高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題《兩個(gè)計(jì)數(shù)原理》習(xí)題含答案解析

專(zhuān)題11.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）青銅神樹(shù)是四川省廣漢市三星堆遺址出土的文物，共有八棵，其中一號(hào)神樹(shù)有三層枝葉，每層有三根樹(shù)枝，樹(shù)枝上分別有兩條果枝，一條上翹、一條下垂，每層上翹的果枝上都站立著一只鳥(niǎo)，鳥(niǎo)共九只（即太陽(yáng)神鳥(niǎo)）.現(xiàn)從中任選三只神鳥(niǎo)，則三只神鳥(niǎo)來(lái)自不同層枝葉的選法種數(shù)為（）A．6 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理從每層枝葉各選一只神鳥(niǎo)即可得到答案.【詳解】每只神鳥(niǎo)有3種選法，三只神鳥(niǎo)來(lái)自不同層枝葉的選法種數(shù)有（種）.故選：C.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿(mǎn)意，那么不同的選法有（）A．360種 B．50種 C．60種 D．90種【答案】B【分析】首先根據(jù)題意分成第一類(lèi)甲同學(xué)選擇牛和第二類(lèi)甲同學(xué)選擇馬，分別計(jì)算各類(lèi)的選法，再相加即可.【詳解】第一類(lèi)：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，第二類(lèi)：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．故選：B.3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)【答案】750【分析】由分步計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．故答案為：7504．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).【答案】40【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】滿(mǎn)足條件的有兩類(lèi)：第一類(lèi)：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8個(gè)；第二類(lèi)：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32個(gè)，所以滿(mǎn)足條件的三角形共有8＋32＝40個(gè).故答案為：405．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）1.計(jì)算：（1）將2封信投入4個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱最多投一封，共有多少種不同的投法？（2）將2封信隨意投入4個(gè)郵箱，共有多少種不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【詳解】（1）將2封信投入4個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱最多投一封，第一封信有4種選擇，第二封有3種選擇，答案為（種）；（2）將2封信隨意投入4個(gè)郵箱，則每封信都有4種選擇，所以共有（種）.6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，把硬幣有幣值的一面稱(chēng)為正面，有花的一面稱(chēng)為反面．拋一次硬幣，得到正面記為1，得到反面記為0．現(xiàn)拋一枚硬幣5次，按照每次的結(jié)果，可得到由5個(gè)數(shù)組成的數(shù)組（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，則結(jié)果可記為，則可得不同的數(shù)組共有多少個(gè)？【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意可知不同的數(shù)組共有個(gè).7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有不同的紅球個(gè)，不同的白球個(gè).（1）從中取出一個(gè)球，共有多少種不同的取法？（2）從中取出兩個(gè)顏色不同的球，共有多少種不同的取法？【答案】（1）（2）【分析】（1）分別計(jì)算出取出一個(gè)紅球、取出一個(gè)白球的方法種數(shù)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；（2）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.（1）解：從中取出一個(gè)紅球，有種取法，從中取出一個(gè)白球，有種取法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，從中取出一個(gè)球，共有種不同的取法.（2）解：從中取出一個(gè)紅球，有種取法，從中取出一個(gè)白球，有種取法，由分布乘法計(jì)數(shù)原理可知，從中取出兩個(gè)顏色不同的球，共有種不同的取法.8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．（1）若只需1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？【答案】（1）16(種)；（2）120(種).【分析】（1）利用分類(lèi)加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【詳解】（1）選1人，可分三類(lèi)：第1類(lèi)，從教師中選1人，有3種不同的選法；第2類(lèi)，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類(lèi)，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法．共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法．（2）選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步進(jìn)行：第1步，選教師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法．共有3×8×5＝120(種)不同的選法．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線(xiàn)共有多少條？【答案】14條【分析】分類(lèi)討論A或B中有一個(gè)為0時(shí)和都不取0時(shí)的情況，根據(jù)計(jì)數(shù)原理即可求解．【詳解】分兩類(lèi)完成：第一類(lèi)：當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示直線(xiàn)為x＝0或y＝0，共有2條；第二類(lèi)：當(dāng)A，B都不取0時(shí)，直線(xiàn)Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：第一步，確定A的值，從1，2，3，5中選一個(gè)，共有4種不同的方法；第二步，確定B的值，共有3種不同的方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共確定4×3＝12(條)直線(xiàn)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線(xiàn)有2＋12＝14(條)．10.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．【答案】18種【分析】方法一：(直接法)分別考慮黃瓜種在第一塊、第二塊、第三塊土地上的不同的種植方法，再運(yùn)用加法原理可求得所有的不同種植方法．方法二：(間接法)先求得從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上的不同的種植方法，再減去不種黃瓜的不同的種植方法，由此可求得答案．【詳解】解：方法一：(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二：(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種)．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一月考）已知集合，若A，B是P的兩個(gè)非空子集，則所有滿(mǎn)足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為（）A．49 B．48 C．47 D．46【答案】A【解析】集合知：1、若A中的最大數(shù)為1時(shí)，B中只要不含1即可：的集合為，而有種集合，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為15；2、若A中的最大數(shù)為2時(shí)，B中只要不含1、2即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；3、若A中的最大數(shù)為3時(shí)，B中只要不含1、2、3即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；4、若A中的最大數(shù)為4時(shí)，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；∴一共有個(gè)，故選：A2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周?chē)膱A環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？（2）如圖②，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？【答案】（1）6種；（2）18種.【分析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.（2）首先根據(jù)題意分成兩類(lèi)：第一類(lèi)a1，a3不同色和第二類(lèi)a1，a3同色，分別計(jì)算各類(lèi)的得數(shù)再相加即可.【詳解】（1）先種植a1部分，有3種不同的種植方法，再種植a2，a3部分．因?yàn)閍2，a3與a1的顏色不同，a2，a3的顏色也不同，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的種植方法有3×2×1＝6(種)．（2）當(dāng)a1，a3不同色時(shí)，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時(shí)，有3×2×1×2＝12(種)種植方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共有6＋12＝18(種)種植方法．3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知集合，表示平面上的點(diǎn)，問(wèn)：（1）P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？（2）P可表示多少個(gè)不在直線(xiàn)上的點(diǎn)？【答案】（1）6（個(gè)）；（2）30（個(gè)）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，(2)依次確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的可能取法，由分步乘法原理求不在直線(xiàn)上的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)镻表示平面上第二象限的點(diǎn)，故可分兩步：第一步，確定a，a必須小于0，則有3種不同的情況；第二步，確定b，b必須大于0，則有2種不同的情況；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，第二象限的點(diǎn)共有（個(gè)）．（2）因?yàn)镻表示不在直線(xiàn)上的點(diǎn)，故可分兩步：第一步，確定a，有6種不同的情況；第二步，確定b，有5種不同的情況．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不在直線(xiàn)上的點(diǎn)共有（個(gè)）．4．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某同學(xué)計(jì)劃用不超過(guò)30元的現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)筆與筆記本．已知筆的單價(jià)為4元，筆記本的單價(jià)為5元，且筆至少要買(mǎi)2支，筆記本至少要買(mǎi)2本，問(wèn)不同的購(gòu)買(mǎi)方案有多少種？【答案】7【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)筆支，筆記本本，則，得，將y的取值分為三類(lèi)：①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x可取2，3，4，5，共4種方案．②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x可取2，3，共2種方案；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x只能取2，只有1種方案．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的購(gòu)買(mǎi)方案有（種）．5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有些共享單車(chē)的密碼鎖是由4個(gè)數(shù)字組成的，你認(rèn)為共享單車(chē)的密碼鎖能設(shè)置成由3個(gè)數(shù)字組成嗎？5個(gè)數(shù)字呢？為什么？【答案】3個(gè)數(shù)字的不合適，5個(gè)數(shù)字的合適；【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出所有的密碼組合數(shù)，再根據(jù)概率分析可行性；【詳解】解：如設(shè)成3個(gè)數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)不是很大，隨便嘗試一次開(kāi)鎖，打開(kāi)鎖的概率，打開(kāi)鎖的概率比較大，不合適；如設(shè)成5個(gè)數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)比較大，隨便嘗試一次開(kāi)鎖，打開(kāi)鎖的概率，打開(kāi)鎖的概率比較小，合適；6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)共15條，其中異面直線(xiàn)有多少對(duì)？【答案】36【分析】如圖，分四類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)目，加起來(lái)即可.【詳解】如圖，在三棱柱中，分四類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)：與上底面異面的直線(xiàn)有對(duì)；與下底面的異面的直線(xiàn)有9對(duì)(除去與上底面的)；與側(cè)棱異面的直線(xiàn)有6對(duì)(除去與下底面的)；側(cè)面對(duì)角線(xiàn)之間成異面直線(xiàn)的有6對(duì).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，知共有異面直線(xiàn)共有對(duì).7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？【答案】（1）（2）【分析】（1）用數(shù)字1，2，3，4，5，6可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，用兩步完成，第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字在剩下的5個(gè)數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（1）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字在剩下的5個(gè)數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)不重復(fù)的兩位數(shù)；（2）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字有6種選擇，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)可以重復(fù)的兩位數(shù)；8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知n是一個(gè)小于10的正整數(shù)，且由集合中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共25個(gè)，求n的值．【答案】5【分析】用列舉法表示集合，再按照分步乘法計(jì)數(shù)原理得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)閚是一個(gè)小于10的正整數(shù)，且，所以，所以從集合中的元素選出兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，則十位有種選法，個(gè)位有種選法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有個(gè)，所以，解得或（舍去）9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？【答案】（1）81(種)；（2）24(種)；（3）64(種).【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報(bào)名方法．（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此跑步項(xiàng)目有4種選法，跳高項(xiàng)目有3種選法，跳遠(yuǎn)項(xiàng)目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4×3×2＝24(種)．（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線(xiàn)索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，343，94249等．顯然，2位數(shù)的回文數(shù)有9個(gè)，即11，22，33，…，99；3位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)；（2）位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)．【答案】（1）90（2）【分析】（1）對(duì)于4位數(shù)的回文數(shù)，只需排好前2位即可確定回文數(shù)，首先列舉出第一項(xiàng)為1的四位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，即可知所有4位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)題設(shè)，對(duì)于奇數(shù)個(gè)數(shù)的回文數(shù)，先排好中間的數(shù)字，再在兩側(cè)對(duì)其中一側(cè)排數(shù)即可得所有回文數(shù)的個(gè)數(shù).（1）由題設(shè)，四位數(shù)回文：∴共有90個(gè).（2）位數(shù)，則中間的數(shù)字有10種選法，而兩側(cè)的數(shù)字只需排好一側(cè)，則另一側(cè)確定，不妨排前n位數(shù)字，顯然第一位數(shù)字有9種選法，其余都有10種選法，∴共有個(gè)回文數(shù).練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（山東省2018年普通高校招生（春季））景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒(méi)有其他道路，某游客計(jì)劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）A．6B．10C．12D．20【答案】C【解析】先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數(shù)是2×2×3因此選C.2.（2013·山東高考真題（理））用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900－648=252．3．（2012·北京高考真題（理））從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)