計(jì)算方法的牛頓法課件

數(shù)值分析

非線性方程的牛頓法

(NewtonMethodofNonlinearEquations)數(shù)值分析

非線性方程的牛頓法

(NewtonMetho內(nèi)容提綱（Outline)牛頓法及其幾何意義收斂性及其收斂速度計(jì)算實(shí)例及其程序演示內(nèi)容提綱（Outline)取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:重復(fù)上述過程作為第一次近似值一、牛頓法及其幾何意義Newton迭代公式基本思路：將非線性方程f(x)=0線性化取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:重牛頓法的幾何意義xyx*x0x

1x

2牛頓法也稱為切線法牛頓法的幾何意義xyx*x0x1x2牛頓法也稱為切線法（局部收斂性定理）設(shè)f(x)C2[a,b]，若x*

為f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，則存在x*的鄰域使得任取初始值，Newton法產(chǎn)生的序列{xk}收斂到x*，且滿足至少平方收斂二、牛頓法的收斂性與收斂速度（局部收斂性定理）設(shè)f(x)C2[a,b]，若在x*的附近收斂由Taylor展開：令k，由f(x*)0，即可得結(jié)論。證明：Newton法實(shí)際上是一種特殊的迭代法在x*的附近收斂由Taylor展開：令k，由f思考題1

若，Newton法是否仍收斂？設(shè)x*是f

的m

重根，則令：且Answer1:

有局部收斂性思考題1若，Newton法是否仍收斂？設(shè)x*Answer2:

線性收斂思考題2當(dāng)x*是f(x)=0的m重根,是否平方收斂？Answer2:線性收斂思考題2當(dāng)x*是f(x)=結(jié)論：Newton法的收斂性依賴于x0

的選取。x*x0x0x0結(jié)論：Newton法的收斂性依賴于x0的選取。x*x0x有根根唯一全局收斂性定理(定理3.3.1)：設(shè)f(x)C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整個(gè)[a,b]上f(x)0；f(x)在[a,b]上不變號(hào)

選取初始值x0

[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；則由Newton法產(chǎn)生的序列{xk}單調(diào)地收斂到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收斂速度至少是二階的保證產(chǎn)生的序列{xk}單調(diào)有界保證Newton迭代函數(shù)將[a,b]映射于自身有根根唯一全局收斂性定理(定理3.3.1)：設(shè)f(x)將f(x*)在xk處作Taylor展開對(duì)迭代公式兩邊取極限，得證明：以為例證明

說明數(shù)列{xk}有下界故{xk}單調(diào)遞減,從而{xk}收斂.令？將f(x*)在xk處作Taylor展開對(duì)迭代公式兩邊取極三、計(jì)算實(shí)例及其程序演示輔助工具:VC程序設(shè)計(jì)語言Matlab數(shù)學(xué)軟件三、計(jì)算實(shí)例及其程序演示輔助工具:

(1)選定初值x0,計(jì)算f(x0),f(x0)計(jì)算步驟(2)按公式迭代得新的近似值xk+1

(3)對(duì)于給定的允許精度，如果

則終止迭代，取;否則k=k+1，再轉(zhuǎn)步驟(2)計(jì)算允許精度最大迭代次數(shù)迭代信息(1)選定初值x0,計(jì)算f(x0),f(x0例題1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,計(jì)算如下：對(duì)迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706對(duì)迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例題1用Newton法求方程的根,要例題2求函數(shù)的正實(shí)根精度要求：從圖形中我們可以看出：在x=7和x=8

之間有一單根；在x=1和x=2

之間有一重根。用Matlab畫圖，查看根的分布情形例題2求函數(shù)初值x0＝8.0

時(shí),計(jì)算的是單根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,計(jì)算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981取初值x0＝8.0,用牛頓迭代公式計(jì)算如下：取初值x0＝1.0,用牛頓迭代公式計(jì)算如下：初值x0＝8.0時(shí),計(jì)算的是單根,Theiterati小結(jié)(1)當(dāng)f

(x)充分光滑且x*是f

(x)=0的單根時(shí)，牛頓法在x*的附近至少是平方收斂的。(2)當(dāng)f

(x)充分光滑且x*是f

(x)=0的重根時(shí)，牛頓法在x*的附近是線性收斂的。(3)Newton法在區(qū)間[a,b]上的收斂性依賴于初值x0

的選取。小結(jié)(1)當(dāng)f(x)充分光滑且x*是f(x)=0練習(xí)：3.Newton迭代法是如何推出的?它若在單根附近收斂,是幾階收斂?在重根附近是幾階收斂？求方程重根時(shí),能達(dá)到2階收斂的改進(jìn)Newton迭代公式是什么用牛頓法求方程在區(qū)間[1，2]內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，要求2.導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。

練習(xí)：3.Newton迭代法是如何推出的?它若在單根附首先導(dǎo)出求根方程，再對(duì)使用牛頓法得迭代公式,用全局收斂性定理或局部收斂性定理討論其收斂性。首先導(dǎo)出求根方程，再對(duì)使用牛頓數(shù)值分析

非線性方程的牛頓法

(NewtonMethodofNonlinearEquations)數(shù)值分析

非線性方程的牛頓法

(NewtonMetho內(nèi)容提綱（Outline)牛頓法及其幾何意義收斂性及其收斂速度計(jì)算實(shí)例及其程序演示內(nèi)容提綱（Outline)取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:重復(fù)上述過程作為第一次近似值一、牛頓法及其幾何意義Newton迭代公式基本思路：將非線性方程f(x)=0線性化取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:重牛頓法的幾何意義xyx*x0x

1x

2牛頓法也稱為切線法牛頓法的幾何意義xyx*x0x1x2牛頓法也稱為切線法（局部收斂性定理）設(shè)f(x)C2[a,b]，若x*

為f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，則存在x*的鄰域使得任取初始值，Newton法產(chǎn)生的序列{xk}收斂到x*，且滿足至少平方收斂二、牛頓法的收斂性與收斂速度（局部收斂性定理）設(shè)f(x)C2[a,b]，若在x*的附近收斂由Taylor展開：令k，由f(x*)0，即可得結(jié)論。證明：Newton法實(shí)際上是一種特殊的迭代法在x*的附近收斂由Taylor展開：令k，由f思考題1

若，Newton法是否仍收斂？設(shè)x*是f

的m

重根，則令：且Answer1:

有局部收斂性思考題1若，Newton法是否仍收斂？設(shè)x*Answer2:

線性收斂思考題2當(dāng)x*是f(x)=0的m重根,是否平方收斂？Answer2:線性收斂思考題2當(dāng)x*是f(x)=結(jié)論：Newton法的收斂性依賴于x0

的選取。x*x0x0x0結(jié)論：Newton法的收斂性依賴于x0的選取。x*x0x有根根唯一全局收斂性定理(定理3.3.1)：設(shè)f(x)C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整個(gè)[a,b]上f(x)0；f(x)在[a,b]上不變號(hào)

選取初始值x0

[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；則由Newton法產(chǎn)生的序列{xk}單調(diào)地收斂到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收斂速度至少是二階的保證產(chǎn)生的序列{xk}單調(diào)有界保證Newton迭代函數(shù)將[a,b]映射于自身有根根唯一全局收斂性定理(定理3.3.1)：設(shè)f(x)將f(x*)在xk處作Taylor展開對(duì)迭代公式兩邊取極限，得證明：以為例證明

說明數(shù)列{xk}有下界故{xk}單調(diào)遞減,從而{xk}收斂.令？將f(x*)在xk處作Taylor展開對(duì)迭代公式兩邊取極三、計(jì)算實(shí)例及其程序演示輔助工具:VC程序設(shè)計(jì)語言Matlab數(shù)學(xué)軟件三、計(jì)算實(shí)例及其程序演示輔助工具:

(1)選定初值x0,計(jì)算f(x0),f(x0)計(jì)算步驟(2)按公式迭代得新的近似值xk+1

(3)對(duì)于給定的允許精度，如果

則終止迭代，取;否則k=k+1，再轉(zhuǎn)步驟(2)計(jì)算允許精度最大迭代次數(shù)迭代信息(1)選定初值x0,計(jì)算f(x0),f(x0例題1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,計(jì)算如下：對(duì)迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706對(duì)迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例題1用Newton法求方程的根,要例題2求函數(shù)的正實(shí)根精度要求：從圖形中我們可以看出：在x=7和x=8

之間有一單根；在x=1和x=2

之間有一重根。用Matlab畫圖，查看根的分布情形例題2求函數(shù)初值x0＝8.0

時(shí),計(jì)算的是單根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,計(jì)算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutio