浮點(diǎn)數(shù)表示方法的分析研究

浮點(diǎn)數(shù)表現(xiàn)要領(lǐng)的闡發(fā)研究摘要：在?盤算機(jī)構(gòu)成原理?課程的講授中，浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)與運(yùn)算是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本文對浮點(diǎn)數(shù)的一樣平常表現(xiàn)及尺度表現(xiàn)的要領(lǐng)、范疇、存儲格式等舉行了比力深化地比力、闡發(fā)和研究，力圖給讀者一個(gè)清楚的概述。關(guān)鍵詞：浮點(diǎn)數(shù)，表現(xiàn)要領(lǐng)，標(biāo)記，尾數(shù)，階碼，范疇?盤算機(jī)構(gòu)成原理?課程是盤算機(jī)科學(xué)與技能專業(yè)的一門必修專業(yè)底子課，重要是報(bào)告盤算機(jī)體系幾大硬件的構(gòu)成布局和事情原理。在其焦點(diǎn)部件——運(yùn)算器(Arithetiian)的運(yùn)算機(jī)制中，浮點(diǎn)數(shù)〔Flating-pint〕的表現(xiàn)與運(yùn)算要領(lǐng)是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，筆者在查閱了大量中外文文獻(xiàn)的底子上，按照多年的講授理論履歷，對浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)要領(lǐng)、規(guī)格化處置懲罰要領(lǐng)、表現(xiàn)范疇舉行了比力詳細(xì)地闡發(fā)研究，以便利門生的學(xué)習(xí)，配合行們參考。1、浮點(diǎn)數(shù)的一樣平常表現(xiàn)要領(lǐng)在數(shù)學(xué)中，表現(xiàn)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)必要三要素：尾數(shù)〔antissa〕、指數(shù)〔expnent，又稱階碼〕和基數(shù)〔base〕，都用其第一個(gè)字母來表現(xiàn)的話，那么恣意一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)N可以表現(xiàn)成以下情勢：N=×BE，比方N1=1.234×10-6，N2=-0.001011×2022等，同樣的數(shù)字對付差異的基數(shù)是不雷同的，挪動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，其指數(shù)相應(yīng)地隨著變革。在盤算機(jī)中，表現(xiàn)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，同樣必要以上三要素，只是階碼與尾數(shù)一同存儲，基數(shù)常有2、8、16等數(shù)值，下面的討論以2為基數(shù)舉行。將浮點(diǎn)數(shù)放在盤算機(jī)中存儲時(shí)，尾數(shù)用定點(diǎn)〔Fixed-pint〕小數(shù)的情勢，階碼E用有標(biāo)記整數(shù)情勢，改變中小數(shù)點(diǎn)的位置，同時(shí)必要修改E的值，可以給出有用數(shù)字〔signifiantnuber〕的位數(shù)，因此和E決定了浮點(diǎn)數(shù)的精度〔preisin〕，E指明小數(shù)點(diǎn)在B進(jìn)制數(shù)據(jù)中的位置，因此E和B決定了浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)范疇〔range〕，浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)記〔Sign〕是單獨(dú)思量，設(shè)階碼有+1位，尾數(shù)有n+1位，那么一樣平常浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)要領(lǐng)如圖1所示，此中，下標(biāo)s代表標(biāo)記位，下標(biāo)數(shù)字代表數(shù)字所處的位數(shù)，尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)默認(rèn)最高數(shù)字位1之前。圖〔b〕是將尾數(shù)的標(biāo)記位提在最前面，別的部門與圖〔a〕一樣，是如今常用的一種表現(xiàn)情勢。圖1浮點(diǎn)數(shù)的一樣平常表現(xiàn)情勢在這種表現(xiàn)要領(lǐng)中，階碼的二進(jìn)制編碼〔binaryde〕一樣平常是原碼〔signagnitude〕、補(bǔ)碼〔tspleent〕或移碼〔bias〕，尾數(shù)的編碼一樣平常是原碼或補(bǔ)碼。2、浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化處置懲罰在浮點(diǎn)數(shù)體系中，小數(shù)點(diǎn)的浮動(dòng)使數(shù)值的表現(xiàn)不克不及惟一，從而給數(shù)據(jù)處置懲罰帶來困難，因此有需要使浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)與存儲有必然的尺度，思量到階碼、尾數(shù)之間的干系，常將尾數(shù)的最高數(shù)字位是有用值的數(shù)值稱為規(guī)格化〔nralizatin〕，由于尾數(shù)可以是原碼或補(bǔ)碼，以是有兩種規(guī)格化的情勢，如表1所示。表1規(guī)格化數(shù)據(jù)的情勢尾數(shù)編碼尾數(shù)代碼情勢說明正數(shù)負(fù)數(shù)原碼0.1×××1.1×××最高數(shù)治槐匭胛?補(bǔ)碼0.1×××1.0×××標(biāo)記位與最高數(shù)字位必需相阻擋付二進(jìn)制尾數(shù)，規(guī)格化限定了其范疇是：1/2≤||＜1，通過擺布挪動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，增減階碼的值來舉行規(guī)格化處置懲罰。在浮點(diǎn)數(shù)中，零的表現(xiàn)比力特別。一個(gè)是零浮點(diǎn)數(shù)，一樣平常地，對付規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)來說，無論階碼為任何值，尾數(shù)為零就以為該浮點(diǎn)數(shù)是零，但這現(xiàn)實(shí)上是由尾數(shù)的舍入而近似的值，要讓總體浮點(diǎn)數(shù)趨近于零，其階碼必需是一個(gè)不超出表現(xiàn)范疇的最大的負(fù)數(shù)才行。設(shè)階碼含標(biāo)記為n位，那么整數(shù)階碼所表現(xiàn)的范疇是：至或至，便是或。另一個(gè)題目產(chǎn)生于零的唯一表達(dá)題目，為了實(shí)現(xiàn)用指令測試零，約定在定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)格式中零具有雷同的表達(dá)式，將浮點(diǎn)數(shù)的階碼值舉行余編碼，就像BD碼中余3碼加3一樣，階碼被形貌為E加上，這個(gè)就叫偏移〔bias〕，由上面闡發(fā)可知的取值有兩種，浮點(diǎn)數(shù)的尺度表現(xiàn)情勢〔IEEE754尺度〕所接納的是偏移值。3浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)范疇浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)有必然的范疇，超出范疇時(shí)會產(chǎn)生溢出〔fl〕，一樣平常稱大于絕對值最大的數(shù)據(jù)為上溢〔verfl〕，小于絕對值最小的數(shù)據(jù)為下溢〔underfl〕。浮點(diǎn)數(shù)表現(xiàn)范疇一樣平常分以下幾種環(huán)境思量，設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼和尾數(shù)均用補(bǔ)碼表現(xiàn)〔原碼表現(xiàn)比力簡樸〕，階碼為+1位〔此中1位是標(biāo)記〕，尾數(shù)為n+1〔此中1位是標(biāo)記〕，那么浮點(diǎn)數(shù)的典范范疇值如表2所示。表2浮點(diǎn)數(shù)的典范范疇值典范范疇浮點(diǎn)數(shù)代碼真值數(shù)符(s)階碼(E)尾數(shù)()最大正數(shù)最小正數(shù)規(guī)格化的最小正數(shù)絕對值最大的負(fù)數(shù)絕對值最小的負(fù)數(shù)規(guī)格化的絕對值最小負(fù)數(shù)000111011…11100…00100…00011…11100…00100…0011………1100………0110………0000………0011………1101………114、尺度表現(xiàn)法為便于軟件的移植，浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)格式應(yīng)該有同一尺度。1985年IEEE〔InstitutefEletrialandEletrnisEngineers〕提出了IEEE754尺度。該尺度劃定基數(shù)為2，階碼E用移碼表現(xiàn)，尾數(shù)用原碼表現(xiàn)，按照原碼的規(guī)格化要領(lǐng)，最高數(shù)字位總是1，該尺度將這個(gè)1缺省存儲，使得尾數(shù)表現(xiàn)范疇比現(xiàn)實(shí)存儲的一位。實(shí)數(shù)的IEEE754尺度的浮點(diǎn)數(shù)格式為：詳細(xì)有三種情勢：表3IEEE754三種浮點(diǎn)數(shù)的格式參數(shù)浮點(diǎn)數(shù)范例存儲位數(shù)偏移值()階碼E的取值范疇真值表達(dá)式數(shù)符(s)階碼(E)尾數(shù)()總位數(shù)十六進(jìn)制十進(jìn)制短實(shí)數(shù)1823327FH1271~254長實(shí)數(shù)11152643FFH10231~2046暫時(shí)實(shí)數(shù)11564803FFFH163831~32766對付階碼為0或?yàn)?55〔2047〕的環(huán)境，IEEE有特別的劃定，由于篇幅有限，在此不討論。在浮點(diǎn)數(shù)總位數(shù)穩(wěn)定的環(huán)境下，其精度值與范疇值是抵牾的，因此一樣平常的呆板都提供有單、雙精度兩種格式。表4中列出了IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)的表現(xiàn)范疇，對付雙精度只必要修改一下偏移值和尾數(shù)位數(shù)即可。表4IEEE754單精度、雙精度浮點(diǎn)數(shù)范疇典范范疇浮點(diǎn)數(shù)代碼真值數(shù)符(s)階碼(E)尾數(shù)()最大正數(shù)最小正數(shù)絕對值最大的負(fù)數(shù)絕對值最小的負(fù)數(shù)00111111111000000001111111100000000111………1100………0011………1100………00尺度浮點(diǎn)數(shù)的存儲格式與圖1〔b〕相似，只是在尾數(shù)中隱含存儲著一個(gè)1，因此在盤算尾數(shù)的真值時(shí)比一樣平常情勢要多一個(gè)整數(shù)1。對付階碼E的存儲情勢由于是127的偏移，以是在盤算其移碼時(shí)與人們認(rèn)識的128偏移不一樣，正數(shù)的值比用128偏移求得的少1，負(fù)數(shù)的值多1，為制止盤算錯(cuò)誤，便利明確，常將E當(dāng)成二進(jìn)制真值舉行存儲。比方：將數(shù)值-0.5按IEEE754單精度格式存儲，先將-0.5換成二進(jìn)制并寫成尺度情勢：-0.510=-0.12=-1.0×2-12，這里s=1，為全0，E-127=-1，E=12610=011111102，那么存儲情勢為：101111110000000000000000000000000=BE00000016這里差異的下標(biāo)代表差異的進(jìn)制。綜上所述，筆者通過多年的講授理論，對門生特別輕易疑惑的地方舉行了闡發(fā)研究，并給出告終論性的總結(jié)，補(bǔ)充了大多數(shù)教課書中講不明確的題目。參考文獻(xiàn)：1.JhnP.Hayes.puterArhitetureandrganizatin.ThirdEditin.北京：清華大學(xué)出書社影印，2001.173~1782.[美]DavidA.Pa