三角代換證明不等式和求最值_第1頁(yè)
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三角代換證明不等式和求最值_第3頁(yè)
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三代證不式求值（一）三代換的應(yīng)用-明不等式例1

2c22

求：

|bd

。證明：設(shè),b=cos,c=sin,d=cos則有：

|

sin

cos

|

)

，問題得證。例2知a,b

R,且

22

1

，求證：|a

2+2ab-b|

2解：可設(shè)a=ksin其中|k|于有|a+2ab-b|=k2|sin2

2

|=

2k

2

4

)

2k

2

2例3．知0<x<1,求證：

a2b1

b

分析：0<x<1，0<1－x<1，且x+(1-x)=1,聯(lián)想到角代換。證明：因?yàn)?<x<1，0<1－x<1設(shè)

，

所以22(12b(1sin22

)ab2a2tana

b

2()

abbx1-

例4知

，且nN

求證)

＋x)

分析因

考慮到右邊1-x與1+x,聯(lián)想到用倍角余公式化簡(jiǎn)從而采用三角代之。證明：因?yàn)?/p>

，設(shè)x=cos2

(0

）２

則

＋xcos2cos2所以)

＋)

sin

cos

n

2

故原不等式)

＋x)n2n

成立。

２,]２,]（二）三代換的應(yīng)用-最值例x,

,不等式

x

恒成立，求a的小值。析：原不等式等價(jià)于

xxy

恒成立，則a必不小右邊代數(shù)的最大值即只需求出

xxy

的最大值即可。解：因?yàn)?x)

2

y)

2

x)

2令

=cos,

yxy

(

)

y

=

，)４４４24

a不小右邊函數(shù)最大值，

2

4

的最大值２因此a的最小是。例6．y=x+

1

2

的大。解：不妨設(shè)x=sin

則變?yōu)?sin(224故y

2

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，能取到大值。點(diǎn)評(píng)：、角代換時(shí)要注意新量

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