《171勾股定理 勾股定理的應用 》課件

歷史因你而改變學習因你而精彩第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）歷史因你而改變學習因你而精彩第十七章勾股定

星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們看到山勢險峻,查看景區(qū)示意圖得知:凌峰山主峰高約為900米,如圖:為了方便游人,此景區(qū)從主峰A處向地面B處架了一條纜車線路,已知山底端C處與地面B處相距1200米,,請問纜車路線AB長應為多少？問題情境

星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2．培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。3．介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)愛國熱情，勤奮學習。重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。難點：勾股定理的證明。學習目標1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證（一）、課前準備（2分鐘）1、直角△ABC的主要性質是：∠C=90°（用幾何語言表示）1）兩銳角之間的關系：

；2）若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：（一）、課前準備（2分鐘）1、直角△ABC的主要性質是：∠C看一看

相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關系，同學們，我們也來觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？看一看相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友ABC你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質嗎？等腰直角三角形：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。ABC你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質嗎？等腰直角三角在等腰直角三角形中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，其他的直角三角形中也有這個性質嗎？一般的直角三角形三邊關系（二）總結規(guī)律，大膽才猜想（5分鐘）在等腰直角三角形中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，其他的直ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a、b，斜邊長為c.猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關系？a2+b2=c2結論：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的兩條直角邊長分別如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理cab勾股弦∵∠C＝90°∴a2+b2=c2如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+讀一讀

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1-1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.圖1-2是在北京召開的2002年國際數(shù)學家大會（TCM－2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數(shù)學成就.

圖1-1圖1-2讀一讀圖1-1圖1-2（三）勾股定理的證明

∵ab×4+(b-a)2=c2

∴a2+b2=c2abc2ab+（b2-2ab+a2）=c2【證法1】（趙爽證明）（三）勾股定理的證明∵ab×4+(b-a)2=abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab×4+c2=1/2ab×4+a2+b2a2+b2=c2【證法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：a2＋b2=c2

abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab×【

證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.bcabcaADCD【證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、美國總統(tǒng)證法：bcabcaADCD∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)=1/2ab×2+1/2c2∴a2+b2=c2美國總統(tǒng)證法：bcabcaADCD∵S梯形ABCD=1/2(分析：已知△ABC中，，

AC=900米，BC=1200米，

求斜邊AB的長.

例：星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們看到山勢險峻,查看景區(qū)示意圖得知:凌峰山主峰高約為900米,如圖:為了方便游人,此景區(qū)從主峰A處向地面B處架了一條纜車線路,已知山底端C處與地面B處相距1200米,,請問纜車路線AB長應為多少?

三、應用定理鞏固新知分析：已知△ABC中，，

例：星期日老師帶領初二全體學生去凌四、隨堂練習1、如圖，直角△ABC的主要性質是：∠C=90°，（用幾何語言表示）⑴兩銳角之間的關系：

；(2)若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：

；(3)三邊之間的關系：四、隨堂練習1、如圖，直角△ABC的主要性質是：∠C=90°五.課堂檢測1、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則SRt△ABC

=________。五.課堂檢測2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則⑴c=

。（已知a、b，求c）⑵a=

。（已知b、c，求a）2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC3、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。4、.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）

A、25 B、14 C、7 D、7或255、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（）

A、56 B、48 C、40 D、323、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__本節(jié)課你學到了什么?感悟與反思本節(jié)課你學到了什么?感悟與反思作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.選做題：收集有關勾股定理的其它 證明方法，下節(jié)課展示、 交流.作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.勾股定理的運用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三條邊長.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2勾股定理的運用a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b（三）隨堂練習

1、在Rt△ABC中，，1）如果a=3，b=4，則c=________；2）如果a=6，b=8，則c=________；3）如果a=5，b=12，則c=________；4)如果a=15，b=20，則c=________.5101325（三）隨堂練習51013252、下列說法正確的是（）A.若a、b、c是△ABC的三邊，則:B.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，則C.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，，則D.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，，則D2、下列說法正確的是（）D3、一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（）A．斜邊長為25B．三角形周長為25C．斜邊長為5D．三角形面積為204、如圖,三個正方形中,S1＝25，S2＝144，則另一個的面積S3為________．5、一個直角三角形的兩邊長分別為5cm和12cm,則第三邊的長為

。第4題圖S1S2S3C1693、一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c

（1）

已知a=1，b=2，求c

（2）

已知a=10，c=15，求b小試牛刀ACBbac在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊例2：將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2米，求梯子上端A到墻的底端B的距離.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°∵BC=2，AC=5

∴AB2=AC2-BC2=52-22=21∴

AB=（米）(舍去負值）例2：將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，CAB解：在Rt△AB做一做：

P62540026xP的面積=______________X=_________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520做一做：P62540026xP的面積=________求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169X=15Y=5Z=7求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②比一比看誰算得又快又準！求下列直角三角形中未知邊的長x:可用勾股定理建立方程.勾股定理運用二:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13比一比看誰算得又快又準！求下列直角三角形中未知邊的長x:可用

1、直角ABC的兩直角邊a=5,b=12,c=_____

2、直角ABC的一條直角邊a=10,斜邊c=26，則b=().３、已知：∠C＝90°，a=6，

a：b＝3：4，求b和c.cab13b=8c=1024課堂反饋cab13b=8c=1024課堂反饋１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學問題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學會驗證定理及應用定理解決實際問題的過程.２、本節(jié)課我們學到了什么？

通過本節(jié)課的學習我們不但知道了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法及借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結論的數(shù)形結合思想.３、學了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學結論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受到了數(shù)學文化輝煌歷史的教育.小結１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學分層測試:A組:

1、在中，，

AB=7,AC=3,求BC的長.

B組:2、如圖，在矩形ABCD中，

DE⊥AC于E，設AE=8，且AD=10,EC=4,求DE和AB的長ACBbac分層測試:A組:作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.選做題：收集有關勾股定理的其它 證明方法，下節(jié)課展示、 交流.作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.勾股定理（第二課時）勾股定理學習目標：1．會用勾股定理解決簡單的實際問題。2．樹立數(shù)形結合的思想。3．經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應用過程，感受勾股定理的應用方法。4．培養(yǎng)思維意識，發(fā)展數(shù)學理念，體會勾股定理的應用價值。重點：勾股定理的應用。難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。學習目標：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動結論變形c2

=

a2

+

b2abcABC結論變形c2=a2+b2abcABC

有一種特殊的直角三角形，已知一邊可以求另外兩邊長ACBbac45°ACBbac30°a:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2思維拓展：a=5cm時求b=？c=？c=6cm時求b=？a=？有一種特殊的直角三角形，已知勾股小常識：勾股數(shù)

1、基本勾股數(shù)如：大家一定要熟記

2、如果a,b,c是一組勾股數(shù)，則ka、kb、kc（k為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)，如：6、8、10；9、12、1510、24、26；15、36、39勾股小常識：勾股數(shù)6、8、10；9、1（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB練習30°2245°回答：①在解決上述問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？②直角三角形哪條邊最長？（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m

，求AC長．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求A活動2問題（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關系？ACBDAB＜BC＜AC活動2問題（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長3米，寬1.5米呢？③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，因此需要求出AC的長，怎樣求呢？活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬（3）有一個邊長為50dm

的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結果保留整數(shù)）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住活動3（1）如圖，池塘邊有兩點A、B，點C是與BA方向成直角的AC方向上的一點，測得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B兩點間的距離嗎？（結果保留整數(shù)）活動3（1）如圖，池塘邊有兩點A、B，點C是與BA方向成活動3（2）變式：以上題為背景，請同學們再設計其他方案構造直角三角形（或其他幾何圖形），測量池塘的長AB．活動3（2）變式：以上題為背景，請同學們再設計其他方案構例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時A練習:如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米．①求梯子的底端B距墻角O多少米？②如果梯子的頂端A沿墻角下滑0.5米至C，請同學們:猜一猜，底端也將滑動0.5米嗎？算一算，底端滑動的距離近似值是多少?（結果保留兩位小數(shù)）練習:如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設AE=xkm，根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA例3:在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC解:設水池的深度AC為X米,則蘆葦高AD為(X+1)米.根據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.DABC解:設水池的深度AC為X米,根據(jù)題意得:∴52+X2例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設DE為X,X(8-X)則CE為(8－

X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知例5：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B例5：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關系式為

．活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式嗎？S1S2S3活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式活動4（1）這節(jié)課你有什么收獲？（2）作業(yè)①教材第78頁習題第2、3、4、5題．②教材第79頁習題第12題．活動4（1）這節(jié)課你有什么收獲？（2）作業(yè)①教材第78補充練習及書后部分習題補充練習及書后部分習題1．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角邊長為7,另兩條邊長為兩個連續(xù)整數(shù)，求這個直角三角形的周長．1．在Rt△ABC中,∠C=90°,2．一直角三角形3．如圖，受臺風“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？應用知識回歸生活4米3米3．如圖，受臺風“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的4.一架5長的梯子，斜立靠在一豎直的墻上，這是梯子下端距離墻的底端3，若梯子頂端下滑了1,則梯子底端將外移（）5.如圖，要在高3m,斜坡5m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需（）米6.把直角三角形兩條直角邊同時擴大到原來的3倍，則其斜邊（）A.不變B.擴大到原來的3倍C.擴大到原來的9倍D.減小到原來的1/3ABC17B4.一架5長的梯子，斜立靠在一豎直的墻ABC17B7．如圖:是一個長方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸,求兩孔中心A、B之間的距離．ABC409016040應用知識回歸生活7．如圖:是一個長方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸,求兩孔中心A、8．小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機．小明量了電視機的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬．他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？應用知識回歸生活8．小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機．小明量了9/在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。

9/在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，10`小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。10`小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還11.小東拿著一根長竹竿進一個寬為3米的城門，他先橫著拿不進去，又豎起來拿，結果竹竿比城門高1米，當他把竹竿斜著時，兩端剛好頂著城門的對角，問竹竿長多少米？解:設竹竿長X米,則城門高為(X－1)米.根據(jù)題意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿長5米11.小東拿著一根長竹竿進一個寬為3米的城門，他先橫著拿不進12.有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.解:設竹竿高X尺,則門高為(X－1)尺.根據(jù)題意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,門高為7.5尺.12.有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹13．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_________________________米。

1513．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹ABCDEF14.如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。15.如圖，有一個直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？AECDBABCDEF14.如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D16.一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是____________cm。AB16.一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的AB17.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是_________17.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、18.如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點相對的B點處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？18.如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高19◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果在箱內(nèi)的A處有一只昆蟲，它要在箱壁上爬行到B處，至少要爬多遠？CDA.B.30504019◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果圖①305040CDA.B.ADCB305040圖①305040CDA.B.ADCB305040CCDA.B.ACBD圖②304050304050CCDA.B.ACBD圖②304050304050CCDA.B.圖③50ADCB4030304050CCDA.B.圖③50ADCB40303040506．做一個長、寬、高分別為50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學過的知識說明．6．做一個長、寬、高分別為50厘米、40厘米、320.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做多長？

ABC12cmR=2.5cm12cm大顯身手20.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面歷史因你而改變學習因你而精彩第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）歷史因你而改變學習因你而精彩第十七章勾股定

星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們看到山勢險峻,查看景區(qū)示意圖得知:凌峰山主峰高約為900米,如圖:為了方便游人,此景區(qū)從主峰A處向地面B處架了一條纜車線路,已知山底端C處與地面B處相距1200米,,請問纜車路線AB長應為多少？問題情境

星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2．培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。3．介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)愛國熱情，勤奮學習。重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。難點：勾股定理的證明。學習目標1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證（一）、課前準備（2分鐘）1、直角△ABC的主要性質是：∠C=90°（用幾何語言表示）1）兩銳角之間的關系：

；2）若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：（一）、課前準備（2分鐘）1、直角△ABC的主要性質是：∠C看一看

相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關系，同學們，我們也來觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？看一看相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友ABC你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質嗎？等腰直角三角形：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。ABC你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質嗎？等腰直角三角在等腰直角三角形中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，其他的直角三角形中也有這個性質嗎？一般的直角三角形三邊關系（二）總結規(guī)律，大膽才猜想（5分鐘）在等腰直角三角形中斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，其他的直ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a、b，斜邊長為c.猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關系？a2+b2=c2結論：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的兩條直角邊長分別如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理cab勾股弦∵∠C＝90°∴a2+b2=c2如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+讀一讀

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1-1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.圖1-2是在北京召開的2002年國際數(shù)學家大會（TCM－2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數(shù)學成就.

圖1-1圖1-2讀一讀圖1-1圖1-2（三）勾股定理的證明

∵ab×4+(b-a)2=c2

∴a2+b2=c2abc2ab+（b2-2ab+a2）=c2【證法1】（趙爽證明）（三）勾股定理的證明∵ab×4+(b-a)2=abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab×4+c2=1/2ab×4+a2+b2a2+b2=c2【證法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：a2＋b2=c2

abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab×【

證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.bcabcaADCD【證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、美國總統(tǒng)證法：bcabcaADCD∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)=1/2ab×2+1/2c2∴a2+b2=c2美國總統(tǒng)證法：bcabcaADCD∵S梯形ABCD=1/2(分析：已知△ABC中，，

AC=900米，BC=1200米，

求斜邊AB的長.

例：星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們看到山勢險峻,查看景區(qū)示意圖得知:凌峰山主峰高約為900米,如圖:為了方便游人,此景區(qū)從主峰A處向地面B處架了一條纜車線路,已知山底端C處與地面B處相距1200米,,請問纜車路線AB長應為多少?

三、應用定理鞏固新知分析：已知△ABC中，，

例：星期日老師帶領初二全體學生去凌四、隨堂練習1、如圖，直角△ABC的主要性質是：∠C=90°，（用幾何語言表示）⑴兩銳角之間的關系：

；(2)若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：

；(3)三邊之間的關系：四、隨堂練習1、如圖，直角△ABC的主要性質是：∠C=90°五.課堂檢測1、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則SRt△ABC

=________。五.課堂檢測2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則⑴c=

。（已知a、b，求c）⑵a=

。（已知b、c，求a）2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC3、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。4、.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）

A、25 B、14 C、7 D、7或255、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（）

A、56 B、48 C、40 D、323、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__本節(jié)課你學到了什么?感悟與反思本節(jié)課你學到了什么?感悟與反思作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.選做題：收集有關勾股定理的其它 證明方法，下節(jié)課展示、 交流.作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.勾股定理的運用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三條邊長.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2勾股定理的運用a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b（三）隨堂練習

1、在Rt△ABC中，，1）如果a=3，b=4，則c=________；2）如果a=6，b=8，則c=________；3）如果a=5，b=12，則c=________；4)如果a=15，b=20，則c=________.5101325（三）隨堂練習51013252、下列說法正確的是（）A.若a、b、c是△ABC的三邊，則:B.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，則C.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，，則D.若a、b、c是Rt△ABC的三邊，，則D2、下列說法正確的是（）D3、一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（）A．斜邊長為25B．三角形周長為25C．斜邊長為5D．三角形面積為204、如圖,三個正方形中,S1＝25，S2＝144，則另一個的面積S3為________．5、一個直角三角形的兩邊長分別為5cm和12cm,則第三邊的長為

。第4題圖S1S2S3C1693、一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c

（1）

已知a=1，b=2，求c

（2）

已知a=10，c=15，求b小試牛刀ACBbac在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊例2：將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2米，求梯子上端A到墻的底端B的距離.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°∵BC=2，AC=5

∴AB2=AC2-BC2=52-22=21∴

AB=（米）(舍去負值）例2：將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，CAB解：在Rt△AB做一做：

P62540026xP的面積=______________X=_________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520做一做：P62540026xP的面積=________求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169X=15Y=5Z=7求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②比一比看誰算得又快又準！求下列直角三角形中未知邊的長x:可用勾股定理建立方程.勾股定理運用二:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13比一比看誰算得又快又準！求下列直角三角形中未知邊的長x:可用

1、直角ABC的兩直角邊a=5,b=12,c=_____

2、直角ABC的一條直角邊a=10,斜邊c=26，則b=().３、已知：∠C＝90°，a=6，

a：b＝3：4，求b和c.cab13b=8c=1024課堂反饋cab13b=8c=1024課堂反饋１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學問題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學會驗證定理及應用定理解決實際問題的過程.２、本節(jié)課我們學到了什么？

通過本節(jié)課的學習我們不但知道了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法及借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結論的數(shù)形結合思想.３、學了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學結論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受到了數(shù)學文化輝煌歷史的教育.小結１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學分層測試:A組:

1、在中，，

AB=7,AC=3,求BC的長.

B組:2、如圖，在矩形ABCD中，

DE⊥AC于E，設AE=8，且AD=10,EC=4,求DE和AB的長ACBbac分層測試:A組:作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.選做題：收集有關勾股定理的其它 證明方法，下節(jié)課展示、 交流.作業(yè)必做題：課本77頁第1、2、3題.勾股定理（第二課時）勾股定理學習目標：1．會用勾股定理解決簡單的實際問題。2．樹立數(shù)形結合的思想。3．經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應用過程，感受勾股定理的應用方法。4．培養(yǎng)思維意識，發(fā)展數(shù)學理念，體會勾股定理的應用價值。重點：勾股定理的應用。難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。學習目標：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．活動結論變形c2

=

a2

+

b2abcABC結論變形c2=a2+b2abcABC

有一種特殊的直角三角形，已知一邊可以求另外兩邊長ACBbac45°ACBbac30°a:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2思維拓展：a=5cm時求b=？c=？c=6cm時求b=？a=？有一種特殊的直角三角形，已知勾股小常識：勾股數(shù)

1、基本勾股數(shù)如：大家一定要熟記

2、如果a,b,c是一組勾股數(shù)，則ka、kb、kc（k為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)，如：6、8、10；9、12、1510、24、26；15、36、39勾股小常識：勾股數(shù)6、8、10；9、1（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB練習30°2245°回答：①在解決上述問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？②直角三角形哪條邊最長？（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m

，求AC長．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求A活動2問題（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關系？ACBDAB＜BC＜AC活動2問題（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長3米，寬1.5米呢？③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，因此需要求出AC的長，怎樣求呢？活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬（3）有一個邊長為50dm

的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結果保留整數(shù)）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住活動3（1）如圖，池塘邊有兩點A、B，點C是與BA方向成直角的AC方向上的一點，測得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B兩點間的距離嗎？（結果保留整數(shù)）活動3（1）如圖，池塘邊有兩點A、B，點C是與BA方向成活動3（2）變式：以上題為背景，請同學們再設計其他方案構造直角三角形（或其他幾何圖形），測量池塘的長AB．活動3（2）變式：以上題為背景，請同學們再設計其他方案構例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時A練習:如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米．①求梯子的底端B距墻角O多少米？②如果梯子的頂端A沿墻角下滑0.5米至C，請同學們:猜一猜，底端也將滑動0.5米嗎？算一算，底端滑動的距離近似值是多少?（結果保留兩位小數(shù)）練習:如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設AE=xkm，根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA例3:在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC解:設水池的深度AC為X米,則蘆葦高AD為(X+1)米.根據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.DABC解:設水池的深度AC為X米,根據(jù)題意得:∴52+X2例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設DE為X,X(8-X)則CE為(8－

X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知例5：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B例5：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關系式為

．活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式嗎？S1S2S3活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關系式活動4（1）這節(jié)課你有什么收獲？（2）作業(yè)①教材第78頁習題第2、3、4、5題．②教材第79頁習題第12題．活動4（1）這節(jié)課你有什么收獲？（2）作業(yè)①教材第78補充練習及書后部分習題補充練習及書后部分習題1．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角邊長為7,另兩條邊長為兩個連續(xù)整數(shù)，求這個直角三角形的周長．1．在Rt△ABC中,∠C=90°,2．一直角三角形3．如圖，受臺風“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？應用知識回歸生活4米3米3．如圖，受臺風“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的4.一架5長的梯子，斜立靠在一