2023學(xué)年江西省吉安市安福中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．3．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．4．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，6．關(guān)于函數(shù)，有下列三個結(jié)論:①是的一個周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域為.則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項8．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．110．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．11．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為______.14．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.15．高三（1）班共有56人，學(xué)號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學(xué)號為6，34，48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為．16．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計情況如下表：同意不同意合計男生a5女生40d合計100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學(xué)生進行長期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點，，且，若不等式恒成立.求正實數(shù)的取值范圍.19．（12分）橢圓：的離心率為，點為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)，直線的斜率之積為定值.20．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.22．（10分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號，然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【題目詳解】函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.時，，時，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故選：【答案點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點附近左側(cè)為正，右側(cè)為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.2、D【答案解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項.【題目詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為的遞增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【答案點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.3、A【答案解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！绢}目詳解】函數(shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【答案點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。4、D【答案解析】

，，得解．【題目詳解】，，，所以，故選D【答案點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．5、D【答案解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【答案點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出．【題目詳解】①因為，所以是的一個周期，①正確；②因為，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯誤；③因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域為，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．7、B【答案解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【題目詳解】，，當(dāng)，，，時，為有理項，共項.故選:B.【答案點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、C【答案解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【題目詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【答案點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．9、C【答案解析】

先將，化簡轉(zhuǎn)化為，再得到下結(jié)論.【題目詳解】已知復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為-1.故選：C【答案點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【答案解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【答案點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、A【答案解析】

計算，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.12、A【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運算法則，即可求解.【題目詳解】.故選：A.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

把平方利用數(shù)量積的運算化簡即得解.【題目詳解】因為，，，所以，∴，∴，因為所以.故答案為：【答案點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，考查向量的夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、【答案解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標代入，即可求解.【題目詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【答案點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、20【答案解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42號為第三組，43號至56號為第四組.而學(xué)號6,34,48分別是第一、三、四組的學(xué)號，所以還有一個同學(xué)應(yīng)該是15+6-1=20號,故答案為20.16、①②③【答案解析】

對①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；對③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯誤；【題目詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設(shè)內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.【答案點睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【答案解析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項分布，利用公式計算概率及期望即可.【題目詳解】（1）因為100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為，即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【答案點睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗、二項分布，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【答案解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個不相等實根，令，計算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計算最值得到答案.【題目詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實根，即：有兩個不相等實根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因為在單減，∴，又，∴即，兩邊取對數(shù)，并整理得：對恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【答案點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）；（2）證明見解析【答案解析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值．【題目詳解】（1）因為，所以，①又橢圓過點，所以②由①②，解得所以橢圓的標準方程為.（2）證明設(shè)直線：，聯(lián)立得，設(shè)，則易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【答案點睛】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．20、（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【答案解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天