球面上的幾何課件

2012年8月1《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》系列3-3球面上的幾何內(nèi)容與要求1.通過豐富的實(shí)際問題（如測(cè)量、航空、衛(wèi)星定位），體會(huì)引入球面幾何知識(shí)的必要性。2.通過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如，球面上的大圓相當(dāng)于平面上的直線，球面上兩點(diǎn)之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球冪定理。3.通過對(duì)實(shí)例的分析，體會(huì)球面具有類似平面的對(duì)稱性質(zhì)。2012年8月1《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》系列3-2012年8月2《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月2《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月31.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月31.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月4《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》10.體會(huì)當(dāng)球面半徑無限增大時(shí)，球面接近于平面，球面的三角公式就變成相應(yīng)的平面三角公式。11.初步了解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。12.完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告。2012年8月4《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月52.球面幾何概述16世紀(jì)，麥哲倫不畏艱難的進(jìn)行了歷史上重大的探險(xiǎn)——繞地球航行了一圈，這個(gè)舉動(dòng)不僅將地理大發(fā)現(xiàn)帶上了最高點(diǎn)，同時(shí)也為地圓學(xué)說提出了一個(gè)客觀的實(shí)證，為建立新的天文學(xué)與地理學(xué)奠定了基礎(chǔ)，對(duì)近代科學(xué)的發(fā)展有非同一般的意義。2012年8月52.球面幾何概述16世紀(jì)，麥哲倫不畏艱難的進(jìn)2012年8月6球面幾何概述在17世紀(jì)，高斯曾經(jīng)利用測(cè)量面積的方法驗(yàn)證了地球是圓的，他在地表上取三點(diǎn)，并切割成許多小三角形，再量取每個(gè)小三角形的面積并加起來，這樣所得的結(jié)果并不近似于直接用平面上的三角形面積公式計(jì)算的結(jié)果，而是近似于用球面三角形的面積公式計(jì)算的結(jié)果。2012年8月6球面幾何概述在17世紀(jì)，高斯曾經(jīng)利用測(cè)量面積2012年8月7球面幾何概述我們生活在地球上，地球表面十分接近于一個(gè)球面。因此，在實(shí)際生活中，球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識(shí)有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。例如，大地（天體）測(cè)量、航空、衛(wèi)星定位等方面均需利用球面幾何的知識(shí)。在理論上，球面幾何是一個(gè)與歐氏平面幾何不同的幾何模型，是一個(gè)重要非歐幾何的數(shù)學(xué)模型，球面幾何在幾何學(xué)的理論研究方面，具有特殊的作用。2012年8月7球面幾何概述2012年8月8球面幾何概述

球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何：幾何學(xué)的一門分科，研究球面上圖形的幾何學(xué)，是古代從研究天體在天球上的“視運(yùn)動(dòng)”發(fā)展起來的，其中專門研究球面上三角形的性質(zhì)的稱為“球面三角”，它在天文學(xué)、測(cè)地法、航海術(shù)中被廣泛應(yīng)用。1595年，法國數(shù)學(xué)家波蒂斯楚克在《三角學(xué)：解三角形的簡明處理》一書中首先使用這一術(shù)語，三角學(xué)是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。2012年8月8球面幾何概述

球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何：2012年8月9球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科而是依附于天文學(xué)，是天文觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法。因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派卻已經(jīng)積累了許多球面大圓和球面三角形的知識(shí)。早在公元前3世紀(jì)成書的幾何《原本》第十一篇“立體幾何”中，已給出了球的定義；第十二篇關(guān)于面積和體積的命題中，用“窮竭法”證明了球（體積）之比等于其直徑的三次比。2012年8月9球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程早期三角學(xué)2012年8月10球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程直到亞歷山大里亞時(shí)期，希臘定量幾何中一門全新的學(xué)科——三角學(xué)才逐漸創(chuàng)立希臘三角在梅內(nèi)勞斯時(shí)達(dá)到頂點(diǎn)，他的主要著作是《球面學(xué)》而在公元499年印度數(shù)學(xué)家阿耶波多也表述出古代印度的三角學(xué)思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦概念，并給出最早的正弦表。2012年8月10球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月11球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程球面三角學(xué)的發(fā)展及其在天文上的應(yīng)用在埃及人托勒密的著作《數(shù)學(xué)匯編》中達(dá)到頂峰直到1450年以前，三角術(shù)仍是球面三角。直到納西爾丁的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支1464年，德國數(shù)學(xué)家里基奧蒙田納斯完成了他的名著《論一般三角形》，正式使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為獨(dú)立的科目。2012年8月11球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月12球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程現(xiàn)代球面三角的創(chuàng)始人是俄國科學(xué)院院士歐拉。他使研究三角形的三角學(xué)進(jìn)一步演變成研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的分析學(xué)的分支。至于球面三角的更為廣泛的研究，則是由德國數(shù)學(xué)家高斯、斯太納及俄國天才數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基繼續(xù)完成。2012年8月12球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月13球面幾何概述

球面上的一些基本圖形大圓與小圓：球面上的大圓是指一個(gè)過球心的平面在球面上的截線。球面上不是大圓的圓叫小圓。2012年8月13球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月14球面角球面上一點(diǎn)及過該點(diǎn)的任意兩個(gè)大圓弧構(gòu)成的圖形稱為球面角這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球面角的大小2012年8月14球面上的幾何課件2012年8月16球面多邊形球面上由大圓弧所構(gòu)成的封閉圖形稱為球面多邊形。球面多邊形的邊,必須是大圓的圓弧。任意兩個(gè)不同大圓的兩個(gè)交點(diǎn)是球面上的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，即球的同一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)。2012年8月162012年8月17球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面二角形把一個(gè)球面角的兩邊延伸,它們相交于角頂點(diǎn)的對(duì)徑點(diǎn),這樣得到的圖形稱為球面二角形或月形。2012年8月17球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面二角2012年8月18B`C`這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球面角的大小。月形球面上一點(diǎn)及過該點(diǎn)的任意兩個(gè)大圓弧構(gòu)成的圖形稱為球面角。2012年8月18B`C`這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球2012年8月19球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面三角形是球面上最常用的基本圖形，構(gòu)成球面三角形的大圓弧稱為三角形的邊，三條邊的交點(diǎn)稱為三角形的頂點(diǎn)，過球面三角形頂點(diǎn)分別作大圓弧的切線，兩條切線所成的角稱為球面三角形的角。2012年8月19球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月20球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月20球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月21球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理1：如果一球面三角形為另一球面三角形的極三角形，則另一球面三角形也為這一球面三角形的極三角形。2012年8月21球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理1：2012年8月22球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月22球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月23球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理2：球面三角形的角（或邊）與其極三角形的邊（或角）互補(bǔ)。2012年8月23球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理2：2012年8月24球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月24球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月252012年8月252012年8月26球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月26球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月27球面幾何概述

球面上的一些基本圖形如果兩個(gè)大圓所在的平面互相垂直，就叫做大圓相互垂直。其中一個(gè)大圓通過另一個(gè)大圓的極。2012年8月27球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月283.球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月283.球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月292012年8月29球面上的幾何課件2012年8月312012年8月312012年8月322012年8月322012年8月33球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月33球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月34推論2球面三角形ABC的面積為：2012年8月342012年8月35球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的周長定理球面三角形的周長小于大圓周長2012年8月35球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的周長球面上的幾何課件2012年8月37球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定義兩個(gè)球面三角形，如果三對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，三對(duì)角也對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)球面三角形稱為相等的。如果方向也相同，則稱為是全等的，如果方向相反，則稱為是對(duì)稱的。2012年8月37球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定義2012年8月38球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定理1

如果兩個(gè)球面三角形的三對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SSS）。推論如果兩個(gè)球面三角形的三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（AAA）。2012年8月38球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月39球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定理2如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SAS）。推論如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等而且它們的夾邊也對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（ASA）。2012年8月39球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理球面上的幾何課件2012年8月41球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月41球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月42球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月42球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月43球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理例題如果一個(gè)球面三角形的三條邊相等，那么它的三個(gè)角也相等。2012年8月43球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月442012年8月442012年8月45球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理例題如果一個(gè)球面三角形的三個(gè)角相等，則它的三條邊也相等。2012年8月45球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月462012年8月462012年8月47球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月47球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月48球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月48球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理球面上的幾何課件2012年8月50球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月50球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月512012年8月512012年8月52球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月52球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理球面上的幾何課件2012年8月542012年8月542012年8月55證法二2012年8月55證法二2012年8月562012年8月562012年8月572012年8月572012年8月58球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月58球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月59球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月59球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月60球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月60球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月61球面三角形的其它性質(zhì)定理球面三角形兩邊之和大于第三邊。2012年8月61球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月622012年8月622012年8月632012年8月632012年8月64球面三角形的其它性質(zhì)推論球面三角形兩邊之差小于第三邊。2012年8月64球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月65球面三角形的其它性質(zhì)定理在球面三角形ABC中，等邊所對(duì)的角相等，大邊所對(duì)的角較大，反之亦然。推論球面等腰三角形的兩底角相等。2012年8月65球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月664.球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式

2012年8月664.球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式2012年8月67球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式2012年8月67球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明球面上的幾何課件2012年8月69球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式2012年8月69球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明2012年8月702012年8月702012年8月712012年8月712012年8月722012年8月722012年8月73球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例1993年4月7日，東方航空公司班機(jī)自上海飛往洛杉磯，途遇強(qiáng)氣流，被迫在美國阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。經(jīng)過緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院之外，其余173名旅客于4月9日到達(dá)洛杉磯。上?？缣窖笾边_(dá)洛杉磯豈不近些？為什么要跑到北面的阿拉斯加？2012年8月73球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月74球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月74球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月75球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定在半徑為R的球面上，為了確定點(diǎn)的位置，任意選擇兩個(gè)互相垂直的大圓a和b，并把它們叫做基圓，叫做第一基圓，叫做第二基圓。

2012年8月75球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定在半徑為R的2012年8月76球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月76球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月77球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月77球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月78球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在半徑為R的球面上，兩點(diǎn)的球面距離為：2012年8月78球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在半球面上的幾何課件2012年8月80球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月80球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月812012年8月812012年8月825.非歐幾何模型

非歐幾何的誕生非歐幾何的誕生源于人們對(duì)歐幾里得平行公理的質(zhì)疑和探究，這是數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代意義的大事，它徹底改變了人們對(duì)空間乃至對(duì)數(shù)學(xué)真理性的認(rèn)識(shí)，從唯一的幾何空間和數(shù)學(xué)真理的絕對(duì)性逐漸轉(zhuǎn)向相對(duì)真理的觀點(diǎn)，也從一個(gè)側(cè)面促進(jìn)了數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變。第五公設(shè):同一平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于二直角，則這二直線經(jīng)過無限延長后在這一側(cè)相交2012年8月825.非歐幾何模型

非歐幾何的誕生非歐幾何的2012年8月83非歐幾何模型

非歐幾何的誕生對(duì)第五公設(shè)的研究直至非歐幾何的誕生和確認(rèn)，大體可以劃分為四個(gè)階段：1.對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段2.非歐幾何的孕育階段3.非歐幾何的誕生階段4.非歐幾何的確認(rèn)階段2012年8月83非歐幾何模型

非歐幾何的誕生2012年8月84對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段試圖由其它公設(shè)將其作為定理加以證明。從《原本》誕生到19世紀(jì)初，人們只找出了許許多多與平行公設(shè)等價(jià)的命題，而沒有找到令人信服的“證明”。2012年8月84對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段2012年8月85非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭伯特、勒讓德為代表的數(shù)學(xué)家，對(duì)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)突破性的貢獻(xiàn)。他們從否定歐氏平行公設(shè)出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理。在研究薩凱里等腰雙直角四邊形中，分別做出直角假設(shè)、鈍角假設(shè)和銳角假設(shè)。經(jīng)過幾代人的努力，人們注意到實(shí)球面上的幾何具有鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)，而虛球面上的幾何則具有以銳角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)。這樣，與歐氏幾何不同的非歐幾何被發(fā)現(xiàn)了。2012年8月85非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭伯2012年8月86非歐幾何的誕生階段①第五公設(shè)是不能證明的；②歐氏幾何的基礎(chǔ)命題加上某條公理的否定公理以后，可以展開成另一種與歐幾里得幾何不同的、邏輯上完整且富有內(nèi)容的新的幾何學(xué)；③各種不同的幾何學(xué)從邏輯上推出的正確命題，在應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)空間時(shí)，其正確性應(yīng)該用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證，而不是由邏輯體系本身驗(yàn)證。邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。2012年8月86非歐幾何的誕生階段①第五公設(shè)是不能證明的；2012年8月87非歐幾何的確認(rèn)階段人們采用不同的方法展開討論，其中卓有成效的是意大利人貝爾特拉米、英國數(shù)學(xué)家凱萊、德國數(shù)學(xué)家F·克萊因、龐加萊等，他們采用構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的方法證明了非歐幾何與歐氏幾何的相對(duì)相容性，即在歐氏幾何內(nèi)建立非歐幾何的模型，使歐氏幾何要么同真，要么同假。這種證明方法，使古老的平行公設(shè)問題最終得以解決，即平行公設(shè)是獨(dú)立于歐氏幾何其余公設(shè)之外的假定，不同的平行公設(shè)可推出不同的幾何學(xué)，它們的相容性是相對(duì)的。2012年8月87非歐幾何的確認(rèn)階段人們采用不同的方法展開討2012年8月88非歐幾何模型

非歐幾何的誕生事實(shí)上，今天人們把以羅氏的銳角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的幾何稱為羅氏幾何，又稱為雙曲幾何學(xué)；繼而由德國數(shù)學(xué)家黎曼在鈍角假設(shè)下發(fā)現(xiàn)的非歐幾何稱為黎曼幾何，又稱橢圓幾何。2012年8月88非歐幾何模型

非歐幾何的誕生事實(shí)上，今天人2012年8月89非歐幾何模型

非歐幾何的球面模型我們知道球面上任何兩個(gè)大圓必然相交，換句話說，在這樣的平面上，不存在平行的直線，因而平行公設(shè)應(yīng)為：“給定一條直線和直線外一點(diǎn)，過該點(diǎn)不能作任何與已知直線平行的直線”，這與非歐幾何的鈍角假設(shè)完全吻合。2012年8月89非歐幾何模型

非歐幾何的球面模型2012年8月90非歐幾何模型

非歐幾何的球面模型命題1不存在面積任意大的非歐三角形。命題2

通過不在一條非歐直線上的三點(diǎn)，并不總能作出一個(gè)非歐圖。根據(jù)不同條件，它或者確定一個(gè)非歐圖，或者確定一個(gè)極限圓，或者是一條等距線命題3

若兩個(gè)非歐三角形的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相等。命題4兩個(gè)相似的非歐三角形必定全等。2012年8月90非歐幾何模型

非歐幾何的球面模型2012年8月91命題42012年8月91命題42012年8月922012年8月922012年8月932012年8月932012年8月94非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型在這種幾何中，平行公設(shè)是：給定一條直線和線外一點(diǎn)，過該點(diǎn)至少有兩條直線（從而有無數(shù)條直線）與已知直線平行。2012年8月94非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月95非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月95非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月96非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型定義1（相交直線）兩條非歐直線在圓內(nèi)（不包括圓周）有公共點(diǎn)則稱為兩直線相交。定義2（兩直線夾角）兩條非歐直線間的夾角定義為它們交點(diǎn)處切線的夾角。當(dāng)非歐直線本身是直線段時(shí)，切線就是直線段本身。定義3（三角形）三條非歐直線兩兩相交所圍成的三角形稱為非歐三角形。定義4（兩點(diǎn)間的距離）

2012年8月96非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型定義1（2012年8月97非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型單位圓周上的點(diǎn)是非歐平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這就使我們?cè)谟邢薜膯挝粓A內(nèi)構(gòu)造出一個(gè)無限的非歐空間。2012年8月97非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月98非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月98非歐幾何模型

非歐幾何的龐加萊模型2012年8月99歐氏幾何與非歐幾何歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何這三種幾何各自所有的真命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。2012年8月99歐氏幾何與非歐幾何歐氏幾何、羅氏幾何、黎2012年8月100歐氏幾何與非歐幾何2012年8月100歐氏幾何與非歐幾何2012年8月101歐氏幾何與非歐幾何在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐氏幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。2012年8月101歐氏幾何與非歐幾何2012年8月102推論2球面三角形ABC的面積為：2012年8月1022012年8月103球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定理2如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SAS）。推論如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等而且它們的夾邊也對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（ASA）。2012年8月103球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理球面上的幾何課件2012年8月1052012年8月1052012年8月106球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月106球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月107球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在半徑為R的球面上，兩點(diǎn)的球面距離為：2012年8月107球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在2012年8月108非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭伯特、勒讓德為代表的數(shù)學(xué)家，對(duì)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)突破性的貢獻(xiàn)。他們從否定歐氏平行公設(shè)出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理。在研究薩凱里等腰雙直角四邊形中，分別做出直角假設(shè)、鈍角假設(shè)和銳角假設(shè)。經(jīng)過幾代人的努力，人們注意到實(shí)球面上的幾何具有鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)，而虛球面上的幾何則具有以銳角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)。這樣，與歐氏幾何不同的非歐幾何被發(fā)現(xiàn)了。2012年8月108非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭2012年8月1092012年8月1092012年8月110《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》系列3-3球面上的幾何內(nèi)容與要求1.通過豐富的實(shí)際問題（如測(cè)量、航空、衛(wèi)星定位），體會(huì)引入球面幾何知識(shí)的必要性。2.通過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如，球面上的大圓相當(dāng)于平面上的直線，球面上兩點(diǎn)之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球冪定理。3.通過對(duì)實(shí)例的分析，體會(huì)球面具有類似平面的對(duì)稱性質(zhì)。2012年8月1《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》系列3-2012年8月111《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月2《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月1121.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月31.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月113《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》10.體會(huì)當(dāng)球面半徑無限增大時(shí)，球面接近于平面，球面的三角公式就變成相應(yīng)的平面三角公式。11.初步了解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。12.完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告。2012年8月4《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（實(shí)驗(yàn)）》2012年8月1142.球面幾何概述16世紀(jì)，麥哲倫不畏艱難的進(jìn)行了歷史上重大的探險(xiǎn)——繞地球航行了一圈，這個(gè)舉動(dòng)不僅將地理大發(fā)現(xiàn)帶上了最高點(diǎn)，同時(shí)也為地圓學(xué)說提出了一個(gè)客觀的實(shí)證，為建立新的天文學(xué)與地理學(xué)奠定了基礎(chǔ)，對(duì)近代科學(xué)的發(fā)展有非同一般的意義。2012年8月52.球面幾何概述16世紀(jì)，麥哲倫不畏艱難的進(jìn)2012年8月115球面幾何概述在17世紀(jì)，高斯曾經(jīng)利用測(cè)量面積的方法驗(yàn)證了地球是圓的，他在地表上取三點(diǎn)，并切割成許多小三角形，再量取每個(gè)小三角形的面積并加起來，這樣所得的結(jié)果并不近似于直接用平面上的三角形面積公式計(jì)算的結(jié)果，而是近似于用球面三角形的面積公式計(jì)算的結(jié)果。2012年8月6球面幾何概述在17世紀(jì)，高斯曾經(jīng)利用測(cè)量面積2012年8月116球面幾何概述我們生活在地球上，地球表面十分接近于一個(gè)球面。因此，在實(shí)際生活中，球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識(shí)有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。例如，大地（天體）測(cè)量、航空、衛(wèi)星定位等方面均需利用球面幾何的知識(shí)。在理論上，球面幾何是一個(gè)與歐氏平面幾何不同的幾何模型，是一個(gè)重要非歐幾何的數(shù)學(xué)模型，球面幾何在幾何學(xué)的理論研究方面，具有特殊的作用。2012年8月7球面幾何概述2012年8月117球面幾何概述

球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何：幾何學(xué)的一門分科，研究球面上圖形的幾何學(xué)，是古代從研究天體在天球上的“視運(yùn)動(dòng)”發(fā)展起來的，其中專門研究球面上三角形的性質(zhì)的稱為“球面三角”，它在天文學(xué)、測(cè)地法、航海術(shù)中被廣泛應(yīng)用。1595年，法國數(shù)學(xué)家波蒂斯楚克在《三角學(xué)：解三角形的簡明處理》一書中首先使用這一術(shù)語，三角學(xué)是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。2012年8月8球面幾何概述

球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何：2012年8月118球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科而是依附于天文學(xué)，是天文觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法。因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派卻已經(jīng)積累了許多球面大圓和球面三角形的知識(shí)。早在公元前3世紀(jì)成書的幾何《原本》第十一篇“立體幾何”中，已給出了球的定義；第十二篇關(guān)于面積和體積的命題中，用“窮竭法”證明了球（體積）之比等于其直徑的三次比。2012年8月9球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程早期三角學(xué)2012年8月119球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程直到亞歷山大里亞時(shí)期，希臘定量幾何中一門全新的學(xué)科——三角學(xué)才逐漸創(chuàng)立希臘三角在梅內(nèi)勞斯時(shí)達(dá)到頂點(diǎn)，他的主要著作是《球面學(xué)》而在公元499年印度數(shù)學(xué)家阿耶波多也表述出古代印度的三角學(xué)思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦概念，并給出最早的正弦表。2012年8月10球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月120球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程球面三角學(xué)的發(fā)展及其在天文上的應(yīng)用在埃及人托勒密的著作《數(shù)學(xué)匯編》中達(dá)到頂峰直到1450年以前，三角術(shù)仍是球面三角。直到納西爾丁的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支1464年，德國數(shù)學(xué)家里基奧蒙田納斯完成了他的名著《論一般三角形》，正式使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為獨(dú)立的科目。2012年8月11球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月121球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程現(xiàn)代球面三角的創(chuàng)始人是俄國科學(xué)院院士歐拉。他使研究三角形的三角學(xué)進(jìn)一步演變成研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的分析學(xué)的分支。至于球面三角的更為廣泛的研究，則是由德國數(shù)學(xué)家高斯、斯太納及俄國天才數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基繼續(xù)完成。2012年8月12球面幾何概述

球面幾何學(xué)的發(fā)展歷程2012年8月122球面幾何概述

球面上的一些基本圖形大圓與小圓：球面上的大圓是指一個(gè)過球心的平面在球面上的截線。球面上不是大圓的圓叫小圓。2012年8月13球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月123球面角球面上一點(diǎn)及過該點(diǎn)的任意兩個(gè)大圓弧構(gòu)成的圖形稱為球面角這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球面角的大小2012年8月14球面上的幾何課件2012年8月125球面多邊形球面上由大圓弧所構(gòu)成的封閉圖形稱為球面多邊形。球面多邊形的邊,必須是大圓的圓弧。任意兩個(gè)不同大圓的兩個(gè)交點(diǎn)是球面上的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，即球的同一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)。2012年8月162012年8月126球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面二角形把一個(gè)球面角的兩邊延伸,它們相交于角頂點(diǎn)的對(duì)徑點(diǎn),這樣得到的圖形稱為球面二角形或月形。2012年8月17球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面二角2012年8月127B`C`這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球面角的大小。月形球面上一點(diǎn)及過該點(diǎn)的任意兩個(gè)大圓弧構(gòu)成的圖形稱為球面角。2012年8月18B`C`這兩條大圓弧的切線間的夾角即為該球2012年8月128球面幾何概述

球面上的一些基本圖形球面三角形是球面上最常用的基本圖形，構(gòu)成球面三角形的大圓弧稱為三角形的邊，三條邊的交點(diǎn)稱為三角形的頂點(diǎn)，過球面三角形頂點(diǎn)分別作大圓弧的切線，兩條切線所成的角稱為球面三角形的角。2012年8月19球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月129球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月20球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月130球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理1：如果一球面三角形為另一球面三角形的極三角形，則另一球面三角形也為這一球面三角形的極三角形。2012年8月21球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理1：2012年8月131球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月22球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月132球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理2：球面三角形的角（或邊）與其極三角形的邊（或角）互補(bǔ)。2012年8月23球面幾何概述

球面上的一些基本圖形定理2：2012年8月133球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月24球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月1342012年8月252012年8月135球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月26球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月136球面幾何概述

球面上的一些基本圖形如果兩個(gè)大圓所在的平面互相垂直，就叫做大圓相互垂直。其中一個(gè)大圓通過另一個(gè)大圓的極。2012年8月27球面幾何概述

球面上的一些基本圖形2012年8月1373.球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月283.球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月1382012年8月29球面上的幾何課件2012年8月1402012年8月312012年8月1412012年8月322012年8月142球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月33球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的內(nèi)角和2012年8月143推論2球面三角形ABC的面積為：2012年8月342012年8月144球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的周長定理球面三角形的周長小于大圓周長2012年8月35球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的周長球面上的幾何課件2012年8月146球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定義兩個(gè)球面三角形，如果三對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，三對(duì)角也對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)球面三角形稱為相等的。如果方向也相同，則稱為是全等的，如果方向相反，則稱為是對(duì)稱的。2012年8月37球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定義2012年8月147球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定理1

如果兩個(gè)球面三角形的三對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SSS）。推論如果兩個(gè)球面三角形的三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（AAA）。2012年8月38球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月148球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理定理2如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SAS）。推論如果兩個(gè)球面三角形有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等而且它們的夾邊也對(duì)應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（ASA）。2012年8月39球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理球面上的幾何課件2012年8月150球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月41球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月151球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月42球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月152球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理例題如果一個(gè)球面三角形的三條邊相等，那么它的三個(gè)角也相等。2012年8月43球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月1532012年8月442012年8月154球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理例題如果一個(gè)球面三角形的三個(gè)角相等，則它的三條邊也相等。2012年8月45球面三角形的性質(zhì)

球面三角形的全等定理2012年8月1552012年8月462012年8月156球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月47球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月157球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月48球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理球面上的幾何課件2012年8月159球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月50球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月1602012年8月512012年8月161球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月52球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理球面上的幾何課件2012年8月1632012年8月542012年8月164證法二2012年8月55證法二2012年8月1652012年8月562012年8月1662012年8月572012年8月167球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月58球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月168球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月59球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月169球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月60球面三角形的邊角關(guān)系

球面三角形的正弦定理2012年8月170球面三角形的其它性質(zhì)定理球面三角形兩邊之和大于第三邊。2012年8月61球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月1712012年8月622012年8月1722012年8月632012年8月173球面三角形的其它性質(zhì)推論球面三角形兩邊之差小于第三邊。2012年8月64球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月174球面三角形的其它性質(zhì)定理在球面三角形ABC中，等邊所對(duì)的角相等，大邊所對(duì)的角較大，反之亦然。推論球面等腰三角形的兩底角相等。2012年8月65球面三角形的其它性質(zhì)2012年8月1754.球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式

2012年8月664.球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式2012年8月176球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式2012年8月67球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明球面上的幾何課件2012年8月178球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明歐拉公式2012年8月69球面幾何的應(yīng)用

利用球面多邊形面積公式證明2012年8月1792012年8月702012年8月1802012年8月712012年8月1812012年8月722012年8月182球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例1993年4月7日，東方航空公司班機(jī)自上海飛往洛杉磯，途遇強(qiáng)氣流，被迫在美國阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。經(jīng)過緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院之外，其余173名旅客于4月9日到達(dá)洛杉磯。上?？缣窖笾边_(dá)洛杉磯豈不近些？為什么要跑到北面的阿拉斯加？2012年8月73球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月183球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月74球面幾何的應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用舉例2012年8月184球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定在半徑為R的球面上，為了確定點(diǎn)的位置，任意選擇兩個(gè)互相垂直的大圓a和b，并把它們叫做基圓，叫做第一基圓，叫做第二基圓。

2012年8月75球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定在半徑為R的2012年8月185球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月76球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月186球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月77球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月187球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在半徑為R的球面上，兩點(diǎn)的球面距離為：2012年8月78球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定一般地，在半球面上的幾何課件2012年8月189球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月80球面幾何的應(yīng)用

球面上點(diǎn)的確定2012年8月1902012年8月812012年8月1915.非歐幾何模型

非歐幾何的誕生非歐幾何的誕生源于人們對(duì)歐幾里得平行公理的質(zhì)疑和探究，這是數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代意義的大事，它徹底改變了人們對(duì)空間乃至對(duì)數(shù)學(xué)真理性的認(rèn)識(shí)，從唯一的幾何空間和數(shù)學(xué)真理的絕對(duì)性逐漸轉(zhuǎn)向相對(duì)真理的觀點(diǎn)，也從一個(gè)側(cè)面促進(jìn)了數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變。第五公設(shè):同一平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于二直角，則這二直線經(jīng)過無限延長后在這一側(cè)相交2012年8月825.非歐幾何模型

非歐幾何的誕生非歐幾何的2012年8月192非歐幾何模型

非歐幾何的誕生對(duì)第五公設(shè)的研究直至非歐幾何的誕生和確認(rèn)，大體可以劃分為四個(gè)階段：1.對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段2.非歐幾何的孕育階段3.非歐幾何的誕生階段4.非歐幾何的確認(rèn)階段2012年8月83非歐幾何模型

非歐幾何的誕生2012年8月193對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段試圖由其它公設(shè)將其作為定理加以證明。從《原本》誕生到19世紀(jì)初，人們只找出了許許多多與平行公設(shè)等價(jià)的命題，而沒有找到令人信服的“證明”。2012年8月84對(duì)第五公設(shè)地位的質(zhì)疑和證明階段2012年8月194非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭伯特、勒讓德為代表的數(shù)學(xué)家，對(duì)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)突破性的貢獻(xiàn)。他們從否定歐氏平行公設(shè)出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理。在研究薩凱里等腰雙直角四邊形中，分別做出直角假設(shè)、鈍角假設(shè)和銳角假設(shè)。經(jīng)過幾代人的努力，人們注意到實(shí)球面上的幾何具有鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)，而虛球面上的幾何則具有以銳角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的性質(zhì)。這樣，與歐氏幾何不同的非歐幾何被發(fā)現(xiàn)了。2012年8月85非歐幾何的孕育階段18世紀(jì)，以薩凱里、蘭伯2012年8月195非歐幾何的誕生階段①第五公設(shè)是不能證明的；②歐氏幾何的基礎(chǔ)命題加上某條公理的否定公理以后，可以展開成另一種與歐幾里得幾何不同的、邏輯上完整且富有內(nèi)容的新的幾何學(xué)；③各種不同的幾何學(xué)從邏輯上推出的正確命題，在應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)空間時(shí)，其正確性應(yīng)該用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證，而不是由邏輯體系本身驗(yàn)證。邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。2012年8月86非歐幾何的誕生階段①第五公設(shè)是不能證明的；2012年8月196非歐幾何的確認(rèn)階段人們采用不同的方法展開討論，其中卓有成效的是意大利人貝爾特拉米、英國數(shù)學(xué)家凱萊、德國數(shù)學(xué)家F·克萊因、龐加萊等，他們采用構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的方法證明了非歐幾何與歐氏幾何的相對(duì)相容性，即在歐氏幾何內(nèi)建立非歐幾何的模型，使歐氏幾何要么同真，要么同假。這種證明方法，使古老的平行公設(shè)問題最終得以解決，即平行公設(shè)是獨(dú)立于歐氏幾何其余公設(shè)之外的假定，不同的平行公設(shè)可推出不同的幾何學(xué)，它們的相容性是相對(duì)的。2012年8月87非歐幾何的確認(rèn)階段人們采用不同的方法展開討2012年8月197非歐幾何模型

非歐幾何的誕生事實(shí)上，今天人們把以羅氏的銳角假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的幾何稱為羅氏幾何，又稱為雙曲幾何學(xué)；繼而由德國數(shù)學(xué)家黎曼在鈍角假設(shè)下發(fā)現(xiàn)的非歐幾何稱為黎曼幾何，又稱橢圓幾何。2012年8月88非歐幾何模型

非歐幾何的誕生事實(shí)上，今天人2012年8月198非歐幾何模型

非歐幾何的球面模型我們知