結(jié)構(gòu)力學(xué) 力法(二)

§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱性的概念對稱結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對稱的結(jié)構(gòu)。幾何對稱剛度對稱對稱結(jié)構(gòu)支承不對稱剛度不對稱非對稱結(jié)構(gòu)對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點對稱的荷載。

反對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等，作用點對稱,

反對稱的荷載。1§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱性的概念對稱結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對稱的結(jié)構(gòu)。對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點對稱的荷載。

反對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等，作用點對稱,方向

反對稱的荷載。對稱荷載反對稱荷載MEI=CEI=CM下面這些荷載是對稱？反對稱荷載？還是一般性荷載?2§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱性的概念對稱結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對稱的結(jié)構(gòu)。對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點對稱的荷載。

反對稱荷載：作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等，作用點對稱,方向

反對稱的荷載。任意荷載均可分解為對稱荷載和反對稱荷載的疊加，且對稱荷載和反對稱荷載均為原荷載值的一半。疊加原理：P原結(jié)構(gòu)AX1對稱荷載AA’X1X2反對稱荷載AA’X2EI=C3§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱結(jié)構(gòu)在對稱和反對稱荷載作用下的特征以圖示結(jié)構(gòu)為例推導(dǎo)說明。選取對稱基本結(jié)構(gòu)、對稱和反對稱基本未知量。P原結(jié)構(gòu)EI=CX3X1X2P基本結(jié)構(gòu)基本未知量對稱反對稱只包含兩個對稱基本未知量只包含一個反對稱基本未知量利用對稱性，可將原高階方程組解耦降階，化為兩個低階方程(組)4§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱結(jié)構(gòu)在對稱和反對稱荷載作用下的特征進(jìn)一步考慮荷載的對稱、反對稱性⑴對稱荷載作用下P/2P/2⑵反對稱荷載作用下P/2P/2Mp對稱Mp反對稱對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，只產(chǎn)生對稱的內(nèi)力、變形和位移，反對稱的內(nèi)力、變形和位移為零。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，只產(chǎn)生反稱的內(nèi)力、變形和位移，對稱的內(nèi)力、變形和位移為零。5§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對稱結(jié)構(gòu)在對稱和反對稱荷載作用下的特征綜上所述，將利用對稱性簡化力法計算的要點歸納如下：⑴選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)，取對稱約束力或反對稱約束力作為基本未知量。⑵對稱荷載作用下，只考慮對稱未知力。（反對稱未知力為零）⑶反對稱荷載作用下，只考慮反對稱未知力。（對稱未知力為零）⑷一般荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載。

【例】試用力法求作圖示剛架的彎矩圖。

各桿。6§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis【例】試用力法求作圖示剛架的彎矩圖。各桿?！窘狻坷脤ΨQ性簡化為一次超靜定。7§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)的受力特征，在對稱或反對稱荷載作用下，可以取半結(jié)構(gòu)計算，另外半結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可通過對稱或反對稱鏡像得到。半結(jié)構(gòu)選取的關(guān)鍵在于正確判別另外半結(jié)構(gòu)對選取半結(jié)構(gòu)的約束作用。判別方法有兩種：根據(jù)對稱軸上的桿件和截面的變形（或位移）特征判別。根據(jù)對稱軸上的桿件和截面的內(nèi)力特征判別。對稱軸上的桿件對稱軸上的截面彎曲變形軸線變形剪切變形彎矩軸力剪力角位移沿對稱軸線位移垂直對稱軸線位移約束力矩沿對稱軸約束力垂直對稱軸約束力對稱荷載×√××√××√×√×√反對稱荷載√×√√×√√×√×√×變形(位移)與約束力是一一對應(yīng)的；有變形(或位移)，則無約束力，也就沒有約束；反之，無變形(或位移)，則有約束力，也就存在約束。(適用于所有結(jié)構(gòu))(一般只適用于奇數(shù)跨結(jié)構(gòu))8§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)：對稱軸上截面的約束既可根據(jù)變形特征判別，也可根據(jù)內(nèi)力

特征判別。對稱荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPP半結(jié)構(gòu)EIEIP梁跨中截面內(nèi)力軸力彎矩剪力對稱反對稱(×)梁跨中截面位移水平線位移角位移豎向線位移反對稱(×)對稱反對稱荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEIP梁跨中截面內(nèi)力軸力彎矩剪力對稱(×)反對稱梁跨中截面位移水平線位移角位移豎向線位移反對稱對稱(×)半結(jié)構(gòu)9§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)：對稱軸上有桿件或支座，一般先判別對稱軸上桿件的變形特

征，再判別對稱軸上截面的位移特征。對稱荷載半結(jié)構(gòu)EIEIP原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEI①中柱無彎矩和彎曲變形；②結(jié)點A無轉(zhuǎn)角和水平線位移（反對稱位移），無豎向線位移（不計中柱伸縮變形）。A反對稱荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEI①中柱有彎矩和彎曲變形—必須保留；②結(jié)點A有轉(zhuǎn)角和水平線位移（反對稱位移），無豎向線位移（對稱位移且不計中柱伸縮變形）。PEIEI不計中柱伸縮變形，可取消半結(jié)構(gòu)10§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算【練習(xí)】利用對稱性選擇半結(jié)構(gòu)。EIEIEIPEIEIEIEIEIPPEIEIEIEIPEIEIEIPEIEIEIEIEI=cPEI=c11§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算【練習(xí)】利用對稱性選擇半結(jié)構(gòu)。PEI=cEI=cPEI=cABEI=cEA=∞EI=cEI1=∞PEI=cABPPAB桿EIAB=EI/2其它桿EI=cAB12§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算【練習(xí)】利用對稱性選擇半結(jié)構(gòu)。EI=cEI=cEI=c上下對稱EI=c左右對稱EI=cEI=c對稱無彎矩反對稱上下反對稱左右對稱13§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EIEIEI2EIEIEIEIEI2EIEIEIEIEI2EIEI對稱無彎矩反對稱EIEIEIEIEIEIEIEIEI對稱無彎矩反對稱EIEIEIEI基本結(jié)構(gòu)

又看到您了！14§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計算【例2】試用力法求作圖示對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cX1左右對稱上下對稱1Pl/23Pl/8Pl/83Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/83Pl/815§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對的廣義未知力簡化計算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cABCD求解思路：本結(jié)構(gòu)對稱，為了利用對稱性簡化計算，應(yīng)盡量選擇對稱位置上的多余力作為基本未知量，從而使基本結(jié)構(gòu)也對稱。2次超靜定，可以選擇A、C支座約束作為多余約束，對應(yīng)基本結(jié)構(gòu)如圖所示。EI=cABCDY1Y2為了進(jìn)一步簡化計算，使方程的副系數(shù)盡可能為零，將一般多余約束力Y1、Y2重新分解與組合，即

這就形成了兩個(兩組)新的廣義未知力。從數(shù)學(xué)上看，是Y1、Y2的線性組合，反映出來的物理含義是：將一般多余約束力分解成了一對對稱的未知力和一對反對稱的未知力。見上圖。ABCDX1X1ABCDX2X216§6-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對的廣義未知力簡化計算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cABCDABCDX1X1X2X2基本結(jié)構(gòu)（物理含義？）第一個方程：A、C兩點豎向位移和等于零。第二個方程：A、C兩點豎向位移差等于零。解得17力法方程的物理含義：左右兩個截面剪切變形的和等于零。由于兩個截面的剪切變形大小相等，故，等效于兩個截面的剪切均等于零?！?-5對稱性的利用—力法簡化計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對的廣義未知力簡化計算【例2】作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。（本例前面已講過選擇半結(jié)構(gòu)的求解方法）EI=cEI=c對稱無彎矩EI=c反對稱EI=c反對稱受力狀態(tài)的基本結(jié)構(gòu)X1X1Why?上下反對稱，故，截面彎矩、軸力為零。左右對稱，故，兩截面剪力大小相等，性質(zhì)相反。（后續(xù)計算略）18§6-6支座移動和溫度改變時的力法計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis超靜定結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下產(chǎn)生的內(nèi)力稱為自內(nèi)力。廣義荷載一般包括以下三種：支座移動、溫度變化、制造誤差。支座移動時的力法計算【例1】支座位移和已知，求梁的彎矩。EIABB’基本結(jié)構(gòu)ABX1ABB’X1求解方法方法一方法二計算ABAB力法方程(B豎向位移)(跨中截面相對角位移)19可見，與絕對剛度有關(guān)§6-6支座移動和溫度改變時的力法計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis支座移動時的力法計算【例1】支座位移和已知，求梁的彎矩。EIABB’基本結(jié)構(gòu)ABX1ABB’X1求解方法方法一方法二計算ABAB力法方程(B豎向位移)(跨中截面相對角位移)多余約束力最終彎矩圖由于基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，在支座位移情況下不產(chǎn)生內(nèi)力，故，最終彎矩圖完全由多余約束力產(chǎn)生，即20§6-6支座移動和溫度改變時的力法計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis支座移動時的力法計算支座移動時力法計算的特點如選有位移的支座作為多余約束，則方程右邊不為零，應(yīng)等于已知的支座位移。方程自由項由基本結(jié)構(gòu)的支座位移產(chǎn)生。（注意：多余約束力對應(yīng)支座位移不再是基本結(jié)構(gòu)的支座位移）結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力完全由多余約束力引起。內(nèi)力與絕對剛度有關(guān)。（一般荷載作用下的內(nèi)力只與相對剛度有關(guān)）內(nèi)力相同內(nèi)力不同EI1ABEI2C2EI1AB2EI2CEI1ABEI2C2EI1AB2EI2CB’DB’D21§6-6支座移動和溫度改變時的力法計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis溫度改變時的力法計算【例1】求圖示剛架由于溫度變化引起的內(nèi)力。，，

常數(shù)，矩形截面，?！窘狻浚瓬囟雀淖円鸬膬?nèi)力與各桿的絕對剛度EI

有關(guān)?；窘Y(jié)構(gòu)在溫度改變情況下無內(nèi)力22§6-6支座移動和溫度改變時的力法計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis思考題【1】圖示剛架EI=c，B支座發(fā)生支座位移。選取不同的基本結(jié)構(gòu)形式如圖所示，試寫出與基本結(jié)構(gòu)對應(yīng)的力法方程，并求出自由項。X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式一X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式二X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式三【2】圖示剛架EI=c，AB桿造長了1cm，如何作彎矩圖？X1X2X3基本結(jié)構(gòu)AB23§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis基本原理和方法變形體的虛功原理及其相應(yīng)的單位荷載法并不限定于靜定結(jié)構(gòu)的位移計算，同樣適用于超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算。如果直接對原始超靜定結(jié)構(gòu)應(yīng)用虛功原理，位移狀態(tài)和虛力狀態(tài)的內(nèi)力都必須經(jīng)過力法計算才能得到，計算工作量較大，十分繁瑣。能否簡化呢？怎樣簡化？根據(jù)力法基本原理知：基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和已知外荷載共同作用下與原始超靜定結(jié)構(gòu)等效，所以，超靜定結(jié)構(gòu)的位移就是基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和已知外荷載共同作用下的位移。這樣，就將超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算化成了基本結(jié)構(gòu)（靜定結(jié)構(gòu)）的位移計算。按照上述思路，只需在基本結(jié)構(gòu)上建立虛力狀態(tài)即可，由于基本結(jié)構(gòu)是靜定，單位荷載作用下的內(nèi)力極易求得，這將使計算工作大為簡化?；窘Y(jié)構(gòu)位移狀態(tài)的內(nèi)力就是原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。由于超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)不唯一，故，位移計算時，虛力狀態(tài)的建立有多種方式，應(yīng)盡量選擇使內(nèi)力功計算(圖乘)比較方便的基本結(jié)構(gòu)。24§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算StrucuralAnalysis一般荷載作用下的位移計算【例1】圖示超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖已知，試求跨中F點的豎向位移和D點的水平位移。原結(jié)構(gòu)2EI3EI2EI7kN/mABCFDM圖23.414.430.657.6(單位：kNm)【解】⑴求，應(yīng)選擇怎樣的虛力狀態(tài)？3m虛力狀態(tài)(一)3m虛力狀態(tài)(二)1.5m虛力狀態(tài)(三)顯然，虛力狀態(tài)(三)與原結(jié)構(gòu)彎矩圖圖乘簡單。(真實方向：向上)比較右邊三種虛力狀態(tài)，選擇哪個計算簡單？25§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算StrucuralAnalysis一般荷載作用下的位移計算【例1】圖示超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖已知，試求跨中F點的豎向位移和D點的水平位移。原結(jié)構(gòu)2EI3EI2EI7kN/mABCFDM圖23.414.430.657.6(單位：kNm)【解】⑵求，應(yīng)選擇怎樣的虛力狀態(tài)？6m虛力狀態(tài)(真實方向：向右)SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.26§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算溫度變化情況下的位移計算【解】⑴多余力引起的位移超靜定結(jié)構(gòu)位移＝基本結(jié)構(gòu)位移基本結(jié)構(gòu)由多余約束力引起的位移(有內(nèi)力)基本結(jié)構(gòu)由溫度變化引起的位移(無內(nèi)力)2m單位彎矩圖-0.5單位軸力圖-0.5⑵溫度變化引起的位移原結(jié)