第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算課件

第18講

導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算第18講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(3)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算(3)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(4)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(5)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux',即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.(6)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).特別地,如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線垂直于x軸,則此時(shí)導(dǎo)數(shù)f'(x0)不存在,由切線定義可知,切線方程為x=x0.(4)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(5)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)可導(dǎo),f'(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上為增函數(shù).f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上為減函數(shù).(2)辨明導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f'(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件;(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件.【注意】

由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f'(x)≥0(或≤0)在該區(qū)間恒成立,而不是f'(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少.2.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則點(diǎn)x=b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)函數(shù)的極值極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值,函數(shù)的最大值和最小值一定產(chǎn)生在極值點(diǎn)或閉區(qū)間的端點(diǎn)處.(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將f(x)的各極值與f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)題型一

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】

分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=ex·cosx【解析】

(1)y'=(ex)'·cos

x+ex(cos

x)'=ex·cos

x-exsin

x題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【解析】(1)y'=(ex)'·cos【規(guī)律方法】

【規(guī)律方法】變式訓(xùn)練一1.分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).變式訓(xùn)練一題型二

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用考法一

求切線方程【例2-1】

(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(

)A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x(2)已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為

.

第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第【解析】

(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.(2)∵點(diǎn)(0,-1)不在曲線f(x)=xlnx上,∴設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0).又∵f'(x)=1+lnx,∴直線l的方程為y+1=(1+lnx0)x.解得x0=1,y0=0.∴直線l的方程為y=x-1,即x-y-1=0.【答案】(1)D

(2)x-y-1=0第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(考法二

求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2-2】

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2.若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為x+y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法二求切點(diǎn)坐標(biāo)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概【解析】

由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2ax,設(shè)y0=f(x0),

即P(1,-1)或P(-1,1).故選D.【答案】D第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2a考法三

求參數(shù)的值【例2-3】

(1)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R),若f(x)在(0,f(0))處的切線與直線x+y-1=0垂直,則a=(

)A.1 B.-1C.2 D.-2第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法三求參數(shù)的值第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概【解析】

(1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2+ax-1)(ex)'=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex=[x2+(a+2)x+(a-1)]ex,故f'(0)=[02+(a+2)×0+(a-1)]e0=a-1.因?yàn)閒(x)在(0,f(0))處的切線與直線x+y-1=0垂直,故f'(0)=1,即a-1=1,解得a=2.(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】(1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2【答案】(1)C

(2)B【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f'(x0).(3)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【答案】(1)C(2)B(3)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,變式訓(xùn)練二

A.1 B.-1 C.7 D.-72.若曲線y=xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

C(e,e)【解析】

由題意得y'=ln

x+x·=1+ln

x,直線2x-y+1=0的斜率為2.設(shè)P(m,n),則1+ln

m=2,解得m=e,所以n=eln

e=e,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,e).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件變式訓(xùn)練二A.1 B.-1 C.7 D.-723.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則曲線g(x)在x=3處的切線方程為

.

y-3=0又因?yàn)間(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由題圖可知f(3)=1,第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件3.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線題型三

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例3-1】

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若f(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),求a的取值范圍;(3)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求a的值.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課【解】

(1)因?yàn)閒'(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范圍為(-∞,3].(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),所以f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因?yàn)?1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3.即a的取值范圍為[3,+∞).(3)因?yàn)閒(x)=x3-ax-1,第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解】(1)因?yàn)閒'(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(即x=1或x=ln

2;令f'(x)>0,則x<0或x>ln

2,令f'(x)<0,則0<x<ln

2,∴f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,0),(ln

2,+∞);遞減區(qū)間是(0,ln

2).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件即x=1或x=ln2;第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)【規(guī)律方法】(1)(2)

第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【規(guī)律方法】(2)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路①由函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間[a,b]上恒成立列出不等式.②利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題.③對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)在整個(gè)區(qū)間恒等于0,若f'(x)恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'(x)=0,則參數(shù)可取這個(gè)值.(4)利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.【注意】①f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.②注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性是不同的.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第講導(dǎo)數(shù)的概變式訓(xùn)練三1.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件變式訓(xùn)練三第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算2.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+alnx,若函數(shù)f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-6,+∞)B.(-∞,-16)C.(-∞,-16]∪[-6,+∞)D.(-∞,-16)∪(-6,+∞)C∵f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù),∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(1,2)上恒成立,即2x2+4x+a≥0或2x2+4x+a≤0在(1,2)上恒成立,即a≥-(2x2+4x)或a≤-(2x2+4x)在(1,2)上恒成立.記g(x)=-(2x2+4x),1<x<2,則-16<g(x)<-6,∴a≥-6或a≤-16,故選C.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件2.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+alnx,若函數(shù)f(x)3.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

(-3,-1)∪(1,3)【解析】

因?yàn)閒'(x)=3x2-12,由f'(x)>0,得函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,-2)及(2,+∞),由f'(x)<0,得函數(shù)的減區(qū)間是(-2,2),由于函數(shù)在(k-1,k+1)上不是單調(diào)函數(shù),所以k-1<-2<k+1或k-1<2<k+1,解得-3<k<-1或1<k<3.4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(4)=-3,且對(duì)任意的x∈R總有f'(x)<3,則不等式f(x)<3x-15的解集為

.

(4,+∞)【解析】

令g(x)=f(x)-3x+15,則f(x)<3x-15的解集即為g(x)<0的解集.又g'(x)=f'(x)-3<0,所以g(x)在R上是減函數(shù).又g(4)=f(4)-3×4+15=0,所以g(x)<g(4),故x>4.所以f(x)<3x-15的解集為(4,+∞).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件3.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1,k+1)上不題型四

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值考法一

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的極值【例4-1】

設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(

)A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)【解析】

由題圖可知,當(dāng)x<-2時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-2<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)1<x<2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得極小值.【答案】D第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件題型四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PP考法二

根據(jù)函數(shù)的解析式求極值【例4-2】

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R).(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).令f'(x)=0,得x=2,于是當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表.故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值=f(2)=ln2-1,無極小值.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法二根據(jù)函數(shù)的解析式求極值(2)討論函數(shù)f(x)在定義域當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)在定義域上無極值點(diǎn);綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)在定義域上無極值點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,綜上所述,考法三

已知函數(shù)的極值求參數(shù)【例4-3】

(1)(2019·成都模擬)若函數(shù)f(x)=(x2+ax+3)ex在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)(2)若函數(shù)f(x)=x(x-a)2在x=2處取得極小值,則a=

.

第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法三已知函數(shù)的極值求參數(shù)(2)若函數(shù)f(x)=x(x-a【解析】

(1)f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+3)ex=[x2+(a+2)x+a+3]ex.令g(x)=x2+(a+2)x+a+3,(2)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,∴f'(x)=3x2-4ax+a2.由f'(2)=12-8a+a2=0,解得a=2或a=6.當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),函數(shù)在x=2處取得極小值,符合題意;當(dāng)a=6時(shí),f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函數(shù)在x=2處取得極大值,不符合題意,∴a=2.【答案】(1)C

(2)2【解析】(1)f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+考法四

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例4-4】

(2019·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.【解】(1)由f(x)=(x-k)ex,得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,得x=k-1.f(x)與f'(x)的變化情況如下:所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).考法四利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是((2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k,當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時(shí),由(1)知f(x)在[0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-

.當(dāng)k-1≥1,即k≥2時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.綜上可知,當(dāng)k≤1時(shí),f(x)min=-k;當(dāng)1<k<2時(shí),f(x)min=-

;當(dāng)k≥2時(shí),f(x)min=(1-k)e.(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上單【規(guī)律方法】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程【規(guī)律方法】(2)已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng).①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.②驗(yàn)證:因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.【注意】若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.(3)最值(2)已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng).變式訓(xùn)練四1.若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍為(

)D【解析】

若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點(diǎn),則f'(x)=3x2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12>0,變式訓(xùn)練四D【解析】若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有2.已知函數(shù)f(x)=x(x-m)2在x=1處取得極小值,則實(shí)數(shù)m=(

)A.0 B.1 C.2 D.3B【解析】f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以f'(x)=3x2-4mx+m2=(x-m)(3x-m).由f'(1)=0可得m=1或m=3.若m=3,則f'(x)=3(x-1)(x-3),當(dāng)1<x<3時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x<1或x>3時(shí),f'(x)>0,此時(shí)在x=1處取得極大值,不合題意,若m=1,則f'(x)=(x-1)(3x-1),2.已知函數(shù)f(x)=x(x-m)2在x=1處取得極小值,則3.已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.因?yàn)閒(1)=1,f'(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.3.已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).因?yàn)閒(1)①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0,解得x=a.又當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln

a,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln

a,無極大值.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的4.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時(shí),y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.當(dāng)x=1時(shí),切線l的斜率為3,可得2a+b=0,①可得4a+3b+4=0,②由①②,解得a=2,b=-4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,得c=5.4.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f'(x)=3x2+4x-4.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的取值及變化情況如下表所示:(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,當(dāng)x變化BB2.若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(

)A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)D即k的取值范圍為[1,+∞),故選D.

2.若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增f(x)圖象的切點(diǎn)為(1,f(1)),則m的值為(

)A.-1 B.-3 C.-4 D.-2D【解析】

∵f'(x)=

,∴直線l的斜率為k=f'(1)=1,又f(1)=0,∴切線l的方程為y=x-1.g'(x)=x+m,設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0,y0),f(x)圖象的切點(diǎn)為(1,f(1)),則m的值為()D4.函數(shù)f(x)=3+xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)C4.函數(shù)f(x)=3+xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間是()C5.函數(shù)f(x)=(x2-1)2+2的極值點(diǎn)是(

)A.x=1 B.x=-1C.x=1或-1或0 D.x=0C【解析】

∵f(x)=x4-2x2+3,∴由f'(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得x=0或x=1或x=-1,又當(dāng)x<-1時(shí)f'(x)<0;當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,∴x=0,1,-1都是f(x)的極值點(diǎn).5.函數(shù)f(x)=(x2-1)2+2的極值點(diǎn)是()C【A.[-5,0) B.(-5,0)C.[-3,0) D.(-3,0)C【解析】

由題意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),A.[-5,0) B.(-5,0)C【解析】由題意,f7.若函數(shù)f(x)=x3-3ax在區(qū)間(-1,2)上僅有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(1,4] B.[2,4]C.[1,4) D.[1,2]C【解析】

因?yàn)閒'(x)=3(x2-a),所以當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)沒有極值點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0得x=±,當(dāng)x變化時(shí),f'(x)與f(x)的變化情況如下表所示:解得1≤a<4.選C.7.若函數(shù)f(x)=x3-3ax在區(qū)間(-1,2)上僅有一個(gè)8.f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是

.

2【解析】

f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0或x=2(舍),當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取得極大值即最大值,所以f(x)的最大值為2.8.f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是【解析】

函數(shù)f(x)為偶函數(shù),因此f(-3)=f(3).又f'(x)=sin

x+xcos

x-sin

x=xcos

x,【解析】函數(shù)f(x)為偶函數(shù),因此f(-3)=f(3).10.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx+b(a∈R).(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為3x-y-3=0,求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.10.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx+b(a∈R)(2)因?yàn)閤=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f'(1)=1-a=0,所以a=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以x=1是f(x)的極值點(diǎn),所以a=1符合題意.(2)因?yàn)閤=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),當(dāng)0<x<1時(shí),f'1.(2019·合肥模擬)已知f(x)=e-x-ex+x-sinx(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式f(x2-x)<f(x+3)的解集為

.

(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】

由已知得,f(-x)=ex-e-x-x+sinx=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),又f'(x)=-e-x-ex+1-cosx,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)是R上的減函數(shù),所以f(x2-x)<f(x+3),即x2-x>x+3,所以x2-2x-3>0,所以x<-1或x>3.1.(2019·合肥模擬)已知f(x)=e-x-ex+x-s2.若函數(shù)f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[-2,1)

【解析】

由于f'(x)=-x2+1.易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上f'(x)<0,在[-1,1]上f'(x)>0.2.若函數(shù)f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有3.已知點(diǎn)P在曲線y=上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是

.

3.已知點(diǎn)P在曲線y=上,α為曲線在點(diǎn)P4.(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+2ax.(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)∵當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=ex-2x+2,∴f'(1)=e,又f(1)=e+1,∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.4.(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+2a(2)f'(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上單調(diào)遞增,∴f'(x)≥0在R上恒成立,在(-∞,ln2)上,g'(x)>0;在(ln2,+∞)上,g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,ln2)上單調(diào)遞增,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞減,∴g(x)max=g(ln2)=ln2-1,∴a≥ln2-1,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln2-1,+∞).(2)f'(x)=ex-2x+2a,在(-∞,ln2)上,g一、單選題1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(

)A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=xD【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以a-1=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,f(0)=0.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x,化簡(jiǎn)可得y=x,故選D.一、單選題D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以a-1A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)D【解析】

函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示,所以滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是(-∞,0),故選D.A.(-∞,-1] B.(0,+∞)D【解析】函數(shù)f(x)3.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50C【解析】

因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1),∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),∴T=4.因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2),因?yàn)閒(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∵f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,選C.3.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為(

)D函數(shù)單調(diào)遞增,故正確答案選D.4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致DD6.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)D【解析】

函數(shù)y=x2-2x-8=(x-1)2-9圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)為函數(shù)y=x2-2x-8的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).7.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(

)A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1D【解析】

∵f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1),得f(x)=-e-x+1.故選D.6.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<bC∵log25>log24.1>2>

20.8,且函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),∴f(20.8)<f(log24.1)<f(log25),∴c<b<a.則a,b,c的大小關(guān)系為()C∵log25>log24

D【解析】

y'=aex+lnx+1,k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e-1.將(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1,故選D.

D【解析】y'=aex+lnx+1,k=y'|x=1=

C

C二、填空題11.(2018·天津卷文)已知函數(shù)f(x)=exlnx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(1)的值為

.

12.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

.

e即f'(1)的值為e.3x-y=0【解析】

y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以k=y/|x=0=3.所以曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.二、填空題12.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)曲線y=3(x2+x)13.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=

.

14.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)曲線y=ln(2x-1)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為

.

-7【解析】

根據(jù)題意有f(3)=log2(9+a)=1,可得9+a=2,所以a=-7,故答案是-7.y=2x-2則曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為k=f'(1)=2,則所求切線方程為y-0=2(x-1),即y=2x-2.-2故答案為:-2.13.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=log2(x2三、解答題16.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).解:(1)由題意可得,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),由f(x)=(x-1)lnx-x-1,故存在唯一的x0,使得f'(x0)=0;又當(dāng)x>x0時(shí),f'(x0)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<x0時(shí),f'(x0)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).三、解答題解:(1)由題意可得,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞(2)由(1)知,f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一實(shí)根,記作x=α.綜上,f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).(2)由(1)知,f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=第18講

導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算第18講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(3)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算(3)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(4)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(5)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux',即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.(6)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).特別地,如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線垂直于x軸,則此時(shí)導(dǎo)數(shù)f'(x0)不存在,由切線定義可知,切線方程為x=x0.(4)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(5)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)可導(dǎo),f'(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上為增函數(shù).f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上為減函數(shù).(2)辨明導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f'(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件;(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件.【注意】

由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f'(x)≥0(或≤0)在該區(qū)間恒成立,而不是f'(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少.2.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則點(diǎn)x=b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)函數(shù)的極值極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值,函數(shù)的最大值和最小值一定產(chǎn)生在極值點(diǎn)或閉區(qū)間的端點(diǎn)處.(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將f(x)的各極值與f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)題型一

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】

分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=ex·cosx【解析】

(1)y'=(ex)'·cos

x+ex(cos

x)'=ex·cos

x-exsin

x題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【解析】(1)y'=(ex)'·cos【規(guī)律方法】

【規(guī)律方法】變式訓(xùn)練一1.分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).變式訓(xùn)練一題型二

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用考法一

求切線方程【例2-1】

(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(

)A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x(2)已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為

.

第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第【解析】

(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.(2)∵點(diǎn)(0,-1)不在曲線f(x)=xlnx上,∴設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0).又∵f'(x)=1+lnx,∴直線l的方程為y+1=(1+lnx0)x.解得x0=1,y0=0.∴直線l的方程為y=x-1,即x-y-1=0.【答案】(1)D

(2)x-y-1=0第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(考法二

求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2-2】

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2.若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為x+y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法二求切點(diǎn)坐標(biāo)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概【解析】

由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2ax,設(shè)y0=f(x0),

即P(1,-1)或P(-1,1).故選D.【答案】D第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2a考法三

求參數(shù)的值【例2-3】

(1)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R),若f(x)在(0,f(0))處的切線與直線x+y-1=0垂直,則a=(

)A.1 B.-1C.2 D.-2第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件考法三求參數(shù)的值第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概【解析】

(1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2+ax-1)(ex)'=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex=[x2+(a+2)x+(a-1)]ex,故f'(0)=[02+(a+2)×0+(a-1)]e0=a-1.因?yàn)閒(x)在(0,f(0))處的切線與直線x+y-1=0垂直,故f'(0)=1,即a-1=1,解得a=2.(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解析】(1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2【答案】(1)C

(2)B【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f'(x0).(3)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【答案】(1)C(2)B(3)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,變式訓(xùn)練二

A.1 B.-1 C.7 D.-72.若曲線y=xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

C(e,e)【解析】

由題意得y'=ln

x+x·=1+ln

x,直線2x-y+1=0的斜率為2.設(shè)P(m,n),則1+ln

m=2,解得m=e,所以n=eln

e=e,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,e).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件變式訓(xùn)練二A.1 B.-1 C.7 D.-723.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則曲線g(x)在x=3處的切線方程為

.

y-3=0又因?yàn)間(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由題圖可知f(3)=1,第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件3.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線題型三

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例3-1】

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若f(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),求a的取值范圍;(3)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求a的值.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課【解】

(1)因?yàn)閒'(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范圍為(-∞,3].(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),所以f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因?yàn)?1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3.即a的取值范圍為[3,+∞).(3)因?yàn)閒(x)=x3-ax-1,第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【解】(1)因?yàn)閒'(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(即x=1或x=ln

2;令f'(x)>0,則x<0或x>ln

2,令f'(x)<0,則0<x<ln

2,∴f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,0),(ln

2,+∞);遞減區(qū)間是(0,ln

2).第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件即x=1或x=ln2;第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)【規(guī)律方法】(1)(2)

第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件【規(guī)律方法】(2)第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路①由函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間[a,b]上恒成立列出不等式.②利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題.③對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)在整個(gè)區(qū)間恒等于0,若f'(x)恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'(x)=0,則參數(shù)可取這個(gè)值.(4)利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.【注意】①f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.②注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性是不同的.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第講導(dǎo)數(shù)的概變式訓(xùn)練三1.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件變式訓(xùn)練三第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算2.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+alnx,若函數(shù)f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-6,+∞)B.(-∞,-16)C.(-∞,-16]∪[-6,+∞)D.(-∞,-16)∪(-6,+∞)C∵f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù),∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(1,2)上恒成立,即2x2+4x+a≥0或2x2+4x+a≤0在(1,2)上恒成立,即a≥-(2x2+4x)或a≤-(2x2+4x)在(1,2)上恒成立.記g(x)=-(2x2+4x),1<x<2,則-16<g(x)<-6,∴a≥-6或a≤-16,故選C.第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件第講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算PPT課件2.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+alnx,若函數(shù)f(x)3.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)