(完整版)概率論與數理統計復習提綱

第一章隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算1.樣本空間、隨機事件①樣本點：隨機試驗的每一個可能結果，用②樣本空間：樣本點的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.表示；③隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于樣本空間；不可能事件⑤基本事件就是僅包含單個樣本點的子集。2.事件的四種關系是不包含任何樣本點的空集；①包含關系：②等價關系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；，事件A與事件B一定不會同時發(fā)生。③互不相容（互斥）：④對立關系（互逆）：，事件發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對立的關系（對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。）3.事件的三大運算①事件的并：②事件的交：③事件的差：4.事件的運算規(guī)律①交換律：，事件A與事件B至少有一個發(fā)生。若，事件A與事件B都發(fā)生；，則；，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。②結合律：③分配律：④德摩根（DeMorgan）定律：對于n個事件，有二、隨機事件的概率定義和性質1．公理化定義：設試驗的樣本空間為，對于任一隨機事件都有確定的實值P(A)，滿足下列性質：(1)非負性：(2)規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個互不相容事件則稱P(A)為隨機事件A的概率.，有.2．概率的性質①②③若，則注：性質的逆命題不一定成立的.如若（×）則。（×）若，則。三、古典概型的概率計算古典概型：若隨機試驗滿足兩個條件：①只有有限個樣本點,②每個樣本點發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設一批產品共N件，其中有M件次品，從這批產品中隨機抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且.五、事件的獨立1.定義：.推廣：若相互獨立，2.在四對事件中，只要有一對獨立，則其余三對也獨立。3.三個事件A,B,C兩兩獨立：注：n個事件的兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別。（相互獨立4.伯努利概型：兩兩獨立，反之不成立。）1.事件的對立與互不相容是等價的。（X）2.若則。（X）3.。(X)4.A,B,C三個事件恰有一個發(fā)生可表示為5.n個事件若滿足。()，則n個事件相互獨立。(X)6.當時，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章隨機變量及其分布一、隨機變量的定義：設樣本空間為，變量為定義在上的單值實值函數，則稱為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數及其性質1.定義：設隨機變量，對于任意實數，函數稱為隨機變量的概率分布函數，簡稱分布函數。注：當時，(1)X是離散隨機變量，并有概率函數則有(2)X連續(xù)隨機變量，并有概率密度f(x)，則2.分布函數性質：.（1F(x)是單調非減函數，即對于任意x1<x2，有；（2；且；（3離散隨機變量X，F(x)是右連續(xù)函數,即；連續(xù)隨機變量X，F(x)在（-∞，+∞）上處處連續(xù)。注：一個函數若滿足上述3個條件，則它必是某個隨機變量的分布函數。三、離散隨機變量及其分布1.定義.設隨機變量X只能取得有限個數值，或可列無窮多個數值且，則稱X為離散隨機變量,pi(i=1,2,…)為X的概率分布，或概率函數(分布律).注：概率函數pi的性質:2.幾種常見的離散隨機變量的分布：（1）超幾何分布，X~H(N,M,n)，（2）二項分布，X~B(n.,p)，當n=1時稱X服從參數為p的兩點分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服從同一兩點分布且獨立，則服從二項分布。（3）泊松(Poisson)分布，，四、連續(xù)隨機變量及其分布1.定義.若隨機變量X的取值范圍是某個實數區(qū)間I，且存在非負函數f(x)，使得對于任意區(qū)間，有則稱X為連續(xù)隨機變量;函數f(x)稱為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數，簡稱概率密度。注1：連續(xù)隨機變量X任取某一確定值的概率等于0,即注2：2.概率密度f(x)的性質：性質1：性質2：注1：一個函數若滿足上述2個條件，則它必是某個隨機變量的概率密度函數。注2：當時，且在f(x)的連續(xù)點x處，有3.幾種常見的連續(xù)隨機變量的分布：(1)均勻分布，(2)指數分布,(3)正態(tài)分布，1.概率函數與密度函數是同一個概念。（X）2.當N充分大時，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設X是隨機變量，有。(X)4.若的密度函數為=，則(X)第三章隨機變量的數字特征一、期望（或均值）1．定義：2．期望的性質：3.隨機變量函數的數學期望4.計算數學期望的方法(1)利用數學期望的定義；(2)利用數學期望的性質；常見的基本方法：將一個比較復雜的隨機變量X拆成有限多個比較簡單的隨機變量Xi之和,再利用期望性質求得X的期望.(3)利用常見分布的期望；1．方差注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了隨機變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性質(4)對于任意實數C∈R，有E(X-C)2≥D(X)當且僅當C=E(X)時,E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):設X的數學期望E(X)與方差D(X)存在,對于任意的正數有或3.計算(1)利用方差定義；(2)常用計算公式注：常見分布的期望與方差(3)方差的性質；(4)常見分布的方差.1.若X～B(n,p),則E(X)=np,D(X)=npq;2.若3.若X～U(a,b),則4.若5.若三、原點矩與中心矩（總體）X的k階原點矩：（總體）X的k階中心矩：1.只要是隨機變量，都能計算期望和方差。(X)2.期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。(√)3.方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的實質是隨機變量函數的期望。(√)5.對于任意的X,Y，都有第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1.正態(tài)分布成立。(X)⑴概率密度為其分布函數為注：.正態(tài)密度函數的幾何特性：2.標準正態(tài)分布當時，其密度函數為且其分布函數為的性質：3.正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系定理：若則.定理：設則二、正態(tài)分布的數字特征設則1.期望E(X)2.方差D(X)3.標準差三、正態(tài)分布的性質1．線性性.設則；2．可加性.設且X和Y相互獨立，則3．線性組合性設，且相互獨立，則四、中心極限定理1.獨立同分布的中心極限定理設隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且則對于任何實數x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）（3）；；2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設則定理解釋：若當n充分大時，有（1）；（2）1.若2.若則（X）則（√）3.設隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布：4.已知連續(xù)隨機變量X的概率密度函數為則X的數學期望為__1____;X的方差為__1/2____.第五章數理統計的基本知識一、總體個體樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體(或母體).它是一個隨機變量，記X.2.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.3.樣本：從總體X中，隨機地抽取n個個體,稱為總體X的容量為n的樣本。注：⑴樣本是一個n維的隨機變量；⑵本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2個特性：①代表性：機變量.中每一個與總體X有相同的分布.②獨立性：是相互獨立的隨4.樣本的聯合分布設總體X的分布函數為F(x)，則樣本的聯合分布函數為(1)設總體X的概率密度函數為f(x),則樣本的聯合密度函數為(2)設總體X的概率函數為,則樣本的聯合概率函數為二、統計量1.定義不含總體分布中任何未知參數的樣本函數稱為統計量,是的觀測值.注：（1）統計量是隨機變量；（2）統計量不含總體分布中任何未知參數；（3）統計量的分布稱為抽樣分布.2.常用統計量（1）樣本矩：①樣本均值；其觀測值.可用于推斷：總體均值E(X).②樣本方差;其觀測值可用于推斷：總體方差D(X).③樣本標準差其觀測值④樣本k階原點矩⑤樣本k階中心矩其觀測值其觀測值注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(X)；樣本方差與總體方差D(X)；樣本k階原點矩與總體k階原點矩；樣本k階中心矩與總體k階原點矩(2)樣本矩的性質:.前者是隨機變量，后者是常數.設總體X的數學期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則3.抽樣分布：統計量的分布稱為抽樣分布.三、3大抽樣分布：定義.設相互獨立，且，則注：若則（2）性質（可加性）設相互獨立，且則2.t分布：設X與Y相互獨立,且則注：t分布的密度圖像關于t=0對稱；當n充分大時，t分布趨向于標準正態(tài)分布N(0,1).3.F分布:定義.設X與Y相互獨立，且則(2)性質.設則.四、分位點定義：對于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點。注：常見分布的分位點表示方法（1）（3）分布的分位點（2）分布的分位點其性質：分布的分位點其性質（4）N(0,1)分布的分位點有第六章參數估計一、點估計:設為來自總體X的樣本，為X中的未知參數，為樣本值，構造某個統計量作為參數的估計，則稱為的估計值.為的點估計量，2.常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法.二、矩估計法1.基本思想:用樣本矩（原點矩或中心矩）代替相應的總體矩.2.求總體X的分布中包含的m個未知參數①求出總體矩,即的矩估計步驟：；②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程：③解上述方程（或方程組）得到的矩估計量為：④的矩估計值為：3.矩估計法的優(yōu)缺點：優(yōu)點：直觀、簡單;只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式.缺點：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計量不具有唯一性；可能估計結果的精度比其它估計法的低三、最大似然估計法1.直觀想法：在試驗中，事件A的概率P(A)最大,則A出現的可能性就大；如果事件A出現了，我們認為事件A的概率最大.2.定義設總體X的概率函數或密度函數為（或），其中參數未知，則X的樣本的聯合概率函數（或聯合密度函數）稱為似然函數.（或3.求最大似然估計的步驟：（1）求似然函數:X離散：X連續(xù)：（2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計值：（4）最后得到最大似然估計量：4.最大似然估計法是在各種參數估計方法中