再論《算數(shù)書》與《九章算術(shù)》的關(guān)系

再論?算數(shù)書?與?九章算術(shù)?的關(guān)系

一、問題的提出與已有的意見

在中國數(shù)學史上，最重要的著作莫過于?九章算術(shù)?了，它的形成奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的根本格局?，F(xiàn)存本?九章算術(shù)?是西漢代晚期編定的，由于其內(nèi)容非常豐富和相當深奧，程度遠遠高過其后成書的?孫子算經(jīng)?、?張丘建算經(jīng)?、?五曹算經(jīng)?、?五經(jīng)算術(shù)?、?夏侯陽算經(jīng)?、?數(shù)術(shù)記遺?等著作，所以它的形成問題就成為很重要的學術(shù)問題。不過，在1983與1984年之交湖北省江陵張家山西漢初年墓出土?算數(shù)書?之前，材料的缺乏嚴重制約著對這一問題的討論。

1984年以后公布有關(guān)?算數(shù)書?的零星資料，為研究這一問題帶來的光輝。不過，很多學者更關(guān)注與此相關(guān)的另一個問題：?算數(shù)書?與?九章算術(shù)?的關(guān)系。由于二書有一些類似之處，學者們很容易自然地認為?九章算術(shù)?受到?算數(shù)書?的直接影響。如李迪先生認為出土?算數(shù)書?的漢墓墓主為張蒼，“‘算數(shù)書’是他對數(shù)學問題研究、整理的副本〞，“在朝廷里肯定還有一部較為完好的‘算數(shù)書’〞，“?九章算術(shù)?肯定輾轉(zhuǎn)來自‘算數(shù)書’，后者是前者的前身〞[1]，白尚恕先生認為“?九章?可能源于?算數(shù)書?，而?算數(shù)書?那么是?九章?的母本之一〞[2]。沈康身先生等的觀點略同[3]。陳躍均、陳燕平先生認為二書雖有不同，“但兩者之間無論是體例，或是內(nèi)容，都能使人看到一條一脈相承的脈絡(luò)，即?九章?源于?算數(shù)書?，?算數(shù)書?是?九章?的母本〞[4]。袁敏博士也認為：“不管在體例上、內(nèi)容上、構(gòu)造上都有一脈相承的跡象〞[5]。宋述剛、陳彰棟先生認為：“?算數(shù)書?可能是?九章算術(shù)?的母本〞[6]。朱啟新先生認為“?九章算術(shù)?今本文字是沿襲?算數(shù)書?的〞[7]。不過，也有另一些學者持傾向性較弱的結(jié)論甚至相反的看法。如李兆華先生說“兩者之間可能有某種聯(lián)絡(luò)，是有待討論[的]〞[8]。杜石然先生雖認為“二書可能有某些傳承關(guān)系〞，但還注意到兩書的不同之處[9]。李學勤先生認為“?九章算術(shù)?今本文字是沿襲?算數(shù)書?而來，或者兩書有共同的來源〞[10]。李繼閔先生在論及?九章?的時代背景時順便涉及這一問題：“?算數(shù)書?為西漢早期的下葬品，這絕不意味著它是漢初的作品，更不能認為它代表了那時中國數(shù)學開展的程度，將它看做?九章算術(shù)?之前身是缺乏證據(jù)的，由此推斷‘?九章算術(shù)?成書年代不會太早’也就沒有道理了〞[11]。

2000年9月號的?文物?雜志發(fā)表?算數(shù)書?釋文全本后，關(guān)于?九章?與?算數(shù)書?關(guān)系的兩類觀點更加明確。?算數(shù)書?整理小組認為?算數(shù)書?的內(nèi)容與“?九章?前七章的主要內(nèi)容非常接近，兩者有著親密的聯(lián)絡(luò)。〞[12]主要整理者彭浩先生認為：“?算數(shù)書?奠定了中國古代數(shù)學開展的根底，系統(tǒng)地總結(jié)了秦和秦以前的數(shù)學成就，對另一部數(shù)學巨著?九章算術(shù)?的產(chǎn)生有著直接的影響。〞[13]洪萬生先生說：“?九章算術(shù)?的編纂者以?算數(shù)書?〔最晚西漢初呂后二年問世〕為摹本當然不無可能〞，但也可能兩書的作者“是同一個算數(shù)文化與文本脈絡(luò)下的人物〞[14]。城地茂先生認為：“至少?算數(shù)書?是?九章算術(shù)?的源流之一〞，“公元前2世紀以前的?九章算術(shù)?可能就是?算數(shù)書?〞[15]。另一方面，鄒大海明確認為：今本?九章算術(shù)?和?算數(shù)書?之間沒有直接的文本影響關(guān)系，兩者有共同的源頭，“?算數(shù)書?的作者們是在學習了?九章?的先秦祖本或其衍生本后才寫成?算數(shù)書?的各局部的〞[16]。郭書春先生亦認為：“?筭數(shù)書?的某些局部與?九章算術(shù)?在先秦存在的以‘九數(shù)’為主體的某種形態(tài)有血緣關(guān)系〞，“?算數(shù)書?不可能是?九章算術(shù)?的前身〞[17]。

下面我們進一步討論這一問題。

二、?算數(shù)書?沒有對?九章算術(shù)?產(chǎn)生直接的影響

1?算數(shù)書?不是最早也不是漢?九章?以前惟一的數(shù)學著作

由于對?九章?與?算數(shù)書?之間是否有單向或雙向的影響關(guān)系這一問題，我們見不到當事人的話或古人的記載作為直接的證據(jù)來論定，所以現(xiàn)代學者個人事先有意無意的傾向反而成為論證的目的乃至出發(fā)點。為著使討論更富有成效，我認為有必要確立一些標準作為在這一問題上持不同傾向性意見的學者們展開討論的共同基矗

研究一般古文獻和思想史的學者們，習慣通過比照一前一后兩種文獻的相似性，說明前者受后者的影響；或者通過比照兩種文獻的抽象與特殊、總括與詳細等來判斷其先后次序。這種方法有一定道理和效果，但局限亦十清楚顯。具有不同傾向意見的學者比擬兩項同樣的材料之異同，卻得出完全相反的結(jié)論，這種例子并不少見。另外，這種比擬異同來說明文獻間關(guān)系的方法，對論證兩種數(shù)學文獻間關(guān)系的適用性如何，以及這種方法如何使用，也是一個問題。

總的說來，由?算數(shù)書?與?九章?的相似性來確切證明前者影響后者，需要一個前提：?算數(shù)書?是西漢晚期?九章?以前惟一的一部數(shù)學著作。當然，在歷史研究中強調(diào)要這樣一個前提作為論證的根底，似乎要求太高。那退一步說，?算數(shù)書?是很可能是當時惟一的一部數(shù)學著作，這樣一個前提總還是需要的吧。如今讓我們看看這一前提存在的可能性有多大。

筆者曾分析過?算數(shù)書?的性質(zhì)，指出它是取材于多種著作的撮編之作[18]，郭書春先生又進一步肯定了這一點[19]，這充分說明?算數(shù)書?并非開山之作，其前已有多種數(shù)學著作問世，“?算數(shù)書?是中國最早的數(shù)學著作〞的說法是錯誤的。其次，據(jù)胡平生先生的介紹，阜陽雙古堆公元前165年下葬的墓中出土有數(shù)學殘簡，其中能辨識出與?九章?少廣章的第8個問題、均輸章第1個問題相對應(yīng)的文字[20]。均輸章第1個問題的算法不見于?算數(shù)書?，這充分說明在西漢初期確實有異于?算數(shù)書?而與?九章?局部內(nèi)容相近的書存在。因此，?九章?肯定有異于?算數(shù)書?的其他數(shù)學著作作為其淵源。復次，在銀雀山西漢武帝時墓出土的漢簡中亦有假設(shè)干殘簡，吳九龍定為?算書?[21]，其表達方式與?算數(shù)書?有異。因此，考古發(fā)現(xiàn)本身說明?算數(shù)書?決不是?九章?之前惟一的數(shù)學著作。

另外，從文獻記載來看，據(jù)劉徽?九章算術(shù)注序?：西周初年周公制禮時有“九數(shù)〞，它在先秦開展為?九章算術(shù)?，這部?九章算術(shù)?在秦始皇焚書時被損壞了。西漢初期的張蒼、中晚期的耿壽昌搜集破損的?九章?殘簡，進展刪改和增補，并改用漢代通行的語言編輯加工，遂成劉徽所見的?九章算術(shù)?〔引文詳下〕。拋開鄭眾注?周禮?“九數(shù)〞是不是周公時的數(shù)學細目，?九章?的損壞是不是應(yīng)完全歸罪于暴秦焚書，由于目前我們找不到一個實在的證據(jù)證明劉徽的話有錯誤，所以劉徽的記載至少說明?九章?是有其先秦藍本的，而且這藍本的框架應(yīng)和后來的?九章?相去不遠，或即東漢初年鄭眾注?周禮?“九數(shù)〞時所列的九個科目“方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、贏缺乏、方程、旁要〞[22]。所以，在今傳西漢晚期本?九章?之前，一定有多種數(shù)學著作流傳。

實際上，由于社會生活、行政管理、各種手工業(yè)等的需要，在西漢后期?九章算術(shù)?編就以前，數(shù)學方法的使用者的人數(shù)，肯定遠遠超出古代讀過如今的古代數(shù)學著作的人，而當時詳細的數(shù)學方法〔不一定都有多高的學術(shù)價值〕也肯定遠遠超越這些著作所載的范圍。這些方法也不可能都是口傳手授，因此，當時還肯定還有很多如今我們還找不到蹤跡的數(shù)學著作。古代儒家教授六藝，數(shù)居其一，除了口傳手授，也應(yīng)有一些文字材料。官僚管理中的以吏為師，有一局部職位和局部工作要用到數(shù)學方法，沒有文字材料是很難想像的。近年發(fā)現(xiàn)的湘西里耶古簡中就有“九九〞表，很難想像更復雜的數(shù)學方法沒有文字記載。戰(zhàn)國時的秦國和秦朝的嚴刑峻法，在政府管理中容不得半點差誤，沒有相應(yīng)的數(shù)學知識做保證，是不能想像的。古代復雜的土建工程需要考慮面積、體積、人力和工程量的分配、測量等問題，而秦律規(guī)定土建工程必須事先做方案，且實際完工和方案的時間之差不能超過兩天，否認就要受罰。這樣嚴厲的法律，說明工程的方案必須非常準確嚴格，沒有相應(yīng)的數(shù)學方法做保證顯然是不可能的。因此，制定方案所涉及?九章?中的方田、粟米、衰分、商功、均輸、勾股等章的很多方法，在當時應(yīng)已成熟[23]，且超出個別專家的獨占而在一定程度上得到傳播，為一批人所掌握。這就需要把相關(guān)的知識寫成書來傳播。?算數(shù)書?中沒有關(guān)于土木工程的問題，因此，當時肯定存在著超出?算數(shù)書?內(nèi)容的其他數(shù)學著作。

總之，在漢?九章?之前，除了?算數(shù)書?外，肯定還存在很多數(shù)學著作，其中肯定有相當一局部著作的內(nèi)容超出了?算數(shù)書?的內(nèi)容。因此，不能僅憑二者有一局部內(nèi)容相似就斷言?算數(shù)書?對?九章?有直接的影響。而從另一方面說，由于數(shù)學知識的廣泛適用性，各個不同地域和不同歷史時期都需要用到一些相近的數(shù)學方法，自然也會用文字寫下來，當時這類材料應(yīng)該很多，因此，任意兩種材料之間有局部相似，是很正常的事，而兩種材料之間沒有直接的繼承關(guān)系也是常例而非特例。所以，假如兩種數(shù)學材料之間只是有局部相似但沒有其他可斷定性的特征，這兩種材料之間有直接繼承關(guān)系的可能性不是很大而是很校

2?九章?沒有受到?算數(shù)書?的直接影響

當然，證明?算數(shù)書?只是今存漢編?九章?之前的多種著作中的一種，當時肯定存在很多數(shù)學材料，這只能證明?算數(shù)書?很可能而不是一定沒有對?九章?產(chǎn)生直接的影響。不過，筆者比擬過?算數(shù)書?和?九章?中方法和文本有一樣處的內(nèi)容，說明兩者同時又存在相當大的差異。特別是以下幾點值得注意：

〔1〕兩者都有息錢算法且月息一樣，但題設(shè)不同，?算數(shù)書?的算法是接近一般性的方法，?九章?的算法是詳細的。?九章?是以術(shù)為中心的數(shù)學著作，其大局部方法是具有普適性的抽象方法，假如?九章?的編者讀了?算數(shù)書?，很難解釋為什么不采用?算數(shù)書?已有的一般性方法，而只給出一個針對詳細問題的術(shù)。

〔2〕兩書都有芻童的體積計算法，且都是一般性的正確方法，但表達方式差異較大。?九章?中列有計算同一樣題的不同方法，假如?九章?的編者看到了?算數(shù)書?關(guān)于芻童的計算公式，為什么不把它收錄呢？

〔3〕?算數(shù)書?有鄆都，從音讀上看應(yīng)如彭浩先生所說“‘鄆都’疑讀作‘壍堵’〞[24]，但鄆都和?九章?的壍堵形狀相去甚遠，而和?九章?的芻甍同形，且公式雖一樣，但表述有異，特別是術(shù)語也有較大差異[25]。可見?九章?的壍堵、芻甍問題和方法和?算數(shù)書?沒有關(guān)系，而是另有來源。

〔4〕兩種文獻都有少廣術(shù)和少廣問題，但?九章?的少廣術(shù)是普遍適用的方法，而?算數(shù)書?少廣術(shù)是比擬詳細的，其中對如何從“下有假設(shè)干步〞來確定“以一為假設(shè)干，以半為假設(shè)干，以三為假設(shè)干…〞沒有交代，而這正是?九章?少廣術(shù)所能解決的。這說明?九章?的少廣術(shù)或其早期形態(tài)是?算數(shù)書?少廣術(shù)的作者學習的對象。另外，?九章?第5個少廣問題的術(shù)中“下有六分，以一為一百二十，半為六十……〞沒有用約簡的數(shù)字，而?算數(shù)書?中對應(yīng)問題卻用了約簡的數(shù)字。假如漢?九章?的編者整理時參考了?算數(shù)書?，那么很自然地會采用?算數(shù)書?的約簡數(shù)字。以上說明?算數(shù)書?沒有對?九章?產(chǎn)生直接的影響。而兩書關(guān)于糧米的比率，那么更進一步說明?九章?確實沒有受到?算數(shù)書?的直接影響。

?九章?第二章開頭列各種糧米之比率：

“粟米之法：

粟率五十糲米三十

粺米二十七糳米二十四

御米二十一小十三半

大五十四糲飯七十五

粺飯五十四糳飯四十八

御飯四十二菽、荅、麻、麥各四十五

稻六十豉六十三

飱九十熟菽一百三半

糵一百七十五〞[26]

這里，粟、糲、粺、糳的比為50：30：27：24。

?說文解字?米部那么有以下的記錄：

1“糲：粟重一為十六斗太半斗，舂為米一斛曰糲。〞

2“毇：米一斛舂為八斗也。〞

3“糳：糲米一斛舂為九斗曰糳。〞

4“粺：毇也。從米卑聲。〞[27]

據(jù)此那么粟、糲、粺〔毇〕、糳的比為50：30：24：27?？梢姡?、糳之比在?九章?和?說文?中是互換的。過去清代段玉裁等以?說文?誤而?九章?是，并據(jù)?九章?而改動?說文?。1975年底湖北云夢睡虎地出土秦律記有：

“[禾黍一]石六斗大半斗，舂之為糲米一石；糲米一石為鑿〔糳〕米九斗；九[斗]為毀〔毇〕米八斗。〞[28]

其中“禾黍一〞系筆者據(jù)?說文?字條“，百二十斤也。稻一為粟二十升，禾黍一為粟十六升大半升〞及?算數(shù)書?“程禾〞條〔詳下〕補。括號內(nèi)的字系指明通假?！拌徝拙哦?，九[斗]〞原為作“鑿米九=斗〞，“=〞為重文號，整理小組認為“斗〞下脫重文號，故補“斗〞字。

裘錫圭先生指出秦簡證明段玉裁等觀點有誤，?說文?中糳米的比率是正確的，?九章?的糳米率那么有誤[29]。?算數(shù)書?程禾條也有類似的記載：

“程曰：禾黍一石為粟十六斗泰〔大〕半斗，舂之為糲米一石，糲米一石為糳米九斗，糳米[九]斗為毀〔毇〕米八斗。〞[30]

這進一步證明?九章?關(guān)于糳米的比率是錯誤的。

?算數(shù)書?中有“粺毇〞、“粟為米〞、“粟求米〞、“米出錢〞諸條提到粺米，根據(jù)這些條目，粟、糲、粺、毇的比為50：30：27：24。但?算數(shù)書?中沒有一條涉及粺和糳的比例關(guān)系。經(jīng)過比擬不同條目中各種糧米的比率，可知粺和糳是同種精度的米，它們和毇的比都是27：24。?算數(shù)書?中有大量涉及毇米的問題，但在?九章?中毇卻沒有出現(xiàn)，與由粟舂的毇比率一樣的是糳，而由稻舂出的毇在?九章?中沒有對應(yīng)物。由于?九章算術(shù)?是張蒼、耿壽昌等精心編纂的著作，其中除極個別過失外極少有錯誤，粟、糲、粺、糳等的比例在全書各個問題中都是統(tǒng)一的，假如他們讀過這部?算數(shù)書?，他們肯定會結(jié)合當時的實際和查閱有關(guān)的法律，來修正糳米的比率，并將毇米設(shè)計到問題中去，或者采用?算數(shù)書?中有關(guān)毇米的問題。而假如他們沒有讀過?算數(shù)書?，不加注意、將錯就錯地繼承以前已經(jīng)錯誤的數(shù)據(jù)和相關(guān)問題，并且沒有想到有關(guān)毇米的計算方法和問題，那么是完全可能的，也是自然的[31]。

以上我們證明了?算數(shù)書?沒有直接對?九章?產(chǎn)生影響，當然更不可能是?九章?的前身或母本。當然我們這樣說，并不意味著?算數(shù)書?一定沒有對漢?九章?產(chǎn)生過間接的影響。?算數(shù)書?的局部內(nèi)容假如輾轉(zhuǎn)為漢?九章?的編者所見，并作為參考，這種可能性也是存在的。但這種可能性不是很大。因為?我們在歷史文獻中找不出?算數(shù)書?的蹤跡，看不出它得到多大程度的傳播。而且，即使?算數(shù)書?對?九章?產(chǎn)生了間接的影響，這種影響也是很有限的。這不僅因為?九章?的深度和廣度遠遠超過?算數(shù)書?，而且因為〔1〕?算數(shù)書?只有少局部和?九章?內(nèi)容相似，多數(shù)局部并不相似?！?〕兩書相似的局部在題設(shè)和表達及術(shù)語方面存在差異?！?〕?算數(shù)書?中有假設(shè)干比?九章?優(yōu)越的地方[32]，沒有被?九章?吸收。轉(zhuǎn)貼于論文聯(lián)盟.ll.

[1]李迪：?江陵張家山西漢墓墓主是誰？?，刊于?數(shù)學史研究文集?第四輯，呼和浩特：內(nèi)蒙古大學出版社、臺北：九章出版社，1993年7月。第5-9頁。

[4]陳躍鈞、陳燕萍：?算數(shù)書?與?九章算術(shù)?，刊于武漢大學學報編輯部?湖北省考古學會論文選集?〔一〕，武漢大學學報編輯部出版，1987年7月。第220-222頁

[5]曲安京主編：?中國古代科學技術(shù)史綱——數(shù)學卷?，沈陽：遼寧教育出版社，2000年7月。第2頁。

[6]宋述剛、陳彰棟：?試論荊州古代數(shù)學?，刊?荊州師專學報〔自然科學版〕?第18卷第5期〔1995年10月〕第27-29頁。

[7]朱啟新等著：?文物與數(shù)學?，北京：東方出版社，2000年10月。第53頁。

[8]李兆華著：?中國數(shù)學史?，臺北：文津出版社，1995年3月。第16頁。

[9]杜石然：?江陵張家山竹簡?算數(shù)書?初探?，刊于?自然科學史研究?第7卷第3期〔1988年7月〕第201-204頁。

[10]李學勤：?中國數(shù)學史上的重大發(fā)現(xiàn)——江陵張家山漢簡一瞥?，刊?文物天地?，1985年第1期第46-47頁。

[11]李繼閔：?東方數(shù)學典籍〈九章算術(shù)〉及其劉徽注研究?，西安：陜西人民教育出版社，1990年3月。第16頁。

[12]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組：?張家山漢墓竹簡[二四七號墓]?，北京：文物出版社，2001年11月。釋文局部第249頁。

[13]彭浩：?中國最早的數(shù)學著作〈算數(shù)書〉?，?文物?2000年第9期第85-90頁。

[14]洪萬生：?〈算數(shù)書〉初探?，刊?師大學報：科學教育類?第45卷第2期〔2000年〕

[15]城地茂：?〈算數(shù)書〉成書年代?，?世界華人科學史學術(shù)研討會會場論文集?合訂本，淡江大學歷史學系、化學學系，2001年3月。第129-138頁?！霸戳鳕曀剖恰霸搭^〞或“源泉〞之誤。

[16]鄒大海：?初觀〈算數(shù)書〉?，刊?中國文物報?2001年3月14日第7版，又鄒大海：?出土〈算數(shù)書〉初探?，刊?自然科學史研究?第20卷第3期〔2001年7月〕193-205頁。又鄒大海：?從〈算數(shù)書〉和秦簡看上古糧米的比率?，刊?自然科學史研究?2022年10月第22卷第4期第318-328頁。

[17]郭書春：?試論〈算數(shù)書〉的理論奉獻與編纂?，刊?法國漢學?第六輯，北京：中華書局，2002年第505-537頁。又郭書春：?〈筭數(shù)書〉初探?，?國學研究?第十一輯，北京大學出版社，2022年6月。第307-349頁。又郭書春：?〈筭數(shù)書〉與〈算經(jīng)十書〉比擬研究?，刊?自然科學史研究?第23卷第2期〔2022年4月〕，第106-120頁。

[18]鄒大海：?初觀〈算數(shù)書〉?，刊?中國文物報?2001年3月14日第7版，又鄒大海：?出土〈算數(shù)書〉初探?，刊?自然科學史研究?第20卷第3期〔2001年7月〕193-205頁。

[19]郭書春：?試論〈算數(shù)書〉的理論奉獻與編纂?，刊?法國漢學?第六輯，北京：中華書局，2002年第505-537頁。又郭書春：?〈筭數(shù)書〉初探?，?國學研究?第十一輯，北京大學出版社，2022年6月。第307-349頁。又郭書春：?〈筭數(shù)書〉與〈算經(jīng)十書〉比擬研究?，刊?自然科學史研究?第23卷第2期〔2022年4月〕，第106-120頁。

[20]胡平生：?阜陽雙古堆漢簡數(shù)術(shù)書簡論?，刊?出土文獻研究?第四輯，北京：中華書局，1998年，第12-30頁。

[21]吳九龍：?銀雀山漢簡釋文?，北京：文物出版社，1985年12月。

[22]郭書春認為鄭眾所列是先秦數(shù)學的九個局部，鄒大海進一步認為是秦秋戰(zhàn)國時代數(shù)學的九個科目。?算數(shù)書?由69個條目組成，整理者的編排雖把內(nèi)容相近的條目排在一起，我們看不出原書有系統(tǒng)的分類，這與“九數(shù)〞或?九章?的框架相去甚遠。

[23]鄒大海：?中國數(shù)學的興起與先秦數(shù)學?，石家莊：河北科學技術(shù)出版社，2001年9月，第131-132，第144-146頁。鄒大海：?睡虎地秦簡與先秦數(shù)學?，第六屆中國科學技術(shù)史學會代表大會〔北京，2000年8月〕及第九屆國際中國科學史會議論文〔香港城市大學，2001年10月〕

[24]彭浩：?中國最早的數(shù)學著作〈算數(shù)書〉?，?文物?2000年第9期第85-90頁。

[25]日本張家山漢簡?算數(shù)書?研究會張?zhí)婵》虻日J為整理小組釋讀為“鄆〞的字應(yīng)釋讀為“斬〞(見：張?zhí)婵》颉笍埣疑綕h簡『算數(shù)書』訳注稿」，刊?大阪産業(yè)大學論集人文科學編?112號〈拔刷〉，2022年2月)。如此那么更說明?算數(shù)書?和?九章?差異很大了。

[26]郭書春：?〈九章算術(shù)〉匯校本?，沈陽：遼寧教育出版社，1990年，第323-324頁。

[27]許慎：?說文解字?，北京：中華書局，1987年，第146-148頁。

[28]睡虎地秦墓竹簡整理小組：?睡虎地秦墓竹簡?，北京：文物出版社，1978年，44-45頁。

[29]裘錫圭：?考古發(fā)現(xiàn)的秦漢文字資料對于校讀古籍的重要性?，刊裘錫圭?古代文史研究新探?，南京：江蘇古籍出版社，2001年，第18-20頁。

[30]彭浩．張家山漢簡?算數(shù)書?注釋[]．北京：科學出版社，2001．

[31]參考鄒大海：?出土〈算數(shù)書〉初探?