是平行四邊形；〔2〕假設(shè)BF=EF，求證：AE=AD．19．〔2010?濱州〕如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．〔1〕請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；〔2〕假設(shè)使四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？23．平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O〔0，0〕、A〔2，0〕、B〔1，1〕，則第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？20．〔2008?〕如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形．〔1〕當(dāng)AB≠AC時(shí)，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；〔2〕當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件．21．〔2007?〕在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．假設(shè)點(diǎn)P在BC邊上〔如圖1〕，此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB．請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決以下問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在△ABC內(nèi)〔如圖2〕，△ABC外〔如圖3〕時(shí)，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，不需要證明。25．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是A〔﹣3，〕，B〔﹣2，3〕，C〔2，3〕，點(diǎn)D在第一象限．〔1〕求D點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕將平行四邊形ABCD先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度所得的四邊形A1B1C1D1四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？〔3〕求平行四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1重疊局部的面積？22．〔2006?〕如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)〔不在直線AC上〕，∠ACB=90°，M為AB邊中點(diǎn)．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE．探究：〔1〕請(qǐng)猜測(cè)與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；〔2〕請(qǐng)你利用圖2，圖3選擇不同位置的點(diǎn)P按上述方法操作；〔3〕經(jīng)歷〔2〕之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖2或圖3加以說明；〔注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分〕〔4〕假設(shè)將"Rt△ABC〞改為"任意△ABC〞，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論〔直接寫答案〕．24．平行四邊形ABCD的周長為36cm，過D作AB，BC邊上的高DE、DF，且cm，，求平行四邊形ABCD的面積．26．如下圖．平行四邊形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求證：BE=CF．答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．解答題〔共30小題〕1．〔2011?資陽〕如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．〔1〕求證：BE=DF；〔2〕假設(shè)M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀〔不必說明理由〕．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。分析：〔1〕根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和條件證明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；〔2〕根據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形MENF的形狀．解答：〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF〔A．A．S．〕，∴BE=DF；〔2〕四邊形MENF是平行四邊形．證明：有〔1〕可知：BE=DF，∵四邊形ABCD為平行四邊行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四邊形MENF是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)．2．〔2011?〕如下圖，?AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過點(diǎn)O，分別與AE，CF交于B，D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．解答：證明：∵四邊形AECF是平行四邊形∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題考察平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．3．〔2011?〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．〔1〕求證：△ABE≌△CDF；〔2〕假設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；〔2〕由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO．解答：證明：〔1〕∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF〔HL〕；〔2〕∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO．點(diǎn)評(píng)：此題考察了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．〔2011?銅仁地區(qū)〕：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF=AD．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：由DE、DF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又∠BAC=90°，則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等即可得EF=AD．解答：證明：∵DE，DF是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC=90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，∴EF=AD．點(diǎn)評(píng)：此題考察了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．〔2011?〕如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE∥AB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，猜測(cè)線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)CE∥AB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，求證△ADO≌△ECO，然后求證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論．解答：解：猜測(cè)線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等．證明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CDAE．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證△ADO≌△ECO，然后可得證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論．6．〔2010?恩施州〕如圖，，?ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)．求證：四邊形MFNE是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解容許先分析題目中給的哪一方面的條件多些，此題所給的條件為M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用"一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形〞來解決．解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB又∵M(jìn)、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，∴ME=NF又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四邊形MFNE為平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．7．〔2009?永州〕如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．求證：四邊形AECF是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩條對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形．解答：證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四邊形AECF為平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．8．〔2009?來賓在?ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE、DF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：由題意先證∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS證△DCF≌△BAE，繼而題目得證．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等邊三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE〔SAS〕．∴DF=BE．∴四邊形BEDF是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相照應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．9．〔2006?黃岡〕如下圖，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBCE是平行四邊形，即可證明BC=DE．解答：證明：∵E是AC的中點(diǎn)，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四邊形DBCE是平行四邊形．∴BC=DE．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相照應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．10．〔2006?〕：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停頓．點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)即停頓，直線PQ截梯形為兩個(gè)四邊形．問當(dāng)P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：假設(shè)四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，則QD=CQ或AP=BQ，根據(jù)這個(gè)結(jié)論列出方程就可以求出時(shí)間．解答：解：設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．〔1〕假設(shè)四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；〔2〕假設(shè)四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四邊形APQB是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)結(jié)合梯形的知識(shí)出題學(xué)生不是很適應(yīng)．11．〔2002?〕如圖：D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定，就必須先四邊形ADEF為平行四邊形．解答：證明：∵D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四邊形ADEF為平行四邊形．故AE與DF互相平分．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．12．：如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，四邊形AODE是平行四邊形．求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：因?yàn)?ABCD，OB=OD，又AODE是平行四邊形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形ABOE是平行四邊形．同理，也可推出四邊形DCOE是平行四邊形．解答：證明：∵?ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，∴OB=OD，又∵四邊形AODE是平行四邊形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形DCOE也是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題要求掌握平行四邊形的判定定理：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．13．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上．求證：EF和GH互相平分．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證明．解答：證明：連接EG、GF、FH、HE，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四邊形EGFH為平行四邊形．∴EF與GH互相平分．點(diǎn)評(píng)：此題考察的是綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理．熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相照應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．14．如圖：?ABCD中，MN∥AC，試說明MQ=NP．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得AC=MQ，再證APNC為平行四邊形，得AC=NP，進(jìn)而求解．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵M(jìn)N∥AC，∴四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形．∴AC=MQAC=NP．∴MQ=NP．點(diǎn)評(píng)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．15．：如下圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O并且分別和AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為OA，OC的中點(diǎn)．求證：四邊形EHFG是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證OG=OH，OE=OF，可分別由四邊形ABCD是平行四邊形和△OEB≌△OFD得出．解答：證明：如答圖所示，∵點(diǎn)O為平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分別為OA，OC的中點(diǎn)，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四邊形EHFG為平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察平行四邊形的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．16．如圖，在?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG．〔1〕求證：四邊形GEHF是平行四邊形；〔2〕假設(shè)點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則〔1〕中的結(jié)論是否成立？〔不用說明理由〕考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題；探究型。分析：〔1〕先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，AB∥CD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可證△GBE≌△HDF，利用全等的性質(zhì)，證明∠GEF=∠HFE，從而得GE∥HF，又GE=HF，運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證．〔2〕仍成立．可仿照〔1〕的證明方法進(jìn)展證明．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四邊形GEHF是平行四邊形．〔2〕解：仍成立．〔證法同上〕點(diǎn)評(píng)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．17．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點(diǎn)F，連接AE、CF．〔1〕求證：AF=CE；〔2〕如果AC=EF，且∠ACB=135°，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：〔1〕由AF∥EC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，而DA=DC，易證得△DAF≌△DCE，得到結(jié)論；〔2〕由AF∥EC，AF=CE，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等即AC=EF，可判斷平行四邊形AFCE是矩形，則∠FCE=∠CFA=90°，通過∠ACB=135°，可得到∠FCA=135°﹣90°=45°，則易判斷矩形AFCE是正方形．解答：〔1〕證明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；〔2〕解：四邊形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵AC=EF，∴平行四邊形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．也考察了矩形、正方形的判定方法．18．如圖平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，DF=2〔1〕求證：D是EC中點(diǎn)；〔2〕求FC的長．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：〔1〕根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB=DE，故D是EC的中點(diǎn)；〔2〕連接EF，則△EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF，F(xiàn)C的長度即可求出．解答：〔1〕證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中點(diǎn)；〔2〕解：連接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中點(diǎn)，∴DF=CD=DE=2，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等邊三角形，∴FC=DF=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，〔2〕中連接EF構(gòu)造出直角三角形比擬重要．19．〔2010?〕如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．〔1〕求證：四邊形EFCD是平行四邊形；〔2〕假設(shè)BF=EF，求證：AE=AD．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕由△ABC是等邊三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以證明EF∥DC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；〔2〕如圖，連接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等邊三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等邊三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可證明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD．解答：證明：〔1〕∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC〔內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行〕，∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形；〔2〕連接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等邊三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．點(diǎn)評(píng)：此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．20．〔2010?濱州〕如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．〔1〕請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；〔2〕假設(shè)使四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？考點(diǎn)：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕連接AC，利用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；〔2〕由于四邊形EFGH為正方形，則它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理可以推出四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等．解答：解：〔1〕如圖，四邊形EFGH是平行四邊形．連接AC，∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四邊形；〔2〕四邊形ABCD的對(duì)角線垂直且相等．∵假假設(shè)四邊形EFGH為正方形，∴它的每一組鄰邊互相垂直且相等，∴根據(jù)中位線定理得到四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了三角形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)．21．〔2008?〕如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形．〔1〕當(dāng)AB≠AC時(shí)，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；〔2〕當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD，DF=AE來實(shí)現(xiàn)，AD=AC，AE=AB，則只要證明△ABC≌△DFC以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因?yàn)椤螰CB=∠ACD=60°，則都減去一個(gè)∠ACE后可得出∠BCA=∠FCD，則就構(gòu)成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通過證明△FEB≌△CAB得出EF=AD．〔2〕可按∠BAC得度數(shù)的不同來分情況討論，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A與F重合A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為一條線段．當(dāng)∠BAC≠60°時(shí)，由〔1〕AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是菱形．解答：〔1〕證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC為等邊三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．〔2〕解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段．當(dāng)圖形為菱形時(shí)，∠BAC≠60°〔或A與F不重合、△ABC不為正三角形〕當(dāng)圖形為線段時(shí)，∠BAC=60°〔或A與F重合、△ABC為正三角形〕．點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據(jù)先求出了．22．如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即△ABD、△BCE、△ACF，則，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請(qǐng)證明之，如果不是，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：由等邊三角形的性質(zhì)易得△BED≌△BCA，△CBA≌△CEF，從而得到DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFED是平行四邊形．解答：解：四邊形AFED是平行四邊形．證明如下：在△BED與△BCA中，BE=BC，BD=BA〔均為同一等邊三角形的邊〕∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA〔SAS〕∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA與△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF〔SAS〕∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形〔兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形〕．點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)展解答，防止混用判定方法．23．〔2007?〕在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．假設(shè)點(diǎn)P在BC邊上〔如圖1〕，此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB．請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決以下問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在△ABC內(nèi)〔如圖2〕，△ABC外〔如圖3〕時(shí)，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，不需要證明．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE=AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中，PE=AF可證，F(xiàn)D=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB．證明：過點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，由題意得PE+PF=AM．∵四邊形BDPM是平行四邊形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．圖3結(jié)論：PE+PF﹣PD=AB．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵．24．〔2006?〕如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)〔不在直線AC上〕，∠ACB=90°，M為AB邊中點(diǎn)．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE．探究：〔1〕請(qǐng)猜測(cè)與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；〔2〕請(qǐng)你利用圖2，圖3選擇不同位置的點(diǎn)P按上述方法操作；〔3〕經(jīng)歷〔2〕之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖2或圖3加以說明；〔注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分〕〔4〕假設(shè)將"Rt△ABC〞改為"任意△ABC〞，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論〔直接寫答案〕．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：連接BE，根據(jù)邊角邊可證三角形PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下幾種情況雖然圖象有所變化，但是證明方法一致．解答：解：〔1〕DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．〔2〕如圖4，如圖5．〔3〕方法一：如圖6，連接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四邊形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四邊形DEBC是平行四邊形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如圖7，連接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四邊形PAEB是平行四邊形．∴PA∥BE，PA=BE，余下局部同方法一：方法三：如圖8，連接PD，交AC于N，連接MN，∵平行四邊形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．〔4〕如圖9，DE∥BC，DE=BC．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及全等的應(yīng)用，難易程度適中．25．〔2005?〕在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)局部，使含有一組對(duì)頂角的兩個(gè)圖形全等；〔1〕根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有無數(shù)組；〔2〕請(qǐng)?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；〔3〕由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：作圖題。分析：注意由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故只要過它的對(duì)稱中心畫直線即可．解答：解：〔1〕無數(shù)；〔2〕作圖的時(shí)候要首先找到對(duì)角線的交點(diǎn)，只要過對(duì)角線的交點(diǎn)，任畫一條直線即可．如圖有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．〔3〕這兩條直線過平行四邊形的對(duì)稱中心〔或?qū)蔷€的交點(diǎn)〕．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，平行四邊形的兩條對(duì)角線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是平行四邊形的中心，也是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，經(jīng)過中心的任意一條直線可將平行四邊形分成完全重合的兩個(gè)圖形．26．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停頓，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．〔1〕求CD的長；〔2〕當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長；〔3〕在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在*一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為20cm2？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；直角梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：〔1〕過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．〔2〕當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖示，由題可得：BP=10﹣3t，DQ=2t，所以可以列出方程10﹣3t=2t，解得t=2，此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根據(jù)勾股定理，求出BQ即可．〔3〕此題要分三種情況進(jìn)展討論：即①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，可以確定t的值．解答：解：〔1〕過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；〔2〕當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖，由題知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四邊形PBQD的周長=2〔BP+BQ〕=；〔3〕①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即時(shí)，如圖∴．②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即時(shí)，如圖BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化簡(jiǎn)得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程無實(shí)數(shù)解．③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，假設(shè)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6≤t≤，則有PQ=34﹣5t，＜6，舍去假設(shè)點(diǎn)P在Q的左側(cè)，即，則有PQ=5t﹣34，，t=7.8．綜合得，滿足條件的t存在，其值分別為，t2=7.8．點(diǎn)評(píng)：此題是平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題，解決問題時(shí)，一定要變動(dòng)為靜，將其轉(zhuǎn)化為常見的幾何問題，再進(jìn)展解答．27．平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O〔0，0〕、A〔2，0〕、B〔1，1〕，則第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：〔1〕當(dāng)BC∥OA，BC=OA時(shí)，C和B的縱坐標(biāo)相等，因?yàn)镺A=2﹣0=2；當(dāng)C在B左邊時(shí)，橫坐標(biāo)為1﹣2=﹣1，