圓的常見考點展示

本文格式為Word版，下載可任意編輯——圓的常見考點展示薛金鈺

圓是初中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，該部分知識大致可分為與圓有關(guān)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系及與圓有關(guān)的計算三部分，中考中一般以填空、選擇、計算和證明的形式出現(xiàn)，難度中等.現(xiàn)舉例介紹其常見考點，希望能對同學(xué)們有所幫助.

考點1：垂徑定理

例1（2021·四川·自貢）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE=3，OB=5，則CD的長度為（）.

A.9.6

B.4[5]

C.5[3]

D.10

分析：由垂徑定理可知AE=CE，由AO=BO，OE=3，可求出BC和AC，再運用面積法求出CF，即可由垂徑定理得到CD的長度.

解：如圖1，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵OE⊥AC，∴AE=EC.∵AO=BO，∴BC=2OE=6.∵AB=2OB=10，∴AC=8.∵CD⊥AB，∴CD=2CF.∵S△ABC=[12]AC×BC=[12]AB×CF，即6×8=10CF，∴CF=4.8，∴CD=9.6，應(yīng)選A.

點評：這里兩次運用了垂徑定理，給解題帶來了便利.面積法是解題的有力武器，利用兩次算同一個圖形的面積得到等量關(guān)系，更是一個很有用的解題策略，同學(xué)們要學(xué)會靈活應(yīng)用.

考點2：弧、弦、圓心角的關(guān)系以及圓周角定理

例2（2021·XX·連云港）如圖2，OA，OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，∠AOB=30°，∠OBC=40°，則∠OAC=.

分析：如圖2，延長AO，BO交⊙O于點D，E，連接OC，CD.從弧、弦、圓心角的關(guān)系來考慮：由∠AOB=30°可得弧DE的度數(shù)為30°.由∠OBC=40°，可得弧CE的度數(shù)為80°，進而得到弧CD的度數(shù)為50°，即可得到∠OAC的度數(shù).從圓周角定理來考慮：由∠AOB=30°，∠OBC=40°，可得∠BOC=100°，∠COD=50°，進而得到∠OAC的度數(shù).從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來考慮：連接AB，由∠AOB=30°，∠OBC=40°，可得到∠ABC=115°，∠CDA=75°，進而得到∠OAC的度數(shù).

解：如圖2，延長AO，BO交⊙O于點D，E，連接OC，CD，可得∠OAC=25°.

點評：此題的解法還有好多，通過不同的解法可以系統(tǒng)復(fù)習(xí)圓的概念及其基本性質(zhì)，同學(xué)們不妨試一試，并從中選擇出最簡便的方法，與同伴交流.

考點3：直線與圓的位置關(guān)系

例3（2021·浙江·嘉興）平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）.

A.相離

B.相交

C.相切

D.相交或相切

分析：由⊙O的半徑為2cm和OB=2cm，可知直線AB與⊙O至少有一個公共點，因此它們之間的位置關(guān)系為相交或相切.

解：選D.

點評：此題雖然是直線與圓的位置關(guān)系（形）的判定，卻是通過對比點A，B與圓心O的距離（數(shù)）的大小來做出判定的.注意不要忽略相交的狀況.

考點4：圓的切線的判定

例4（2021·四川·遂寧）如圖3，⊙O的半徑為1，點A是⊙O的直徑BD延長線上的一點，C為⊙O上的一點，AD=CD，∠A=30°.

求證：直線AC是⊙O的切線.

分析：因點C在⊙O上，連接CO，只要證明∠ACO=90°即可.

證明：連接OC.∵AD=CD，∠A=30°，∴∠ACD=30°，∴∠CDB=60°.∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=60°，∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°.∵OC是半徑，∴直線AC是⊙O的切線.

點評：證明直線是圓的切線時，若已知直線與圓有公共點，尋常連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，簡述為：連半徑，證垂直;若未知直線與圓的交點，尋常過圓心作直線的垂線段，證明這條垂線段的長等于圓的半徑，簡述為：作垂線，證相等.

考點5：切線的性質(zhì)與弧長的計算

例5（2021·浙江·麗水）如圖4，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點D，過點D作半圓的切線，交AC于點E.

（1）求證：∠ACB=2∠ADE;

（2）若DE=3，AE=[3]，求[CD]的長.

分析：（1）由BC為直徑，AC=BC，可知∠ACB=2∠OCD，因此只要證明∠ADE=∠OCD即可;（2）由已知條件證明△ABC是等邊三角形，求出圓的半徑和∠COD的度數(shù)即可.

解：（1）連接OD，CD.∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°.

∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ODC.

∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AC=BC，∴∠ACB=2∠OCD，∴∠ACB=2∠ADE.

（2）由（1）可知，∠AED=90°.∵DE=3，AE=[3]，∴AD=2[3]，∴∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠B=60°，∴∠COD=120°，O