離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

離散型隨機(jī)變量均值與方差、正態(tài)分布1．了解取有限個(gè)值離散型隨機(jī)變量均值、方差概念，會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量均值、方差，并能處理一些實(shí)際問題．2．利用實(shí)際問題直方圖，了解正態(tài)分布曲線特點(diǎn)及曲線所表示意義第1頁第2頁[理要點(diǎn)]一、均值1．普通地，若離散型隨機(jī)變量X分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝

為隨機(jī)變量X均值或數(shù)學(xué)期望，它反應(yīng)了離散型隨機(jī)變量取值

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平第3頁2．若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝

.paE(X)＋b3．①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝

；②若X～B(n，p)，則E(X)＝

.np第4頁二、方差1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第5頁(xi－E(X))2平均偏離程度第6頁2．D(aX＋b)＝

．3．若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝

．4．若X～B(n，p)，則D(X)＝

．a(chǎn)2D(X)p(1－p)np(1－p)第7頁2．普通地，假如對(duì)于任何實(shí)數(shù)a＜b，隨機(jī)變量X滿足

，則稱X

分布為正態(tài)分布，正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，所以正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．假如隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．第8頁3．正態(tài)曲線特點(diǎn)：(1)曲線位于x軸

，與x軸不相交；(2)曲線是單峰，它關(guān)于直線

對(duì)稱；(3)曲線在

處到達(dá)峰值；(4)曲線與x軸之間面積為

；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線伴隨μ改變而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線形狀由σ確定．σ越小，曲線越“

”，表示總體分布越集中；σ越大，曲線越“

”，表示總體分布越

．上方x＝μx＝μ1瘦高矮胖分散第9頁[究疑點(diǎn)]1．隨機(jī)變量均值、方差與樣本均值、方差關(guān)系是怎樣？提醒：隨機(jī)變量均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值，方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀察次數(shù)增加或樣本容量增加，樣本均值、方差趨于隨機(jī)變量均值與方差．第10頁2．正態(tài)分布中3σ標(biāo)準(zhǔn)是指什么？提醒：指正態(tài)總體取值在區(qū)間(u－σ，u＋σ)，(u－2σ，u＋2σ)，(u－3σ，u＋3σ)內(nèi)概率值，即P(u－σ<X≤u＋σ)＝0.6826，P(u－2σ<X≤u＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ<X≤u＋3σ)＝0.9974，取值落在三個(gè)區(qū)間以外可認(rèn)定為小概率事件．第11頁第12頁[題組自測(cè)]1．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若X表示取到次品個(gè)數(shù)，則E(X)＝________.第13頁第14頁2．袋中有3個(gè)黑球，1個(gè)紅球．從中任取2個(gè)，取到1個(gè)黑球得0分，取到1個(gè)紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.答案：1第15頁3．(·江西高考)某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門．首次抵達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道．若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門．再次抵達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需時(shí)間．(1)求ξ分布列；(2)求ξ數(shù)學(xué)期望．第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁[歸納領(lǐng)悟]1．均值是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量X是可變，可取不一樣值，而E(X)是不變，它描述X取值平均狀態(tài)．2．求E(X)可直接利用均值公式.第22頁[題組自測(cè)]1．隨機(jī)變量X分布列以下：第23頁第24頁第25頁第26頁3．(·貴陽模擬)有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢驗(yàn)，他們從中各抽取等量樣品檢驗(yàn)它們抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布列以下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4第27頁其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求選擇較高抗拉強(qiáng)度指數(shù)材料，越穩(wěn)定越好．試從期望與方差指標(biāo)分析該用哪個(gè)廠材料．第28頁解析：

E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，從而兩廠材料抗拉強(qiáng)度指數(shù)平均水平相同，但甲廠材料相對(duì)穩(wěn)定，該選甲廠材料．第29頁第30頁答案：μ2<μ1<μ3；σ1<σ3<σ2[題組自測(cè)]第31頁2．已知隨機(jī)變量x～N(2，σ2)，若P(x<a)＝0.32，則P(a≤x

<4－a)＝________.解析：由正態(tài)分布圖象對(duì)稱性可得：P(a≤x<4－a)＝1－2P(x<a)＝0.36.答案：0.36第32頁3．(1)(·廣東高考)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝ (

)A．0.1588

B．0.1587C．0.1586 D．0.1585(2)(·泰安模擬)某校高考數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100,100)，則該校成績位于(80,120)內(nèi)人數(shù)占考生總?cè)藬?shù)百分比約為 (

)A．22.8%

B．45.6%C．95.44% D．97.22%(3)(·長春模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，若P(X＞4)＝0.2，則P(2＜X＜3)＝____________.第33頁答案：

(1)B

(2)C

(3)0.3第34頁本題(2)中若該校參加高考人數(shù)為人，試預(yù)計(jì)該校數(shù)學(xué)成績位于(90,110)內(nèi)人數(shù)．解：由X～N(100,102)∴P(90<X<110)＝P(100－10<X<100＋10)＝0.6826∴該校數(shù)學(xué)成績位于(90～100)內(nèi)人數(shù)約為0.6826×≈1365人．第35頁[歸納領(lǐng)悟]正態(tài)分布下概率計(jì)算常見有兩類：1．利用正態(tài)分布密度曲線對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，包括知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間面積為1.2．利用3σ標(biāo)準(zhǔn)求概率問題時(shí)，要注意把給出區(qū)間或范圍與正態(tài)變量μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)絡(luò)，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中哪一個(gè)．第36頁第37頁一、把脈考情從近兩年高考試題來看，主要在解答題中考查取有限個(gè)值離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值概念，經(jīng)過設(shè)置親密貼近現(xiàn)實(shí)生活情境考查概率思想應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，表達(dá)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．對(duì)于正態(tài)分布考查多以客觀題形式出現(xiàn)，主要考查正態(tài)曲線對(duì)稱性及3σ標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用，屬輕易題．第38頁解析：

P(－2≤ξ≤2)＝1－0.023×2＝0.954.答案：C第39頁2．(·上海高考)隨機(jī)變量ξ概率分布列由下表給出：x78910xP(ξ＝x)0.30.350.20.15P(ξ＝x)該隨機(jī)變量ξ均值是________．解析：由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案：8.2第40頁3．(·重慶高考)在甲、乙等6個(gè)單位參加一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位節(jié)目集中安排在一起，若采取抽簽方式隨機(jī)確定各單位演出次序(序號(hào)為1,2，…，6)，求：(1)甲、乙兩單位演出序號(hào)最少有一個(gè)為奇數(shù)概率；(2)甲、乙兩單位之間演出單位個(gè)數(shù)ξ分布列與期望．第41頁第42頁第43頁4．(·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則取得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則取得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立．(1)記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可取得總利潤，求X分布列；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所取得利潤不少于10萬元概率．第44頁