2022-2023學(xué)年福建省三明市清流縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．52．對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析．①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性，故平均成績(jī)?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A． B． C．- D．-6．馬林●梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．67．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．9．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．10．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，則的極大值點(diǎn)為()A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量滿足，且，則_________．14．變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是____．15．的二項(xiàng)展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為__________．16．定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn)，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年12月以來(lái)，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.為了預(yù)測(cè)在未釆取強(qiáng)力措施下，后期的累計(jì)確診人數(shù)，建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的兩個(gè)回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時(shí)間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對(duì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認(rèn)為模型可靠，請(qǐng)判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請(qǐng)判斷預(yù)防措施是否有效？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.53901938576403152515470010015022533850718．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．19．（12分）已知數(shù)列滿足：，，且對(duì)任意的都有,（Ⅰ）證明：對(duì)任意，都有；（Ⅱ）證明：對(duì)任意，都有；（Ⅲ）證明：.20．（12分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．21．（12分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（10分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績(jī)的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性，最高130分，平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分，①錯(cuò)誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】分析：計(jì)算，由z1，是實(shí)數(shù)得，從而得解.詳解：復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實(shí)數(shù)，所以，即.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化?jiǎn)得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)?，所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.8、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．9、C【解析】

連接，為的中位線，從而，且，進(jìn)而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)椋杂薪?，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，可化為，因?yàn)?，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，11、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋士傻?，令，因?yàn)?，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】

求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．14、5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標(biāo)函數(shù)變形為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，可得有最大值，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的定點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、【解析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，然后取的指數(shù)為求得的值，則項(xiàng)的系數(shù)可求得.【詳解】，由，可得.含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式、需熟記二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）適宜（2）（3）（?。┗貧w方程可靠（ⅱ）防護(hù)措施有效【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷出結(jié)果.（2）設(shè)，則，求出，再由回歸方程過樣本中心點(diǎn)求出，即可求出回歸方程.（3）（?。├帽碇袛?shù)據(jù)，計(jì)算出誤差即可判斷回歸方程可靠；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，與真實(shí)值作比較即可判斷有效.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知：適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與時(shí)間變量的回歸方程類型；（2）設(shè)，則，，，；（3）（?。r(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以（2）的回歸方程可靠：（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，10150遠(yuǎn)大于7111，所以防護(hù)措施有效.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，在求非線性回歸方程時(shí)，現(xiàn)將非線性的化為線性的，考查了誤差的計(jì)算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進(jìn)而可得出.【詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】分析：(1)用反證法證明，注意應(yīng)用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟；(2)將式子進(jìn)行相應(yīng)的代換，結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果；(3)結(jié)合題中的條件，應(yīng)用反證法求得結(jié)果.詳解：證明：（Ⅰ）證明：采用反證法，若不成立，則若,則,與任意的都有矛盾；若,則有,則與任意的都有矛盾；故對(duì)任意，都有成立；（Ⅱ）由得，則，由（Ⅰ）知，，即對(duì)任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，則,取時(shí)，有，與矛盾.則.得證.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)命題的證明問題，在證題的過程中，注意對(duì)題中的條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意對(duì)式子的等價(jià)變形，以及證題的思路，要掌握證明問題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.20、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用正弦定理對(duì)已知代數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求解余弦值；（2）根據(jù)余弦定理求出b＝1或b＝3，結(jié)合面積公式求解.【詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a(bǔ)＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C為三角形內(nèi)角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，則△ABC的面積為或．【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形，關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用余弦定理求解邊長(zhǎng)，根據(jù)面積公式求解面積.21、（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓