極化恒等式及其拓展（向量中的范圍、模長(zhǎng)問(wèn)題）專(zhuān)題講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

平面向量專(zhuān)題——極化恒等式及其拓展（向量中的范圍、模長(zhǎng)問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)1.極化恒等式的證明（1）（2）（1）（2）兩式相減，可以得到：＝2.幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的.3.兩個(gè)模型平行四邊形模式：向量的數(shù)量積表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的.即：ABCM三角形模式：在三角形ABD中為的中點(diǎn),ABCM4.注意點(diǎn)：兩個(gè)向量要同起點(diǎn)二、要點(diǎn)分析1.求數(shù)量積的值【典例精析】（浙2012理15）在中，是的中點(diǎn)，,則=________.變式訓(xùn)練1：若的外接圓是半徑為1的圓，且，則=_______________.ABDCP變式訓(xùn)練2：在平行四邊形中，已知,,則______________.ABDCP變式訓(xùn)練3：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，,，則的值是________．變式訓(xùn)練4：（2020七彩陽(yáng)光高一期中聯(lián)考15）如圖，,是半徑為的圓的兩條直徑，為的中點(diǎn),則等于__________.2.求數(shù)量積的取值范圍【典例精析】在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為.變式訓(xùn)練1：（2019全國(guó)2理12）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．變式訓(xùn)練2：已知是圓的直徑,長(zhǎng)為2,是圓上異于的一點(diǎn),是圓所在平面上任意一點(diǎn),則的最小值為_(kāi).變式訓(xùn)練3：已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則最小值為_(kāi)_____________.變式訓(xùn)練4：在中，若，，在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，的最小值為變式訓(xùn)練5：（2019江蘇金陵中學(xué)高考模擬）已知菱形中，對(duì)角線(xiàn),,是邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍為_(kāi)______．3.解決與不等式相結(jié)合的數(shù)量積問(wèn)題【典例精析】（2013浙江理7）在中,是邊上一定點(diǎn)，滿(mǎn)足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有。則()A.B.C.D.變式訓(xùn)練1：在面積為2的平行四邊形中，點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_____________.4.其他綜合類(lèi)型的數(shù)量積問(wèn)題【典例精析】已知是單位圓上的兩點(diǎn)，為圓心，且是圓的一條直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式訓(xùn)練1：如圖，已知在中，,,是的中點(diǎn)，若向量，且的終點(diǎn)在的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是________．變式訓(xùn)練2：如圖，在直角梯形中，,,,，,點(diǎn)為線(xiàn)段(含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若有且只有個(gè)不同的位置，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．課后習(xí)題1．在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為2.若點(diǎn)和點(diǎn)分別是雙曲線(xiàn)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)則的取值范圍是.3.在，，已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是.4.正邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.5.在銳角中，已知，，則的取值范圍是