人教版高一數(shù)學(xué)必修四第一章弧度制

1.2弧度制考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)弧度制了解弧度制的概念數(shù)學(xué)抽象角度制與弧度制的換算能進(jìn)行角度與弧度之間的互化數(shù)學(xué)運(yùn)算扇形的弧長(zhǎng)與面積公式理解弧度制下弧長(zhǎng)與面枳公式數(shù)學(xué)運(yùn)算預(yù)習(xí)教材P6-P9,并思考下列問題:.1弧度的角是如何定義的？.如何進(jìn)行弧度與角度的換算？.以弧度為單位的扇形弧長(zhǎng)、面積公式是什么？Y新知初探7.度量角的兩種制度角度制定義用層作為單位來度量角的單位制1度的角一.，1，、一、一，， 。周角的6為1度角，記作1360弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1弧度的角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫)■名師點(diǎn)撥(1)用弧度為單位表示角的大小時(shí)， “弧度”或“rad”可以略去不寫，只寫這個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)即可，如角 ”=-3.5rad可寫成“=—3.5.而用角度為單位表示角的大小時(shí)， “度”或“°”不可以省略(2)不管是以弧度還是以度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無關(guān)的定值..弧度數(shù)的計(jì)算與互化(1)弧度數(shù)的計(jì)算

弧度?數(shù)的通J弧度?數(shù)的通J■:重你的總段數(shù)是-個(gè)負(fù)數(shù)|[ 零痢的照出教是力 :（2）弧度與角度的互化[角度化弧理: ｛兼度化他度:度數(shù)、儒=弧度數(shù) 弧度數(shù)*（噌y一度數(shù).弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式公式弧長(zhǎng)公式扇形面積公式角度制n兀rl=1802n兀rS-360弧度制l=|司r?(0v101V2兀)1s=2t=J-aJT-(0v|01V2兀)■名師點(diǎn)撥TOC\o"1-5"\h\z,i，一, 1⑴在應(yīng)用扇形面積公式S=2|邛2時(shí)，要注意a的單位是“弧度”.（2）由a,r,l,S中任意的兩個(gè)量可以求出另外的兩個(gè)量.、自我檢測(cè).A判斷（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“x” ）（i）i弧度指的是1度的角.（ ）（2）每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng). （ ）（3）不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān). （ ）1 1（4）1。的角是圓周的360,1rad的角是周角的二.（ ）答案：（1）X（2），（3）X（4），等弧度化為角度是（）A.278°B.280°C.288°D.A.278°B.280°C.288°D.318°答案：答案：C兀一、一一_ ?半徑為2,圓心角為"3"的扇形的面積是（）答案：CG(1)18°答案：CG(1)18°3rad;(2)—71=B.7t…、 TT答案：（1）布（2）54?；?dòng)角度制與弧度制的互化互動(dòng)角度制與弧度制的互化例HI將下列角度與弧度進(jìn)行互化:(1)37例HI將下列角度與弧度進(jìn)行互化:(1)37我⑵—216。；哺（48【解】(1)37°30375=【解】(1)37°30375=75。一75 —5-^⑴373437.5—2=2580=24.⑵―216=-216溫=一像7兀7U180172X180=105°.11⑷一餐兀=115180TtX—兀角度制與弧度制的互化原則7兀7U180172X180=105°.11⑷一餐兀=115180TtX—兀角度制與弧度制的互化原則⑴原則：牢記180°=兀rad充分利用1=180rad和1rad=180。進(jìn)行換算.、， 、一-，一、一，一，，， … 180（2）萬法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為 “，角度數(shù)為 n,則arad=a匚n=n180rad.LeEEMEl1.把下列角度化為弧度.(1)—1500=25(2)67°30.25解析:c TT解析:(1)-1500=—1500—180(2)673067.5=67.5X—(2)673067.5=67.5X—1803兀

"8.答案：(1)一零(2)3^2.把下列弧度化為角度.23兀=~6~=13兀(2)一旬解析：(1)2|￡23兀180=690°.(2)-13兀解析：(1)2|￡23兀180=690°.(2)-13兀_-6-=13兀180=—390°.答案：(1)690°(2)—390°探究點(diǎn)且| 用弧度制表示終邊相同的角例2把—1480寫成2k兀+“(kCZ)的形式，其中0Wa<2it,并判斷它是第幾象限角？【解】一1480=-1480溫=—74三-10計(jì)曝,其中0亶1々2又因?yàn)镴1」是第所以一1480是第四象限角.互動(dòng)探究［變?cè)O(shè)問］若本例的條件不變，在［―4為4nt范圍內(nèi)找出與a終邊相同的角的集合.解：與a終邊相同的角為2kTt+—Ttk€Z).16 ,-71<4知9k=—2,—1,20 2k=—2,—1,20 2—9%—9%16 349為97t.用弧度制表示終邊相同角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)⑴用弧度制表示終邊相同的角 2kTt+?(k€Z)時(shí)，其中2k兀是兀的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)

倍.(2)還要注意角度制與弧度制不能混用..在區(qū)間(0,2nt的，與一344冬邊相同的角是()5兀A.5B2_n:解析：選D.因?yàn)?上=倍.(2)還要注意角度制與弧度制不能混用..在區(qū)間(0,2nt的，與一344冬邊相同的角是()5兀A.5B2_n:解析：選D.因?yàn)?上=-8計(jì),則-34%黑冬邊相同,選D..已知a=1690:⑴把a(bǔ)寫成2kTt+@keZ,代［0,2兀加形式;(2)求仇使。與a終邊相同，且長(zhǎng)(-4ti,4nt)25解：(1)1690=4X360+250=4X2兀+U兀18(2)因?yàn)?。與a終邊相同,. 25所以仁2k什25兀KCZ),又0€(一454nt)所以一4Tt<2兀+-u<4kfZ).18〃,口97 47解得—36<：<36(代Z)，所以k=-2,—1,0,1.所以。的值是4718%11 25 6118%18%18探究點(diǎn)扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算cm2.例回(1)已知扇形的圓心角為120。，半徑為Vcm2.(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).【解】(1)設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l,因?yàn)?20=120180rad=~3^rad),2_zr 2,3Tt所以l=aR=&Xy3=2(cm).3 3所以S=；lR=；送半」2/3=兀（m2）.故填兀.2 2 3（2）設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為 &0V2nt）弧長(zhǎng)為l,l+2R=10,①半徑為R,依題意有1產(chǎn)=4.②①代入②得R2—5R+4=0,解得R1=1,R2=4.當(dāng)R=1時(shí)，l=8（cm）,此時(shí)，0=8rad>2urad去., , .., 21當(dāng)R=4時(shí)，l=2（cm）,此時(shí)，0=4=2（rad）.1綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為 2rad.目麴目因扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略 1 1c .（1）記公式：弧度制下扇形的面積公式是 S=2lR=5aR2（其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，a是扇形圓心角的弧度數(shù)，0Va<2兀）.（2）找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用扇形弧長(zhǎng)公式、 面積公式直接求解或列方程（組）求解.國(guó)Lqiii嗎，.已知一個(gè)扇形的弧所對(duì)的圓心角為 54。，半徑r=20cm,則該扇形的周長(zhǎng)為 cm.解析：因?yàn)?°=孟rad,所以54=180X54=10；則扇形的弧長(zhǎng)l=30x20=6兀（cm）故扇形的周長(zhǎng)為（40+6兀）cm.答案：（40+6兀）.已知一扇形的周長(zhǎng)為 40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為 也半彳仝為r,弧長(zhǎng)為1,面積為S,則1+2r=40,所以1=40-2r,

1 1所以S=21r=5x(40-2r)r=-(r-10)2+100.l40-2X10所以當(dāng)半徑r=10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100cm2,這時(shí)仁-=——記一測(cè)評(píng)家-達(dá)標(biāo)反饋測(cè)評(píng)家-達(dá)標(biāo)反饋116a.t3解析：選D.因?yàn)?6a.t3解析：選D.因?yàn)?°=—180~ . 兀rad,所以1920=1920X-180rad=32兀rad.

32.在半彳全為8cm的圓中,朗的圓心角所又?的弧長(zhǎng)為(920°的角化為弧度數(shù)為( )32B.W八16C.々■兀3八40A."3"兀cm400D.-3-兀cm解析：選A.解析：選A.根據(jù)弧長(zhǎng)公式,得ln5^>?=435(cm).

3 33.把下列各角化成 2k兀+”(04<2%3.把下列各角化成 2k兀+(1)-1725；(2)63-53解：(1)因?yàn)椤?725=-5X360+75°,LLr\> o 5兀所以—1725=—10所以一1725角與5和的終邊相同.5Tt — 又因?yàn)槌笫堑谝幌笙藿?，所以?725是第一象限角.64兀 4兀64兀乙」4兀乙，，，，一(2)因?yàn)轱w-=20時(shí)—,所以與"角與之■角的終邊相同.又因?yàn)?對(duì)第三象限角，所以64-至第三象限角.3 3強(qiáng)化,培優(yōu)?通關(guān)鞏固提毒強(qiáng)化,培優(yōu)?通關(guān)[A 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]*寸應(yīng)的角度為（）A.75°B.125°C.135°D.155°解析：選A.75°B.125°C.135°D.155°解析：選C.由于1rad=180兀七,3七,3兀3 180所以了=4兀*二=135°,故選C.2.用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為（2.用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為（A.B.3=滬k360°,kCZC.D.3=5^+C.D.3=5^+2kTT,kCZ2兀，? r3=2k兀)kCZ3:選D.150。=150X180=?，故與150。角終邊相同的角的集合為5兀33=_6-+2k7t,kCZ.3.一段圓弧的長(zhǎng)度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角為B.3AB.3A.2C.2D.C.2解析：選C.設(shè)圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為 解析：選C.設(shè)圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為 a,則該圓的直徑為,2a,所以弧長(zhǎng)等于a的圓弧所對(duì)的圓心角l所對(duì)的圓心角l=^y2=>J2,故選C."Ta4.鐘的分針在1點(diǎn)到34.鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度為14A3B.143兀7C.18解析:7C.18解析:選B.顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過了1周，轉(zhuǎn)過的弧度37D.一18兀,7 14為—3X2k--兀..扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?2倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來的 2倍，則（ ）

A.扇形的圓心角大小不變B.扇形的圓心角增大到原來的 2倍C.扇形的圓心角增大到原來的 4倍2r,弧長(zhǎng)D.2r,弧長(zhǎng)解析：選A.設(shè)扇形原來的半徑為 r,弧長(zhǎng)為1,圓心角為“，則變化后半徑為, 一、… ， 1 211 ―一、一，一、為21,圓心角為3,所以a=3=赤=；=%即扇形的圓心角大小不變..用弧度制表示終邊落在X軸上方的角a的集合為.解析：若角a的終邊落在X軸上方，貝U2ktKa<2k什兀KCZ).答案：{d2kTtVa<2kTt+5kCZ}.在扇形中，已知半徑為8,弧長(zhǎng)為12,則圓心角是弧度，扇形面積是解析：|a|=-=12=3rad,r82 '1S=21r=2X12>8=48.答案:248.如圖所示，用集合表示終邊在陰影部分的角 ”的集合為.OB上的角；的集合為解析：由題圖知，終邊落在射線 OA上的角為OB上的角；的集合為TOC\o"1-5"\h\z為—：+2kTtkCZ),即乎+2kTtkCZ),所以終邊落在題圖中陰影部分的角3 3a2k7t+7<2k7t+—kCZ.4 3答案：a2k7t+：WaW2kTt+5^,kCZ4 3.一個(gè)扇形的面積為 1,周長(zhǎng)為4,求圓心角的弧度數(shù).解：設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為1,圓心角為a■則2r+1=4. ,, 1 … 1根據(jù)扇形面積公式S=21r,得1=21r.2r+l=4,聯(lián)立1 解得r=1,l=2,21r=1. 12所以a=-1=2.故所求圓心角的弧度數(shù)為2..把下列角化為2kTt+o(0&cV2Tt,kCZ)的形式：(1)等;(2)—315。.3TOC\o"1-5"\h\z解：⑴誓=4升丫,因?yàn)?<4；<2n3 3 3所以*4計(jì)4".3 3(2)因?yàn)橐?15。=—315彳80=-74t=—2升4.一，兀 一一. 兀因?yàn)?7V25所以一315=—2升4.[B能力提升](2019重慶巴蜀中學(xué)月考)設(shè)角”的終邊為射線OP,射線OP1與OP關(guān)于y軸對(duì)稱，射線OP2與OP1關(guān)于直線y=—x對(duì)稱，則以O(shè)P2為終邊的角的集合是( ){H片k-2七a,kCZ}{岡3=(2k+1)?七a,kCZ}{岡3=k-2七尹a,kCZ}3 「、D?{曰芹k?2~ht2兀+&kCZ}解析：選C.依題意，射線0P1所對(duì)應(yīng)的角丫滿足a+產(chǎn)k1,2-k5k1€Z,①射線OP2~，一，小…一 兀 ………— 3一所對(duì)應(yīng)的角B滿足什B=k2?2f1k2CZ,②②一①得Aa=(k2-k1)-2-^2通即片k?2兀兀 一+2"+%kez..如圖，點(diǎn)A,B,C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4,/ACB=6,則劣弧AB的長(zhǎng)為.八一，一、-,、 _ _一一^_ TT TT解析：連接AO,OB,因?yàn)?acb=6,所以/aob=3,又oa=ob,所以9OB為等 .... .一^一..兀 4兀邊三角形，故圓O的半徑r=AB=4,劣弧AB的長(zhǎng)為3>4=了.答案：43t.已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8cm.（1）若這個(gè)扇形的面積為3cm2,求該扇形的圓心角的大小；