點線面之間的位置關(guān)系

第點線面之間的位置關(guān)系

篇一：空間點線面之間位置關(guān)系知識點

高中空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)

第一章空間幾何體

（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

旋轉(zhuǎn)體——把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線

稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2.1棱錐——有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。2.2圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。

3.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.3.2圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

4.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖——正視圖；側(cè)視圖；俯視圖；是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。

4.斜二測法：在坐標(biāo)系xoy中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。重點記憶：直觀圖面積=原圖形面積(三)空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積

①棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

②圓柱的表面積S=2πrl+2πr2③圓錐的表面積Srlr2

④圓臺的表面積S

rlr2RlR2⑤球的表面積S4R2

⑥扇形的面積公式S扇形nR236012

lr（其中l(wèi)表示弧長，r表示半徑）2、空間幾何體的體積

①柱體的體積VSh②錐體的體積V1

底3

S底h

③臺體的體積

V1

S上

S下)h④球體的體積

V43

3

R3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

DC

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

AB2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為

A∈L

B∈αA∈α

LB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

AB符號表示為：A、B、C三點不共線=有且只有一個平面α，·C·

·使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2

作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a∥b

c∥b

=a∥c

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：

①a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作2，)；

a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義

如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

α

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。簡記為：線線平行，則線面平行。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；符號表示：

aαb)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。bβ∥

α

2.3.2平面與平面垂直的判定a∥

b

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。A梭β

符號表示：aβbβ2α-l-β或α-AB-βa∩β

∥α

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。a∥α

b∥α2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

2、判斷兩平面平行的方法有三種：1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。（1）用定義；2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)本章知識結(jié)構(gòu)框圖1

、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a∥αaβ∥b

α∩β作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：

α∥βα∩γ∥b

β∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

一、公式：

1.若直線的傾斜角為(90)，則直線的斜率k=tan。2.過點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直線的斜率為：

y2y1

x2x1

3.若不平行于y軸的兩直線l1//l2，則k1k2；若兩直線l1l2，則k1k2；4.直線的點斜式方程：yy0k(xx0)5.直線的斜截式方程：ykxb

6.直線的兩點式方程：yy1xx1

yy

21x2x1

7.直線的截距式方程：xay

b

1

8.直線的一般式方程：AxByC0，此時，斜率為AB，截距為C

B

.9.對于兩直線l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20（1）若A1B2A2B10，兩直線相交；（2）若A1B2A2B10，兩直線平行或重合；（3）若A1A2B1B20，若兩直線垂直。

10.點(xx2y1y1,y1)和(x2,y2)的中點坐標(biāo)是

（x122

2

)11.若P和

P1(x1,y1)2(x2,y2)，則：PP

1212.點(x)到直線

AxByC00,y0二、基本注意點：

1.過點(a,b)，且平行于x軸的直線方程是：yb；2.過點(a,b)，且平行于y軸的直線方程是：xa；三、典型習(xí)題：

解：①截距不為0時，設(shè)兩軸上的截距都為a,則有直線方程為：xy

aa

1，

將(2,3)帶入上式可得：a5，所以直線方程為：xy

55

1，

即：xy50；

②兩軸上的截距都為0時，則直線過原點(0,0)，由兩點式可得：

y0x300

20

，即：3x2y0綜上所述：滿足條件的直線方程為：xy50或3x2y0.

（注：做本題時要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設(shè)為

xay

b

1，因為用該方程時，要求截距不為0。）2.已知直線l1:xmy60，l2:(m2)x3y2m0，求滿足下列條件的m值：（1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合；解：（1）l1和l2相交，A1B2A2B10，

即：13(m2)m0解得:m1且m3（2）l1l2，A1A2B1B20，即：1(m2)3m0解得：m1

2

（3）（4）A1B2A2B10,

即：13(m2)m0解得:m1或m3

檢驗：m1時，l1:xy60,l2:3x3y20,此時，兩直線平行，所以，m3時，l1:x3y60,l2:x3y60,此時，兩直線重合綜上所示：m1時兩直線平行；m3時兩直線重合.

圓與方程

2、1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2

y2

r2

.

2、2點與圓的位置關(guān)系：

1.設(shè)點到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點在圓上

d=r；(2)點在圓外

d＞r；(3)點在圓內(nèi)

d＜r．

2.給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(nèi)(x0a)2(y20b)r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r22、3圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

當(dāng)D2

E2

4F0時，方程表示一個圓，其中圓心CD,E

D2E24F

2

2，半徑r

2

.

當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個點

D2

,E

2.當(dāng)D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.

注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0且AC0且D2E24AF0.圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

2、4直線與圓的位置關(guān)系：直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種

（1）若d

AaBbC，dr相離0；

A2

B

2

（2）dr相切0；（3）dr相交0。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組

AxByC0

x2

y2

DxEyF0

求解，通過解的個數(shù)來判斷：

（1）當(dāng)方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的相切d=rΔ＝0（2）相交drΔ0；（3）相離drΔ0。2、5兩圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d。

（1）dr1r2外離4條公切線；（2）dr1r2外切3條公切線；（3）r1r2dr1r2相交2條公切線；（4）dr1r2內(nèi)切1條公切線；（5）0dr1r2內(nèi)含無公切線；

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、6圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykxk2r過圓x2y2DxEyF0上一點P(x0,y0)的切線方程為：x0xy0yD

xx02Eyy0

2

F0.一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

y若點(x

1y0k(x1x0)

0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則by1k(ax1)，聯(lián)立求出k切線方程.

R

R21

篇二：點線面之間的位置關(guān)系的知識點總結(jié)

高中空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為

A∈L

B∈αA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線=有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3符號表示為：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

DA

B

C

L·C·

·

AB

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥b。

2公理4c∥b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：

①a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

=a∥c

2

③a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：

aα

bβ

αa∥

b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aβbβ

a∩b=Pαa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβbα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

α∥β

α∩γ=aabβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

Lp

α

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭

B

2α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。\

異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.

[例1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點，則直線OM().

A.是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.與AC、MN都不垂直.

錯解:B.

錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A.[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，分別是BC,CD上的點,且GC

BG

G,H交于

DH

HC

2,求證:直線EG,FH,AC相

一點.

錯解：證明：E、F分別是AB,AD的中點,

1

EF∥BD,EF=2BD,

BGGC

又

DHHC

2,GH∥BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,

HC

2,F分別是AD.AC與FH交于一點.

直線EG,FH,AC相交于一點

正解：證明：E、F分別是AB,AD的中點,

EF∥BD,EF=2BD,

又GC

BG

DHHC

2,

GH∥BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,EG平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,TAC,直線EG,FH,AC相交于一點T.

[例3]在立方體ABCD－A1B1C1D1中，

出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；線BD1和直線AC的位置關(guān)系如何？線BD1和直線AC所成的角是多少度？解：(1)連結(jié)BD,交AC于點O

（1）找（2）直（3）直

DD1平面AC,BD就是斜線BD1在平面AC上的射影.

(2)BD1和AC是異面直線.

(3)過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結(jié)MA、MC，則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角.不難得到MA＝MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴異面直線BD1與AC所成的角為90°

.

[例4]a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面().A．有且只有一個B．一個面或無數(shù)個C．可能不存在D．可能有無數(shù)個錯解：A.

錯因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.

[例5]在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點．求證：EF垂直平面BB1O．

證明：如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點．∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC．∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，∴AC⊥平面BB1O(線面垂直判定定理)∵AC∥EF，∴EF⊥平面BB1O．

[例6]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE平面ACD1．

分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE平面ACD1，只要在平面ACD1內(nèi)找兩條相交直線與OE垂直．證明：連結(jié)B1D、A!D、BD，在△B1BD中，∵E,O分別是B1B和DB的中點，∴EO∥B1D．∵B1A1面AA1D1D，

∴DA1為DB1在面AA1D1D內(nèi)的射影．又∵AD1A1D，

篇三：點線面之間的位置關(guān)系定理

一、四個公理：1；兩點在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)；兩點決定一條直線

2：兩平面有交點，必有交線，所有交點（公共點）在交線上

3：不共線三點決定一個平面：a直線和線外一點b兩條相交直線c兩條平行直線決定一個平面4：兩條直線平行于第三條直線,這兩條直線平行

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等

二、異面直線的定義：不可能找到一個平面同時包含這兩條直線；不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

除定義外，還可以用下列定理：過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

三、異面直線所成角的范圍：0＜≤90度；過空間任一點o，做a1∥a，b∥b1，把a1