遙感數(shù)字圖像處理圖像變換課件

第三章圖像變換講解內(nèi)容

1.圖像變換的目的、要求和應(yīng)用2.傅立葉級數(shù)、頻譜分析概念及其意義3.一維、二維連續(xù)、離散傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用目的

1.熟悉二維傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用；2.掌握一維傅立葉變換算法及頻譜分析方法第三章圖像變換講解內(nèi)容1從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包含有各種信號，有變化緩慢的背景，有變換激烈的邊緣和噪聲部分，而傅立葉變換就像光學(xué)中的三棱鏡，在三棱鏡的作用下，一束自然光光信號可以分為無數(shù)的單色光信號，單色光信號從頻譜中心開心頻率逐漸增加，那么一幅圖像經(jīng)過一個類似三棱鏡的系統(tǒng)（傅里葉變換）就把源圖像中的信號給分開了，這樣我們就可以做各種處理就更為方便。從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包含有各種信號，有變化2遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件3遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件4第三章圖像變換圖像變換的目的在于：①使圖像處理問題簡化；②有利于圖像特征提??；③有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：①正交變換必須是可逆的；②正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；③正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。在此討論常用的傅立葉變換。第三章圖像變換在此討論常用的傅立葉變換。5第一幅圖是一個余弦波cos（x）；第二幅圖是2個余弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)；第三幅圖是4個余弦波的疊加；第四幅圖是10個余弦波的疊加；隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。

第一幅圖是一個余弦波cos（x）；不僅僅是矩形，你能想到的6正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓

正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元7各波在頻域的樣子

各波在頻域的樣子8矩形波在頻域的樣子

矩形波在頻域的樣子9遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件10矩形波在頻率域的樣子矩形波在頻率域的樣子11遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件12時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同13為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？

大自然界的很多系統(tǒng)，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統(tǒng)的特征向量！分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)。為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？大自然界的很14當(dāng)然，指數(shù)信號也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴(kuò)散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的，或者既有波動又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù)形式）。因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù)。所以，除了指數(shù)信號和正弦信號以外的其他波形都不是線性系統(tǒng)的特征信號。當(dāng)然，指數(shù)信號也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然15頻域(frequencydomain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標(biāo)系。用線性代數(shù)的語言就是裝著正弦函數(shù)的空間。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因?yàn)闀r域中的任何波形都可用正弦波合成。頻域(frequencydomain)是描述信號在頻率方面16圖像的傅立葉變換傅立葉變換以前，圖像是由對連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，一般是用一個二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。圖像的傅立葉變換傅立葉變換以前，圖像是由對連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間17圖像的傅立葉變換灰度在平面空間上的梯度表征圖像中灰度變化劇烈程度，可以描述為圖像的頻率。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。圖像的傅立葉變換灰度在平面空間上的梯度表征圖像中灰度變化劇烈18圖像的傅立葉變換對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，是圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。圖像的傅立葉變換對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像19圖像的傅立葉變換梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，首先就可以看出，圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較?。?；如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。圖像的傅立葉變換20遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件21222222圖像的傅立葉變換從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。圖像的傅立葉變換從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換23遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件243.2傅立葉變換

在學(xué)習(xí)傅立葉級數(shù)的時候，一個周期為T的函數(shù)f(t)在[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在[-T/2,T/2]可以展成傅立葉級數(shù)其復(fù)數(shù)形式為其中

可見，傅立葉級數(shù)清楚地表明了信號由哪些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對信號進(jìn)行分析與處理。

3.2傅立葉變換在學(xué)習(xí)傅立葉級數(shù)的時候，一個周期為T25

3.2.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

1.一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x)的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為

若已知F(u)，則傅立葉反變換為

式（3.2-1）和（3.2-2）稱為傅立葉變換對。

26這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u通常稱為頻率變量。

這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F272.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對為

二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2(3.2—11)φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)](3.2—12)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(3.2—13)2.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換|F(u，v)∣=[R283.2.2離散函數(shù)的傅立葉變換1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換假定取間隔△x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如圖3.2.3所示。

將序列表示成f(x)=f(x0+x△x)(3.2—16)即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。3.2.2離散函數(shù)的傅立葉變換將序列表示成29被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為

F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反變換為f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為30例如：對一維信號f(x)=[1010]進(jìn)行傅立葉變換。由得u=0時，

u=1時,例如：對一維信號f(x)=[1031u=2時,u=3時,在N=4時，傅立葉變換以矩陣形式表示為F(u)==Af(x)u=2時,322.二維離散函數(shù)的傅立葉變換在二維離散的情況下，傅立葉變換對表示為

F(u，v)=(3.2—20)式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。

f(x，y)=(3.2—21)式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來說，對一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計算。現(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計算量。為提高傅立葉變換算法的速度，從軟件角度來講，要不斷改進(jìn)算法；另一種途徑為硬件化，它不但體積小且速度快。

2.二維離散函數(shù)的傅立葉變換33原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如數(shù)字圖像的傅立葉變換原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如數(shù)字圖像的傅立葉變換343.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)

離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。1．周期性和共軛對稱性若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)（3.2-26)傅立葉變換存在共軛對稱性

F(u，v)=F*(-u，-v)(3.2—27)這種周期性和共軛對稱性對圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。3.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)35

2.分離性

一個二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。例如式(3.2-14)可分成下面兩式:2.分離性36xyxvxv1-D離散傅立葉變換xyxvxv1-D離散傅立葉變換373.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式：

做代換有：

如果被旋轉(zhuǎn),則被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對：3.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)做代換有：如果被旋轉(zhuǎn)38原始圖及傅立葉變換頻譜：旋轉(zhuǎn)45度后的原始圖及傅立葉變換頻譜：原始圖及傅立葉變換頻譜：旋轉(zhuǎn)45度后的原始圖及傅立葉變換頻譜394.卷積定理4.卷積定理40第三章圖像變換講解內(nèi)容

1.圖像變換的目的、要求和應(yīng)用2.傅立葉級數(shù)、頻譜分析概念及其意義3.一維、二維連續(xù)、離散傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用目的

1.熟悉二維傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用；2.掌握一維傅立葉變換算法及頻譜分析方法第三章圖像變換講解內(nèi)容41從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包含有各種信號，有變化緩慢的背景，有變換激烈的邊緣和噪聲部分，而傅立葉變換就像光學(xué)中的三棱鏡，在三棱鏡的作用下，一束自然光光信號可以分為無數(shù)的單色光信號，單色光信號從頻譜中心開心頻率逐漸增加，那么一幅圖像經(jīng)過一個類似三棱鏡的系統(tǒng)（傅里葉變換）就把源圖像中的信號給分開了，這樣我們就可以做各種處理就更為方便。從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包含有各種信號，有變化42遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件43遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件44第三章圖像變換圖像變換的目的在于：①使圖像處理問題簡化；②有利于圖像特征提??；③有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：①正交變換必須是可逆的；②正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；③正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。在此討論常用的傅立葉變換。第三章圖像變換在此討論常用的傅立葉變換。45第一幅圖是一個余弦波cos（x）；第二幅圖是2個余弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)；第三幅圖是4個余弦波的疊加；第四幅圖是10個余弦波的疊加；隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。

第一幅圖是一個余弦波cos（x）；不僅僅是矩形，你能想到的46正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓

正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元47各波在頻域的樣子

各波在頻域的樣子48矩形波在頻域的樣子

矩形波在頻域的樣子49遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件50矩形波在頻率域的樣子矩形波在頻率域的樣子51遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件52時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同53為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？

大自然界的很多系統(tǒng)，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統(tǒng)的特征向量！分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)。為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？大自然界的很54當(dāng)然，指數(shù)信號也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴(kuò)散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的，或者既有波動又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù)形式）。因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù)。所以，除了指數(shù)信號和正弦信號以外的其他波形都不是線性系統(tǒng)的特征信號。當(dāng)然，指數(shù)信號也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然55頻域(frequencydomain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標(biāo)系。用線性代數(shù)的語言就是裝著正弦函數(shù)的空間。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因?yàn)闀r域中的任何波形都可用正弦波合成。頻域(frequencydomain)是描述信號在頻率方面56圖像的傅立葉變換傅立葉變換以前，圖像是由對連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，一般是用一個二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。圖像的傅立葉變換傅立葉變換以前，圖像是由對連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間57圖像的傅立葉變換灰度在平面空間上的梯度表征圖像中灰度變化劇烈程度，可以描述為圖像的頻率。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。圖像的傅立葉變換灰度在平面空間上的梯度表征圖像中灰度變化劇烈58圖像的傅立葉變換對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，是圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。圖像的傅立葉變換對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像59圖像的傅立葉變換梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，首先就可以看出，圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較?。蝗绻l譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。圖像的傅立葉變換60遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件61622262圖像的傅立葉變換從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。圖像的傅立葉變換從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換63遙感數(shù)字圖像處理-第三章-圖像變換課件643.2傅立葉變換

在學(xué)習(xí)傅立葉級數(shù)的時候，一個周期為T的函數(shù)f(t)在[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在[-T/2,T/2]可以展成傅立葉級數(shù)其復(fù)數(shù)形式為其中

可見，傅立葉級數(shù)清楚地表明了信號由哪些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對信號進(jìn)行分析與處理。

3.2傅立葉變換在學(xué)習(xí)傅立葉級數(shù)的時候，一個周期為T65

3.2.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

1.一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x)的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為

若已知F(u)，則傅立葉反變換為

式（3.2-1）和（3.2-2）稱為傅立葉變換對。

66這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u通常稱為頻率變量。

這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F672.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對為

二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2(3.2—11)φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)](3.2—12)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(3.2—13)2.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換|F(u，v)∣=[R683.2.2離散函數(shù)的傅立葉變換1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換假定取間隔△x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如圖3.2.3所示。

將序列表示成f(x)=f(x0+x△x)(3.2—16)即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。3.2.2離散函數(shù)的傅立葉變換將序列表示成69被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為

F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反變換為f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為70例如：對一維信號f(x)=[1010]進(jìn)行傅立葉變換。由得u=0時，

u=1時,例如：對一維信號f(x)=[1071u=2時,u=3時,在N=4時，傅立葉變換以矩陣形式表示為F(u)==Af(x)u=2時,722.二維離散函數(shù)的傅立葉變換在二維離散的情況下，傅立葉變換對表示為

F(u，v)=(3.2—20)式中u=0，1，2，…