數(shù)理統(tǒng)計第二章抽樣分布2.6節(jié)指數(shù)族

2.6

指數(shù)族統(tǒng)計理論問題中，許多統(tǒng)計推斷方法的優(yōu)良性，對一類范圍廣泛的統(tǒng)計模型(也稱為分布族)有比較滿意的結(jié)果，這類分布族稱為指數(shù)族.常見的分布，如正態(tài)分布、二項分布、Poisson分布、負二項分布、指數(shù)分布和Gamma分布都屬于這類分在布族，這些表面看來各不相同的分布其實都一種包羅更廣的一類稱為指數(shù)族的模型中.本節(jié)介紹指數(shù)族的定義及其簡單性質(zhì)22.6.1

定義與例子k定義2.6.1:設F

{f

(x,

):

}是定義在樣本空間上的分布族，其中為參數(shù)空間.若其概率函數(shù)f

(x,

)可以表示為如下形式f

(

x,

)

C(

)exp{Qi

(

)Ti

(

x)}h(

x)i

1則稱此分布族為指數(shù)型分布族(簡稱指數(shù)族)其中k為自然數(shù)，C(

)

0和Qi

(

)(i

1,

2, ,

k)都是定義在參數(shù)空間上的函數(shù)h(

x)

0和Ti

(

x)(i

1,

2, ,

k)都是定義在樣本空間上的函數(shù)34說明：k1.

Qi

(

)Ti

(

x)的表示不唯一1或

C

(

)

exp{i

12.

支撐G(x)

{x

:f

(x,

)

0}與無關{

x

:

f

(

x,

)

0}

{

x

:

h(

x)

0}kiiiiQ

(

)T

(

x)}h(

x)i

1k13

C

(

)

exp{Q

(

)T

(

x)}h(

x)dx

x i

1例2.6.1設X=(X1,X2,…,Xn)是從正態(tài)分布N

(,

2

)中抽取的樣本，則樣本分布族是指數(shù)族.證明：樣本X

(X1,

X2

, ,

Xn

)的聯(lián)合密度為25ni22

n/

2

n

12

(x

)f

(x;,

)=(2)

exp

i1

記=(,

2

)，則參數(shù)空間為={=(,

2

):

,

2

>0}，22n/

2

n222f

(x;,

)=(2)n/

2

n

1

exp

212ni1iniix22

(x

)nn2

2

x

(2)

exp

expi1

i1

f

(

x,

)

C(

)exp{Q1(

)T1(

x)

Q2

(

)T2(

x)}h(

x)

n

/2

n122,

Q

(

)=

，2n2

其中C(

)=(2

)

exp

2621221Q

(

)=

12n，T

(

x)=i

1ni

1ix

，T

(

x)

ix

,

h(

x)因此上述樣本分布族是指數(shù)族.特別：取樣本容量n

1,X1的密度為f

(x;,

2

)=22121

(x

)2

exp272222

22

12

exp

exp

x

x

C(

)exp{Q1(

)T1(

x)

Q2

(

)T2(

x)}h(

x)其中C(

)=，212212,

Q

(

)=2

exp

2812

2，T

(

x)=x，T

(

x)

x2

,

h(

x)

11

2Q

(

)=

因此正態(tài)分布族{N(,

2

):

,

2

>0}，是指數(shù)族.例2.6.2設X=(X1,X2,…,Xn)是從Gamma分布中抽取的樣本，則樣本分布族(

,

)是指數(shù)族.證明：樣本X

(X1,

X2

, ,

Xn

)的聯(lián)合密度為f

(x;

,)=nnxn

1

(

)i1

i1

i

expxi

I[xi

0,i1,2,,n]記=(

,)，則參數(shù)空間為={=(

,):

0,>0}，9innnnnlog

xn((

))xf

(x;

,)=Iii

[

x

0,i1,2,

,n]

n

1(

)

i1

i1

i

expxi

I[xi

0,i1,2,

,n]exp

x

(

1)

i1

i1

f

(

x,

)

C(

)exp{Q1(

)T1(

x)

Q2

(

)T2(

x)}h(

x)n((

))n其中C(

)=,

Q

(

)=

，Q

()=

1，1

2,n]n

nT1(

x)=

xi，T2

(

x)

log

xi,

h(

x)

I[

xi

0,i

1,2,i

1

i

1因此上述樣本分布族是指數(shù)族.01例2.6.3二項分布族{b(n,):0

1}是指數(shù)族.證明：設X

~

b(n,)，其概率函數(shù)為np(x,)=P

(X

x)

x

(1)nx

x

,n},其中樣本空間={0,1,2,參數(shù)空間為={

:0

1}

n

x

(1)n

,

x

0,1,2,

,n

x

1

1112p(

x,

)

C(

)exp{Q1

(

)T1(

x)}h(x)1其中C(

)=(1

)n

,

Q

(

)=log

，1

1T

(

x)

x,

h(

x)

n

因此根據(jù)定義二項分布族是指數(shù)族.nx

nxp(x,)=P

(X

x)

(1)

x

n

(1)n

expxlog1

x

x

例2.6.4Poisson分布族{P():

0}是指數(shù)族.證明：設X

~

P()，其概率函數(shù)為e

xp(x,)=P(X

x)

x!其中樣本空間為={0,1,2,

},參數(shù)空間為={

:

0}13x!

e

exp{xlog}

1p(

x,

)

C(

)exp{Q1

(

)T1(

x)}h(x)1其中C(

)=e

,Q

()=log，因此根據(jù)定義Poisson分布族是指數(shù)族.p(x,)=P(X

x)

14x!e

xx!

e

exp{xlog}

1T1(

x)

x,h(

x)

1/

x

!15例2.6.5

均勻分布族

{U(0,)

:

0}

和雙參數(shù)指數(shù)分布不是指數(shù)族.證明：均勻分布族{U(0,):

0}的支撐集為{x

:

f

(x,)

0}

=(0,)與未知參數(shù)有關因此均勻分布族{U(0,

):

0}不是指數(shù)族.雙參數(shù)指數(shù)族的密度函數(shù)為

16[x]p(x;,

)

1

exp{

x

}I

,

,

0其中和是兩個參數(shù)，它的支撐集為{x

:

p(x;,

)

0}

=(,)與未知參數(shù)有關,因此雙參數(shù)指數(shù)分布不是指數(shù)族.若已知，如=0，則單參數(shù)指數(shù)分布族{Exp(1/),

0}是指數(shù)族.2.6.2

指數(shù)族的自然形式及自然參數(shù)空間則稱它為指數(shù)族的自然形式(標準形式).此時集合k定義2.6.2:如果指數(shù)族有下列形式f

(

x,

)

C(

)exp{iTi

(

x)}h(

x)i

1ki

1*

{(

,

,

,

)

:1

2

k

exp{iTi

(

x)}h(

x)

}稱為自然參數(shù)空間.17例2.6.6(例2.6.1續(xù))設X=(X1,X2,…,Xn)是從正態(tài)分布N

(,

2

)中抽取的樣本，將樣本分布族表示為指數(shù)族的自然形式(標準形式)，并求出自然參數(shù)空間.解：根據(jù)例題2.1.1nniix2

2221222n

i1

i1,

)

(22

n/

2

nf

(x;

)

exp

exp

x

參數(shù)空間為={=(,

2

):

,

2

>0}，12令

=

，

=-2122118212解出

=

-222

1

，

=2

-

2

2

*12n

niif

(x;,

)=C

()exp

2

x

x

h(x)

i1i1

*1

1

2

2=C

()exp

T

(

x)

T

(

x)

h(x)1

219

n其中C*

()=

22

exp(n2

/

4

)2

因此樣本分布族的自然形式(標準形式)為自然參數(shù)空間為*

{(

,

)

: