高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)壓軸題綜合歸納總結(jié)計(jì)劃教師

高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)壓軸題綜合歸納總結(jié)計(jì)劃教師版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)壓軸題綜合歸納總結(jié)計(jì)劃教師版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)壓軸題綜合歸納總結(jié)計(jì)劃教師版導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)壓軸題歸納總結(jié)近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中頻頻出現(xiàn)含導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，內(nèi)容主要包括函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定、依照函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、隱零點(diǎn)問(wèn)題及零點(diǎn)存在性賦值理論.其形式逐漸多樣化、綜合化.一、零點(diǎn)存在定理例1.【2019全國(guó)Ⅰ理20】函數(shù)f(x)sinxln(1x),f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．證明：1）f(x)在區(qū)間(1,)存在唯一極大值點(diǎn)；22）f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【剖析】（1）設(shè)gxfx,則gxcosx1,gxsinx12.1x1x當(dāng)x1,時(shí),g'(x)單一遞減,而g00,g0,22可得g'(x)在1,有唯一零點(diǎn),設(shè)為.2則當(dāng)x1,時(shí),gx0；當(dāng)x,時(shí),g'(x)0.2所以g(x)在1,單一遞加,在,單一遞減,故g(x)在1,存在唯一極22大值點(diǎn),即fx在1,存在唯一極大值點(diǎn).2（2）fx的定義域?yàn)?1,).（i）由（1）知,fx在1,0單一遞加,而f00,所以當(dāng)x(1,0)時(shí),f'(x)0,故fx在(1,0)單一遞減,又f(0)=0,從而x0是fx在(1,0]的唯一零點(diǎn).（ii）當(dāng)x0,時(shí),由（1）知,f'(x)在(0,)單一遞加,在,單一遞減,22而f'(0)=0,f0,所以存在,,使得f'( )0,且當(dāng)x(0,)22時(shí),f'(x)0；當(dāng)x,時(shí),f'(x)0.故f(x)在(0,)單一遞加,在,單22調(diào)遞減.又f(0)=0,f1ln10,所以當(dāng)x0,時(shí),f(x)0.222從而fx在0,沒(méi)有零點(diǎn).2（iii）當(dāng)x,時(shí),fx0,所以fx在,單一遞減.而22f0,f0,所以fx在,有唯一零點(diǎn).22（iv）當(dāng)x(,)時(shí),lnx11,所以f(x)<0,從而fx在(,)沒(méi)有零點(diǎn).綜上,fx有且僅有2個(gè)零點(diǎn).【變式訓(xùn)練1】【2020·天津南開(kāi)中學(xué)月考】已知函數(shù)f(x)axsinx3(aR),且2在,0,上的最大值為3，22（1）求函數(shù)f(x)的剖析式；判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【剖析】(1)由已知得f(x)a(sinxxcosx)對(duì)于任意的x∈(0,)，2有sinxxcosx0,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3，不合題意；2當(dāng)a<0時(shí),x∈(0,),f′(x)<0,從而f(x)在(0,)單一遞減，22又函數(shù)f(x)axsinx3(a∈R)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的，22故函數(shù)在[0,]上的最大值為f(0)，不合題意；2當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,2),f′(x)>0,從而f(x)在(0,)單一遞加，2又函數(shù)f(x)axsinx3]上圖象是連續(xù)不斷的，(a∈R)在[0,22故函數(shù)在[0,]上上的最大值為f(2)=a-3=3，解得a=1，2222綜上所述,得f(x)xsinx3(aR),；2函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。證明以下：由(I)知,f(x)axsinx3從而有f(0)=-3<0,f()=π-32>0，222又函數(shù)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)最少存在一22個(gè)零點(diǎn)，又由(I)知f(x)在(0,)單一遞加,故函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)僅有一個(gè)22零點(diǎn)。當(dāng)x∈[,π]時(shí),令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，2由

g(

)=1>0,g(

π)=-

π<0,且

g(x)

在[

,π]上的圖象是連續(xù)不斷的，2

2故存在

m∈

,π),使得

g(m)=0.2由g′(x)=2cosx-xsinx,知

x∈(

,π)時(shí),有

g′(x)<0

，從而

g(x)

在[

,π]2

2上單一遞減。當(dāng)x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，從而f(x)在(,m)內(nèi)單一遞加22故當(dāng)x∈(,m)時(shí),f(x)>f(π2)=π-32>0，從而(x)在(,m)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；22當(dāng)x∈(m,π)時(shí),有g(shù)(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，從而f(x)在(,m)內(nèi)單一遞減。2又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在[m,π]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)?！咀兪接?xùn)練2】【2020·山東棗莊期末】已知函數(shù)fxlnxx2sinx,fx為x的導(dǎo)函數(shù).求證:fx在0，上存在唯一零點(diǎn);求證:fx有且僅有兩個(gè)不同樣的零點(diǎn).【剖析】(1)設(shè)gxf112cosx，xx當(dāng)x0,時(shí)，gx2sinx10，所以gx在0,上單一遞減，x2又因?yàn)間3110，g21032所以gx在3,2上有唯一的零點(diǎn)，所以命題得證．(2)①由(1)知：當(dāng)x0,時(shí)，fx0，fx在0,上單一遞加;當(dāng)x,時(shí)，fx0，fx在,上單一遞減;所以fx在0,上存在唯一的極大值點(diǎn)32所以ff2ln222202又因?yàn)閒1112120，所以fx在0,上恰有一個(gè)e2222sin2e2ee零點(diǎn)．又因?yàn)閒ln20，所以fx在,上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)x,2時(shí)，sinx0，fxlnxx，設(shè)hxlnxx，hx110x所以hx在,2上單一遞減，所以hxh0所以當(dāng)x,2時(shí)，fxhxh0恒成立所以fx在,2上沒(méi)有零點(diǎn)．③當(dāng)x2,時(shí)，fxlnxx2設(shè)xlnxx2，x110x所以x在2,上單一遞減，所以x20所以當(dāng)x2,時(shí)，fxx20恒成立所以fx在2,上沒(méi)有零點(diǎn)．綜上，fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．【變式訓(xùn)練3】（2020年3月武漢市高三質(zhì)檢文）（1）研究函數(shù)fxsinx在0，上的單一性；x（2）求函數(shù)gxx2cosx的最小值剖析（1）略【變式訓(xùn)練4】（2020年3月武漢市高三質(zhì)檢理）（1）證明函數(shù)yex2sinx2xcosx在區(qū)間,上單一遞加；2（2）證明函數(shù)fxex,0上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，且2sinx在x0fx02【變式訓(xùn)練5】（2020年河北省九校高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）【變式訓(xùn)練6】（2020年四川省八校高三第三次質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)）剖析：二、零點(diǎn)存在性賦值理論例、（2020年安徽省淮北一中模擬）已