非線(xiàn)性方程組的迭代解法11名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二章非線(xiàn)性方程(組)求根方法若n=1,稱(chēng)為非線(xiàn)性方程求根問(wèn)題；

n>1，稱(chēng)為非線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題。理論問(wèn)題：（1）解存在性。即有解還是無(wú)解，有多少解。（2）解性態(tài)。即孤立解區(qū)域，解重?cái)?shù)，光滑性。關(guān)于解存在性及其性態(tài)，不是數(shù)值分析所討論問(wèn)題。我們總認(rèn)為：我們?nèi)蝿?wù)是用數(shù)值方法求滿(mǎn)足一定精度要求近似解！通常求其準(zhǔn)確解是困難第1頁(yè)10/10/1◆二分法內(nèi)容:◆普通迭代法◆牛頓迭代法◆迭代法加速◆非線(xiàn)性方程組牛頓迭代法*第2頁(yè)10/10/21、二分法設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且有，則在區(qū)間內(nèi)有解，不妨設(shè)解唯一！

算法結(jié)構(gòu)原理:有根區(qū)間第3頁(yè)10/10/3x1aabx2b什么時(shí)候停頓？或x*算法停頓條件x第4頁(yè)10/10/4綜合上述，得到以下算法，(1)(2)(3)不然(4)不然，轉(zhuǎn)(2)；例1可得共計(jì)算21次！注：其中為精度控制參數(shù)!第5頁(yè)10/10/5二分法只能求有根區(qū)間中奇數(shù)重實(shí)根;關(guān)于二分法討論(1)二分法線(xiàn)性收斂;(2)二分法可用來(lái)細(xì)化有根區(qū)間，這是它一大優(yōu)點(diǎn)!(3)故二分法能夠用來(lái)確定迭代法迭代初值!返回主目錄第6頁(yè)10/10/62、普通迭代法(1)(2)(3)(一)結(jié)構(gòu)方法(1)第7頁(yè)10/10/7例2第8頁(yè)10/10/81.5000-0.87506.7324-69.72001.0275e+8不收斂

1.50001.28701.40251.34551.37521.36011.36781.36391.36591.36491.36541.36511.36531.36521.3652

1.50000.81652.99690-2.9412i不收斂

1.5000

1.34841.36741.36501.3653

1.36521.3652方法1方法2方法3方法4*收斂是否，以及收斂快慢，取決于迭代函數(shù)15次6次*精度控制表示式？？第9頁(yè)10/10/9(二)

大范圍收斂定理(1)(2)則(1)(2)(3)①

②下面看證實(shí)過(guò)程，即是自映射；第10頁(yè)10/10/10(1)由條件(1)可得解存在性；由條件(2)可證解唯一性！(2)由條件(1)可知(3)①得證；進(jìn)而可證②!第11頁(yè)10/10/11(三)局部收斂定理設(shè)在包含x*某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，若由迭代(1)產(chǎn)生序列,使得則證實(shí):略!注：當(dāng)定理?xiàng)l件成立時(shí)，只要x0充分靠近x*，就能確保迭代序列{xn}收斂于x*！且有與前一定理完全相同不等式成立！第12頁(yè)10/10/12分析例2四種迭代格式收斂性，普通迭代法只有理論上意義，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)確保收斂迭代函數(shù)比較困難。注:方法1收斂性分析方法2收斂性分析方法3收斂性分析方法4收斂性分析四種迭代格式計(jì)算結(jié)果見(jiàn)本課件P9!

取定初值x0=1.5，ε=1e-4,第13頁(yè)10/10/13（四）收斂階（速度）討論定義:p=1——線(xiàn)性收斂；p=2——平方收斂；

2>p>1—超線(xiàn)性收斂；注：1、p=1時(shí)，c<1;2、滿(mǎn)足局部收斂定理簡(jiǎn)單迭代算法最少含有一階收斂速度。第14頁(yè)10/10/14定理（簡(jiǎn)單迭代算法m階收斂充分條件）設(shè)在包含x*某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，若使得則注:1、給出了由迭代函數(shù)判斷收斂速度方法；2、給出了提升收斂速度方法!由迭代產(chǎn)生序列{xn}以m階收斂速度收斂到x*

。證實(shí)：由泰勒公式和收斂階定義可證！第15頁(yè)10/10/15例3解：迭代函數(shù)為第16頁(yè)10/10/16迭代函數(shù)為解：#返回主目錄第17頁(yè)10/10/173、簡(jiǎn)單迭代法加速

怎樣對(duì)其加速?由微分中值定理得實(shí)際上，設(shè)迭代算法產(chǎn)生序列，其中介于和之間。第18頁(yè)10/10/18(一)埃特金(Aitken)加速方法令作為校正值！第19頁(yè)10/10/19(二)steffensen加速算法設(shè)迭代算法，對(duì)其應(yīng)用Aitken加速方法，得到以下Steffensen算法:若在附近改變不大，第20頁(yè)10/10/20Steffensen算法收斂性注:（1）能夠用Steffensen算法對(duì)收斂遲緩簡(jiǎn)單迭代算法加速！能夠證實(shí)：（2）對(duì)于最少平方收斂算法，用Steffensen算法進(jìn)行加速，意義不大！返回主目錄第21頁(yè)10/10/214、牛頓迭代算法將f(x)在初值x0處做Taylor展開(kāi)取其線(xiàn)性部分做為f(x)近似，有：若則有記為同理，我們能夠得到xyx*x0第22頁(yè)10/10/22這么一直下去，我們能夠得到迭代序列Newton迭代迭代函數(shù)(2)——牛頓迭代算法(切線(xiàn)法)其它結(jié)構(gòu)方法(1)待定函數(shù)法:(2)數(shù)值積分法:第23頁(yè)10/10/23收斂定理（單根情形）第24頁(yè)10/10/24證實(shí)：由已知可得，所以最少平方收斂！#利用收斂階定義來(lái)證實(shí)！注：也能夠由收斂階判定定理來(lái)證！第25頁(yè)10/10/25應(yīng)用舉例（1）對(duì)于給定正數(shù)C，應(yīng)用牛頓法解二次方程x2-C=0?？傻米C實(shí)上述迭代算法收斂，并求收斂階！1）當(dāng)x0>0時(shí)，收斂于；2）當(dāng)x0<0時(shí)，收斂于；（*）1)得證!2）實(shí)際上，對(duì)（*）式進(jìn)行配方可得下面證實(shí)1），第26頁(yè)10/10/26（2）對(duì)于給定正數(shù)C，應(yīng)用牛頓法求解方程

。可得能夠證實(shí)上述迭代算法對(duì)任意初值都收斂于！實(shí)際上，從而#第27頁(yè)10/10/27牛頓迭代法幾點(diǎn)說(shuō)明牛頓迭代法算法簡(jiǎn)單，且局部收斂，但初值x0選擇困難！(1)(2)牛頓迭代每步都要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，增加了計(jì)算量！(3)定理表明牛頓迭代求單根有效且平方收斂（能求重根嗎？）。(一)普通來(lái)說(shuō)采取試探法，能夠結(jié)合二分法或經(jīng)過(guò)做出函數(shù)圖形來(lái)幫助選擇初值！關(guān)于初值(二)導(dǎo)數(shù)計(jì)算(1)利用牛頓迭代法先計(jì)算幾步，比如計(jì)算到了第k步，得到近似值xk，接下來(lái)用來(lái)代替導(dǎo)數(shù)，該算法通常是線(xiàn)性收斂！第28頁(yè)10/10/28(2)一個(gè)實(shí)用方法是用差分代替微分，即此迭代法稱(chēng)為割線(xiàn)法！它是超線(xiàn)性收斂！(三)關(guān)于重根問(wèn)題第29頁(yè)10/10/29可見(jiàn)，當(dāng)x*為重根時(shí)，牛頓迭代線(xiàn)性收斂，且伴隨m增加，收斂性變差！計(jì)算重根改進(jìn)算法(1)最少平方收斂。(證實(shí)略!)設(shè)重?cái)?shù)m已知，應(yīng)用牛頓迭代法得第30頁(yè)10/10/30返回主目錄(2)重?cái)?shù)不知道時(shí)，一個(gè)實(shí)用方法是，令則直接對(duì)應(yīng)用牛頓迭代法求解:最少平方收斂！第31頁(yè)10/10/31解非線(xiàn)性方程組牛頓迭代法第32頁(yè)10/10/32Jacobi矩陣第33頁(yè)10/10/33注意事項(xiàng)：為了處理上述問(wèn)題，提出擬牛頓法。第34頁(yè)10/10/34第35頁(yè)10/10/35第36頁(yè)10/10/36Broyden秩1方法第37頁(yè)10/10/37第38頁(yè)10/10/38綜合上述，得到Broyden秩1方法：第39頁(yè)10/10/39第40頁(yè)10/10/40返回主目錄第41頁(yè)10/10/411、數(shù)值分析.顏慶津.修訂版.北京航空航天大學(xué)出版社，2、李慶揚(yáng).非線(xiàn)性方程組數(shù)值解法.科學(xué)出版社,1987參考書(shū)目：第42頁(yè)10/10/42例2