立體幾何初步-起始課教學(xué)與反思

幾何初步起始課的教學(xué)與章 首都師大附中 對本章教與學(xué)的基本認(rèn)識１．１本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)分析幾何初步是新課程必修２的一章內(nèi)容也是高中學(xué)段幾何部分的起始課程它在土木建筑機(jī)械設(shè)計(jì)航海測繪等大量實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用與傳統(tǒng)的幾何體系相比新課程對幾何的體系結(jié)構(gòu)作了重新設(shè)計(jì)從對空間幾何體的整體觀察入手通過直觀圖三視圖認(rèn)識空間的基本幾何體柱錐球臺(tái)再研究組成空間幾何體的點(diǎn)直線和平面這種安排降低了幾何學(xué)習(xí)入門難的門檻強(qiáng)調(diào)幾何直觀，突出具體幾何模型的使用適當(dāng)?shù)瘞缀蔚耐评碚撟C有助于幫助學(xué)生通過直觀具體的模型過渡到抽象定義從自然語言過渡到數(shù)學(xué)語言逐步習(xí)慣用圖形語言符號語言進(jìn)行表達(dá)和思考有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的．由于是用平面幾何圖形表達(dá)三圖形的因此與初中平面幾何的學(xué)習(xí)有很大的差異．在初中平面幾何學(xué)習(xí)中可以的直接借助于圖形的直觀信息線段和角的相等三角形的全等與相似線段的相交垂直與平行等發(fā)現(xiàn)問題解決的方向和途徑但是在幾何中眼看未必為實(shí)相交的也許是異面的不垂直的也許實(shí)際是垂直的這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力能夠依據(jù)語言描述或看到的幾何直觀圖在頭腦中構(gòu)建出空間實(shí)際圖形的線面位置關(guān)系空間想象能力既是學(xué)習(xí)幾何的所需的基本能力同時(shí)它也需要在幾何的學(xué)習(xí)中得到進(jìn)一步的培養(yǎng)和提高比如這一特點(diǎn)在幾何定理系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)最為突出定理系統(tǒng)的理解和掌握會(huì)使空間觸角伸得更長更遠(yuǎn)．１．２學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)空間與圖形時(shí)

已經(jīng)認(rèn)識了一些具體的棱柱如正方體長方體等對圓柱圓錐和球的認(rèn)識也比較具體直觀．同時(shí)還學(xué)習(xí)了一種空間幾何體的平面表達(dá)方法三視圖三視圖的學(xué)習(xí)對空間想象能力的培養(yǎng)有很高的價(jià)值．平面幾何的學(xué)習(xí)對幾何既有有利的一面如推理論證的一般思想方法添加輔助線構(gòu)建定理的基本幾何圖示等對幾何的學(xué)習(xí)是有幫助的但是學(xué)生的一些慣性思維也會(huì)對幾何學(xué)習(xí)形成如平面的結(jié)論在幾何中不都是成立垂直于同一直線的兩直線平行在幾何中學(xué)生不加判斷地去使用或者不加考證地使用平面幾何的類比結(jié)論垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行還有就是考慮問題時(shí)思維總停留在平面上缺少在三條件下進(jìn)行思考的．１．３本節(jié)作為幾何初步的起始課在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性上應(yīng)給予的關(guān)注本課在設(shè)計(jì)上側(cè)重于幾何的價(jià)值和知識體系的展開脈絡(luò)的認(rèn)識以周圍世界中的幾何體→簡單幾何體→空間圖形的平面表示→抽象出點(diǎn)線面位置關(guān)系→比較平面幾何與幾何學(xué)習(xí)特點(diǎn)為線索向?qū)W生逐步展開幾何的知識畫卷．２教學(xué)過程問題１ 豐富的圖形世界中從太空的天體到現(xiàn)實(shí)世界的建筑從居家的裝飾家具到生活用品器具再從機(jī)械零件到微觀世界的分子結(jié)構(gòu)自然界展現(xiàn)了豐富多彩的幾何圖形請看下列你能從中找到哪些熟悉的空間圖形？說明教師簡單點(diǎn)評引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識空間復(fù)雜幾何體一般都是由一些柱錐球等簡單幾何體組合而成的并幾何學(xué)的研究對象和在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用價(jià)值設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生從展示中感受幾何與的生活環(huán)境密切相關(guān)學(xué)習(xí)幾何知識對更好的認(rèn)識周圍的環(huán)境具有重要價(jià)值和意義增強(qiáng)這一章內(nèi)容與學(xué)生的親近感．２．２空間幾何體的平面圖形表示問題２為了便于對幾何圖形的研究需要用平面圖形來表示空間幾何體你知道有哪些用平面圖形來表示空間幾何圖形的方法呢？學(xué)生可能答案相片繪畫三視圖等教師ｔ顯示一張能夠清楚表現(xiàn)物體的空間形狀與用眼睛直接看到幾乎是一樣的．問題３為什么能很好的表現(xiàn)三物體呢？（停頓１０秒后顯示眼睛成像示意圖和照相機(jī)成像示意圖）教師觀察兩幅成像示意圖可以發(fā)現(xiàn)它們成像的光學(xué)原理一樣！人眼被看作一個(gè)點(diǎn)由此

發(fā)來觀察景物從景物上的每一點(diǎn)出發(fā)通過人眼的光線形成一個(gè)投影錐根據(jù)這一原理畫面本身就是含有投射錐的一個(gè)截景實(shí)際上是把圖形本身在眼睛中的影像來了但是你知嗎？人類是經(jīng)過了非常漫長的時(shí)間一直到文藝復(fù)興時(shí)期人們才掌握了真實(shí)表現(xiàn)三物體的方法顯示）本圖取自 圖中顯示透過格子紗窗來透過影像畫家們搞出來的聚焦體系其基本思想是投影和截面取景原理這與相機(jī)的成像原理相同從數(shù)學(xué)上看這個(gè)截景就是一張平面與投影錐相截的一部分截面．顯示一幅紙盒子的問題４的成像原理是中心投影觀察這幅看看中心投影得到具有怎樣的特點(diǎn)近大遠(yuǎn)小平行等長的線段被中心投影后一般不再保持平行和等長只有和投影面平行的那些平行線段仍保持平行性．教師在整個(gè)繪畫史上繪畫的體系大致分為兩大類觀念體系與光學(xué)體系能夠比較真實(shí)表現(xiàn)物體的畫法是光學(xué)體系這種方法試圖處理空間距離體積質(zhì)量和視覺印象將圖形本身在眼睛中的映像表達(dá)出來世紀(jì)和世紀(jì)早期幾乎所有的繪畫大師都試圖將繪畫中的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)和諧實(shí)用學(xué)的特殊性質(zhì)和主要目的．結(jié)合起來達(dá)．及其它許多人都對數(shù)學(xué)有濃厚的而且力圖將數(shù)學(xué)應(yīng)用于藝術(shù)達(dá)．堅(jiān)持認(rèn)為繪畫的目的是再現(xiàn)自然界而繪畫的價(jià)值就在于精確的再現(xiàn)因此繪畫是一門科學(xué)和其他科學(xué)一樣其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)他用一句話概括了他的藝術(shù)專論的思想欣賞作品的人沒有一個(gè)不是數(shù)學(xué)家同樣，在圓規(guī)直尺的量測法中對指責(zé)他作品的畫家寫道：“……為什么這種畫家不曉得他們自己的錯(cuò)誤唯一的理由是他們沒學(xué)習(xí)幾何沒學(xué)習(xí)幾何就無法成為一位藝術(shù)家這應(yīng)該怪他們對繪畫藝術(shù)的無知．”數(shù)學(xué)對繪畫藝術(shù)作出了貢獻(xiàn)繪畫藝術(shù)也給了數(shù)學(xué)以豐厚的回報(bào)畫家們在發(fā)展聚焦體系的過程中引入了新的幾何思想并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新方向的發(fā)展這就是射影幾何如果在大學(xué)選擇了數(shù)學(xué)系會(huì)學(xué)習(xí)這門帶有繪畫藝術(shù)氣息的數(shù)學(xué)課．顯示兩幅繪畫作 達(dá)·的最后晚餐和的圣母的婚禮教師：!"#“最后的晚餐描繪出了真情實(shí)感，一眼看去與真實(shí)生活一樣觀眾似乎覺得達(dá)·就在畫中的房子里墻樓板和天花板上后退的光線不僅清晰地襯托出了景深而且經(jīng)仔細(xì)選的光線集中在頭上從而使人們將注意力集中于個(gè)門徒分成３組每組４人對稱地分布在的兩邊本人被畫成一個(gè)等邊三角形這樣的描繪目的在于表達(dá)的情感和思考并且身體處于一種平衡狀態(tài)．問題５你能找到兩幅繪畫作品的中心投影點(diǎn)嗎學(xué)生回答后在的畫面上顯示投影線設(shè)計(jì)意圖從入手介紹相機(jī)成像原理和人眼的視覺原理并介紹歷史上繪畫發(fā)展中數(shù)學(xué)與繪畫藝術(shù)的互相推動(dòng)作用使學(xué)生在了解中心投影表示空間幾何圖形的方法的同時(shí)也感受

到數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的價(jià)值和意義激發(fā)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的．教師在日常生活中有這樣的經(jīng)驗(yàn)體在光下都會(huì)有ＰＰＴ展示物體的影子的在物理學(xué)習(xí)中知道光可以近似的認(rèn)為是平行光把物體在平行光下的投影稱為平行投影．ＰＰＴ上給出平行投影的概念及圖示實(shí)際上在小學(xué)和中學(xué)中看到的一些幾何圖形就是利用平行投影表示的ｔ給出正方體堆積的圖形）問題６觀察ｔ上的兩個(gè)正方體圖形平行投影與中心投影的圖形有何不同？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)正方體中平行且等長的線段仍保持平行且等長．教師思考為什么在數(shù)學(xué)研究中選擇行投影表示空間圖形說明教師結(jié)合學(xué)生所講的可補(bǔ)充講解在數(shù)學(xué)研究中不關(guān)心色彩光亮度材質(zhì)等要素更關(guān)心圖形中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系而平行投影表示的圖形一方面所畫圖形與它在我們眼中的映像比較相近另一方面又很好的保留了幾何圖形原有的平行線段比值不變等性質(zhì)所以一般采用空間圖形在平行投影下的平面圖形來表示這個(gè)空間圖形中柱錐臺(tái)等幾何體圖形實(shí)際上就是依據(jù)斜二側(cè)畫法畫出的在后續(xù)課程中詳細(xì)學(xué)習(xí)斜二側(cè)畫法畫圖設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生感覺到對幾何的平面圖形表示并不陌生甚至在小學(xué)就已經(jīng)見過了在高中幾何的學(xué)習(xí)中只不再僅僅滿足于看而且要?jiǎng)邮钟H自去畫學(xué)習(xí)這種圖形的繪制規(guī)則并從直觀感知上初步了解平行投影的圖形２．３空間點(diǎn)線面位置關(guān)系問題７觀察這長方體模型或手中的或者教室你認(rèn)為在空間中的點(diǎn)線面有哪些位置點(diǎn)與線點(diǎn)上點(diǎn)外點(diǎn)與面點(diǎn)在面上點(diǎn)在面外線與線平行異面相交線與面線與面平行線與面相交線在面內(nèi)面與面面與面平行面與面相交說明本問題僅限于理清點(diǎn)線面有何位置關(guān)系不給出其符號表示和圖形表示．設(shè)計(jì)意圖 通過對具體實(shí)物的觀察發(fā)現(xiàn)并梳理空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系明確幾何初步全章的重點(diǎn)研究內(nèi)容．２．４幾何與平面幾何學(xué)習(xí)的區(qū)別與聯(lián)問題８展示的圖形你認(rèn)為它們分別是從哪個(gè)角度看到的圖形？教師為了避免視覺上的可以借助實(shí)虛表示線段是否被遮擋另一方面也可以借助其它線段來表示它們的位置如下圖：設(shè)計(jì)意圖問題８旨在使學(xué)生了解圖中的虛實(shí)線的意義了解看圖的方法認(rèn)識到學(xué)習(xí)幾何識圖繪圖的重要性．問題９請正方體ＡＢＣＤＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中的四邊形在實(shí)物中是什么圖形圖中相交的線段ＤＣ與ＢＢ在實(shí)物中的關(guān)系又是怎樣的？圖中ＡＤ與ＡＡ１，ＡＢ所成角在實(shí)物中是怎樣的？

教師平面幾何中圖形的點(diǎn)線位置關(guān)系與實(shí)物一致幾何中的幾何直觀圖的點(diǎn)線面位置關(guān)系與實(shí)物不一定一致因此在幾何視圖時(shí)需要借助空間的想象和理性的推理分析比如下面問題：問題１０下列哪些正方體是由該展開圖折疊而成的？教師點(diǎn)評別看有的同學(xué)回答的很迅速但不一定正確今天我暫時(shí)不答案建議課下通過制作模型檢驗(yàn)自己的想法的正確性幾何的學(xué)習(xí)需要具備一定空間想象能力同時(shí)也能提升的空間想象能力幾何的學(xué)習(xí)需要建立一種對空間位置關(guān)系進(jìn)行思考斷的視角和方法例如問題１１在平面幾何中知道垂直于同一直線的兩直線互相平行那么這一結(jié)論在立體幾何中是否成立？你能否借助圖中立方體來進(jìn)教師點(diǎn)評在思考問題時(shí)要樹立空間思維意識有意識克服平面幾何思維的慣性這樣就可以避免不加思考的把平面幾何結(jié)論拿到幾何中來使用又比如以六根火柴棍為邊以首尾相接的方式最多可搭出幾個(gè)三角形只局限在平面上思考就會(huì)很困惑．問題１２請談?wù)剮缀闻c平面幾何在依據(jù)圖形分析幾何位置關(guān)系時(shí)有何不同？設(shè)計(jì)意圖問題９１２旨在使學(xué)生關(guān)注到平面幾何與幾何學(xué)習(xí)的不同之處對問題１０教師不答案目的是減少對此問題感覺的部分同學(xué)的壓力因?yàn)椴糠滞瑢W(xué)已經(jīng)從周圍同學(xué)的反映有些同學(xué)稍作思考就有了答案有的同學(xué)可能毫無頭緒認(rèn)識到自己空間想象力的不足已經(jīng)感覺到壓力這已經(jīng)可以促使學(xué)生重視后面的模型制作任務(wù)．２．５動(dòng)員學(xué)生積極參加模型制作比賽教師空間想象力既是學(xué)習(xí)研究空間問題的基礎(chǔ)同時(shí)也會(huì)在幾何的學(xué)習(xí)中得到進(jìn)一步的發(fā)展與提高下面一些做法對發(fā)展空間想象力很有好處：觀察實(shí)物先觀察然后略去物體的材質(zhì)顏色等要素在頭腦中努力勾勒出其線條結(jié)構(gòu)形成抽象的空間形狀與結(jié)構(gòu)．繪制圖形把頭腦中的空間形狀與結(jié)構(gòu)在紙上按特定規(guī)則表達(dá)出來識別圖形翻看中的直觀圖把看到的直觀圖在頭腦中還原成結(jié)構(gòu)形成實(shí)物若有則可采取動(dòng)手操作．動(dòng)手操作用筆木棍等搭建幾何體另外還可以先旋轉(zhuǎn)改變模型的各種位置然后閉上眼在頭腦中想象操作是看到的模型各位置特征成對空間幾何元素的操作序列設(shè)計(jì)意圖指導(dǎo)學(xué)生如何更快地去發(fā)展提高自己的空間想象能力教師為了更順利地學(xué)習(xí)幾何做好備舉行一次模型制作比賽活動(dòng)期待大家積課下活動(dòng)安排幾何體模型制作大賽一如何制造幾何體的模型第一類利用展開圖制作幾何體１．通過閱讀必修２，了解棱柱棱錐棱臺(tái)等簡單的幾何體的結(jié)構(gòu)特征；２．研究一個(gè)幾何體有幾種展開圖即有多少種裁剪方案？并把他們畫出來；３．在制作中要求每一個(gè)接縫處需在一邊留出抹膠水的余量如圖中陰影然后制作成幾４．完成后請和其他同學(xué)的作品比較一下，哪種接縫更少？對于制作相同四面體哪種更節(jié)省材料？你認(rèn)為怎樣的制作更好？第二類利用小棍做為幾何體的棱制作出幾二必型作出正方體正三棱柱斜四柱正三棱錐正四面體即四個(gè)面都是正三角形的幾何體的第一類和第二類模型．三選型你能研究的有性的幾何體．四完成時(shí)間五一假后上交模型五方案每班評選５名最佳模型獲獎(jiǎng)作品在櫥窗進(jìn)行展覽獲獎(jiǎng)作者在模塊總評中

２分展示往屆學(xué)生做的幾何模型設(shè)計(jì)意圖 在進(jìn)入幾何初步學(xué)習(xí)之前，用這項(xiàng)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生對柱錐臺(tái)等幾何體直觀認(rèn)識，在頭腦中建立具體幾何模型構(gòu)圖建立培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力．３教學(xué)３．１起始課要體現(xiàn)統(tǒng)領(lǐng)全局的地位起始課是一章內(nèi)容的開篇教學(xué)的效果會(huì)直接影響學(xué)生對這一部分知識后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)因此，對于一章的起始課需要花更大的精力去研究如何上好起始課實(shí)現(xiàn)一章學(xué)習(xí)的良好開端，而不是急于進(jìn)入知識的講解技能的訓(xùn)練習(xí)題的演練在幾何初步的開篇課應(yīng)努力做好以下幾個(gè)方面：１．在學(xué)習(xí)活動(dòng)中使學(xué)生認(rèn)同本章內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值借助數(shù)學(xué)史和有趣味的性的問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的引起學(xué)生對本章學(xué)習(xí)的期待．２．要讓學(xué)生初步了解幾何初步的知識脈絡(luò)揭示本章知識的學(xué)習(xí)特點(diǎn)學(xué)習(xí)的方法和能力的要求．３．在學(xué)習(xí)活動(dòng)中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足差異清楚彌補(bǔ)差異的方法與途徑．此外本課特點(diǎn)是附以模型制作比賽調(diào)動(dòng)學(xué) 簡單幾何體部分的積極動(dòng)手操作在學(xué)生與操作的交互活動(dòng)中初步認(rèn)識簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征了解幾何體的直觀圖畫法，有效延長了本章學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備時(shí)間從實(shí)際效果來看，基本實(shí)現(xiàn)了預(yù)期學(xué)生對簡單幾何體的結(jié)構(gòu)有了比較好的認(rèn)識確實(shí)為一周后的幾何學(xué)習(xí)起了很好的鋪墊性作用．３．２起始課要注意的幾個(gè)問題３．２．１在教學(xué)方式上避免告知與其它課一樣需要注意運(yùn)用多種教學(xué)策略與由于在起始課要使學(xué)生了解本章內(nèi)容的相關(guān)背景應(yīng)用的價(jià)值初步認(rèn)識全章的知識脈絡(luò)體系及其與其它知識的聯(lián)系明確本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的特點(diǎn)及能力要求等教師為了節(jié)省課堂上的時(shí)間快速進(jìn)入具體教學(xué)內(nèi)容很容易走上告知式的教學(xué)這種教學(xué)就會(huì)使課堂顯得平淡無味而缺乏生氣很難達(dá)到原本要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)，下轉(zhuǎn)第４２頁２０２２２０ ２ ２２２ｐｘ０２２

圓內(nèi)圓有如此神奇的性質(zhì)圓外圓也有類似２２＞ａ２ａ

為圓心半徑＝′２ ａ的０２２２０＋２２２＋２２２ ０

ｐ ｐ

ａａ

Ｏ

槡２

２ >＋>

故圓與

ａ２ｐ２

２ｐ２２２

圓不可能相離或外切ａ

ａ Ａｘｙｘ２

２＝ａ２ ０ ｒ．２

ｘ２＋ｙ２故直線ＢＣ與Ｄ圓相切 ２ ａ假設(shè)ＡＢＡＣ之一斜率不存在也可證得 （

２２＞ａ２外任一點(diǎn)過線與Ｄ圓相切若Ａｘ００中ｙ＝０，也易證得ＢＣＤ圓相切定理１證完定理１可換一種說法表述定理若圓Ｏ及圓分別是△ＡＢＣ的外接圓與內(nèi)切圓為圓Ｏ上任一點(diǎn)作圓Ｏ′的兩條切線與圓Ｏ分別交于則圓也是的內(nèi)切圓

２作圓的兩條切線與Ｏ圓分別交于ＢＣ兩點(diǎn)圓是△的旁切圓．仿定理１可證定理２的另一