(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.樣本空間、隨機(jī)事件①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用②樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.表示；③隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于樣本空間；不可能事件⑤基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2.事件的四種關(guān)系是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；①包含關(guān)系：②等價(jià)關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；，事件A與事件B一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。③互不相容（互斥）：④對(duì)立關(guān)系（互逆）：，事件發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系（對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對(duì)立事件。）3.事件的三大運(yùn)算①事件的并：②事件的交：③事件的差：4.事件的運(yùn)算規(guī)律①交換律：，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若，事件A與事件B都發(fā)生；，則；，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。②結(jié)合律：③分配律：④德摩根（DeMorgan）定律：對(duì)于n個(gè)事件，有二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1．公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對(duì)于任一隨機(jī)事件都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于k個(gè)互不相容事件則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.，有.2．概率的性質(zhì)①②③若，則注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若（×）則。（×）若，則。三、古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：①只有有限個(gè)樣本點(diǎn),②每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且.五、事件的獨(dú)立1.定義：.推廣：若相互獨(dú)立，2.在四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立。3.三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立：注：n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。（相互獨(dú)立4.伯努利概型：兩兩獨(dú)立，反之不成立。）1.事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。（X）2.若則。（X）3.。(X)4.A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為5.n個(gè)事件若滿足。()，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6.當(dāng)時(shí)，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱為隨機(jī)變量，通常用大寫(xiě)英文字母，用小寫(xiě)英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1.定義：設(shè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。注：當(dāng)時(shí)，(1)X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)則有(2)X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(wàn)(x)，則2.分布函數(shù)性質(zhì)：.（1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意x1<x2，有；（2；且；（3離散隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)是右連續(xù)函數(shù),即；連續(xù)隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)在（-∞，+∞）上處處連續(xù)。注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、離散隨機(jī)變量及其分布1.定義.設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個(gè)數(shù)值，或可列無(wú)窮多個(gè)數(shù)值且，則稱X為離散隨機(jī)變量,pi(i=1,2,…)為X的概率分布，或概率函數(shù)(分布律).注：概率函數(shù)pi的性質(zhì):2.幾種常見(jiàn)的離散隨機(jī)變量的分布：（1）超幾何分布，X~H(N,M,n)，（2）二項(xiàng)分布，X~B(n.,p)，當(dāng)n=1時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則服從二項(xiàng)分布。（3）泊松(Poisson)分布，，四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布1.定義.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I，且存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意區(qū)間，有則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量;函數(shù)f(x)稱為連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。注1：連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的概率等于0,即注2：2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：注1：一個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注2：當(dāng)時(shí)，且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有3.幾種常見(jiàn)的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：(1)均勻分布，(2)指數(shù)分布,(3)正態(tài)分布，1.概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。（X）2.當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有。(X)4.若的密度函數(shù)為=，則(X)第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）1．定義：2．期望的性質(zhì)：3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見(jiàn)的基本方法：將一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成有限多個(gè)比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量Xi之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.(3)利用常見(jiàn)分布的期望；1．方差注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性質(zhì)(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)C∈R，有E(X-C)2≥D(X)當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí),E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)存在,對(duì)于任意的正數(shù)有或3.計(jì)算(1)利用方差定義；(2)常用計(jì)算公式注：常見(jiàn)分布的期望與方差(3)方差的性質(zhì)；(4)常見(jiàn)分布的方差.1.若X～B(n,p),則E(X)=np,D(X)=npq;2.若3.若X～U(a,b),則4.若5.若三、原點(diǎn)矩與中心矩（總體）X的k階原點(diǎn)矩：（總體）X的k階中心矩：1.只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。(X)2.期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。(√)3.方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。(√)5.對(duì)于任意的X,Y，都有第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1.正態(tài)分布成立。(X)⑴概率密度為其分布函數(shù)為注：.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性：2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)時(shí)，其密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為的性質(zhì)：3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：若則.定理：設(shè)則二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè)則1.期望E(X)2.方差D(X)3.標(biāo)準(zhǔn)差三、正態(tài)分布的性質(zhì)1．線性性.設(shè)則；2．可加性.設(shè)且X和Y相互獨(dú)立，則3．線性組合性設(shè)，且相互獨(dú)立，則四、中心極限定理1.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從相同的分布，且則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）（3）；；2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)則定理解釋：若當(dāng)n充分大時(shí)，有（1）；（2）1.若2.若則（X）則（√）3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：4.已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_1____;X的方差為_(kāi)_1/2____.第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體個(gè)體樣本1.總體：把研究對(duì)象的全體稱為總體(或母體).它是一個(gè)隨機(jī)變量，記X.2.個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.3.樣本：從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體,稱為總體X的容量為n的樣本。注：⑴樣本是一個(gè)n維的隨機(jī)變量；⑵本書(shū)中提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其滿足2個(gè)特性：①代表性：機(jī)變量.中每一個(gè)與總體X有相同的分布.②獨(dú)立性：是相互獨(dú)立的隨4.樣本的聯(lián)合分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為(2)設(shè)總體X的概率函數(shù)為,則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為二、統(tǒng)計(jì)量1.定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,是的觀測(cè)值.注：（1）統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量；（2）統(tǒng)計(jì)量不含總體分布中任何未知參數(shù)；（3）統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.2.常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本矩：①樣本均值；其觀測(cè)值.可用于推斷：總體均值E(X).②樣本方差;其觀測(cè)值可用于推斷：總體方差D(X).③樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀測(cè)值④樣本k階原點(diǎn)矩⑤樣本k階中心矩其觀測(cè)值其觀測(cè)值注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(X)；樣本方差與總體方差D(X)；樣本k階原點(diǎn)矩與總體k階原點(diǎn)矩；樣本k階中心矩與總體k階原點(diǎn)矩(2)樣本矩的性質(zhì):.前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.三、3大抽樣分布：定義.設(shè)相互獨(dú)立，且，則注：若則（2）性質(zhì)（可加性）設(shè)相互獨(dú)立，且則2.t分布：設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且則注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對(duì)稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).3.F分布:定義.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且則(2)性質(zhì).設(shè)則.四、分位點(diǎn)定義：對(duì)于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點(diǎn)。注：常見(jiàn)分布的分位點(diǎn)表示方法（1）（3）分布的分位點(diǎn)（2）分布的分位點(diǎn)其性質(zhì)：分布的分位點(diǎn)其性質(zhì)（4）N(0,1)分布的分位點(diǎn)有第六章參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì):設(shè)為來(lái)自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)，則稱為的估計(jì)值.為的點(diǎn)估計(jì)量，2.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.二、矩估計(jì)法1.基本思想:用樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.2.求總體X的分布中包含的m個(gè)未知參數(shù)①求出總體矩,即的矩估計(jì)步驟：；②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程：③解上述方程（或方程組）得到的矩估計(jì)量為：④的矩估計(jì)值為：3.矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單;只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式.缺點(diǎn)：沒(méi)有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一性；可能估計(jì)結(jié)果的精度比其它估計(jì)法的低三、最大似然估計(jì)法1.直觀想法：在試驗(yàn)中，事件A的概率P(A)最大,則A出現(xiàn)的可能性就大；如果事件A出現(xiàn)了，我們認(rèn)為事件A的概率最大.2.定義設(shè)總體X的概率函數(shù)或密度函數(shù)為（或），其中參數(shù)未知，則X的樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）稱為似然函數(shù).（或3.求最大似然估計(jì)的步驟：（1）求似然函數(shù):X離散：X連續(xù)：（2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計(jì)值：（4）最后得到最大似然估計(jì)量：4.最大似然估計(jì)法是在各種參數(shù)估計(jì)方法中