專(zhuān)題09 基本不等式的應(yīng)用(原卷版)

專(zhuān)題09基本不等式的應(yīng)用1、【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.2、【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.3、【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4、【2018年高考天津卷文數(shù)】（2018天津文科）已知，且，則的最小值為.5、【2018年高考江蘇卷】在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)__________．6、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是___________．一、三個(gè)不等式關(guān)系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者間的不等關(guān)系．其中，基本不等式及其變形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值．二、.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).三、.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)四、對(duì)于f(x)＝x＋eq\f(a,x)，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)為增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－∞，eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)為增函數(shù)；在(－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a))為減函數(shù)．注意在解答題中利用函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)的單調(diào)性時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．五、利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解．常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等．(2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值．在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.六、對(duì)于多元問(wèn)題的不等式的基本解題思路就是把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題。題型一運(yùn)用消參法解決基本不等式中的最值問(wèn)題消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例1、(2019常州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋eq\f(y,x)＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值為_(kāi)_______．例2、(2017蘇北四市期末）若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為_(kāi)_______．題型二、運(yùn)用1的代換解決基本不等式中的最值問(wèn)題1的代換就是指湊出1，使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形。例3、(2019揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)________．例4、（2019年蘇州學(xué)情調(diào)研）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為．題型三、運(yùn)用雙換元解決基本不等式中的最值問(wèn)題若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系。例6、(2017蘇州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為_(kāi)_______．例7、(2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且x＋y≤2，則eq\f(2,x＋3y)＋eq\f(1,x－y)的最小值為_(kāi)_______．題型四、基本不等式中多元問(wèn)題的處理多元最值問(wèn)題是最典型的代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)問(wèn)題要注重結(jié)構(gòu)的觀察和變形，變形恰當(dāng)后，直接可以構(gòu)造幾何意義也可以使問(wèn)題明朗化，具體歸納如下：(1)多元最值首選消元：三元問(wèn)題→二元問(wèn)題→一元問(wèn)題．(2)二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其變形式，線性規(guī)劃，三角換元．（3）多元問(wèn)題不好消元的時(shí)候可以減元，常見(jiàn)的減元策略：策略一：齊次式——同除減元．策略二：整體思想——代入消元或者減元．例8、(2019南京、鹽城一模）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，則c的最大值為_(kāi)_______．例9、(2018南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為_(kāi)_______．題型五基本不等式的綜合運(yùn)用多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應(yīng)用基本不等式，其中“減元策略”的常見(jiàn)方法有：①通過(guò)消元以達(dá)到減少變量的個(gè)數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來(lái)研究問(wèn)題；②通過(guò)“合并變?cè)币源鷵Q的方式來(lái)達(dá)到“減元”，一般地，關(guān)于多變?cè)摹褒R次式”多用此法．而應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要緊緊抓住“和”與“積”的關(guān)系來(lái)進(jìn)行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關(guān)系，可以通過(guò)換元的方法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的表現(xiàn)形式，從而達(dá)到更易處理的目的，例10、(2018揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，則12x2＋8xy－y2的最小值為_(kāi)_______．例11、(2018南京、鹽城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC對(duì)任意△ABC都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi)_______．1、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知a>0,b>0，且eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值是________．2、(2017蘇北四市一模）已知正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\r(ab)－5，則ab的最小值為_(kāi)_______．3、(2019鎮(zhèn)江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)，則x＋y的最小值為_(kāi)_______．4、(2019蘇北三市期末）已知a>0，b>0，且a＋3b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，則b的最大值為_(kāi)_______．5、(2018蘇州期末）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,c)＝1，則c的取值范圍是________．6、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集為{x|3<x<4}，則eq\f(c2＋5,a＋b)的最小值為_(kāi)_______．7、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二））已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為．8、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二））已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．9、(2017無(wú)錫期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，則eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值為_(kāi)_______．10、(2017蘇州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為_(kāi)_______．11、（2016蘇州期末）已知ab＝eq\f(1,4)，a，b∈(0,1)，則eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值為_(kāi)_______．12、(2016徐州、連云港、宿遷三檢）已知對(duì)滿足x＋y＋4＝2xy的任意正實(shí)數(shù)x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．13、（2016蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若實(shí)數(shù)x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，則當(dāng)x＋2y取得最大值時(shí)，eq\f(x,y)的值為_(kāi)_______．14、(2016泰州期末）若正實(shí)