點(diǎn)集拓?fù)渥鳂I(yè)

點(diǎn)集拓?fù)渥鳂I(yè)點(diǎn)集拓?fù)渥鳂I(yè)點(diǎn)集拓?fù)渥鳂I(yè)資料僅供參考文件編號：2022年4月點(diǎn)集拓?fù)渥鳂I(yè)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：第1章樸素集合論1.設(shè)f:X→Y,A,B?Y,則下面不正確的命題是().A.A=f(f?1(A))B.f?1(A∩B)=f?1(A)∩f?1(B)C.f?1(A\B)=f?1(A)\f?1(B)D.f?1(A∪B)=f?1(A)∪f?1(B)2.對任意集合X,Y,Z,下面命題正確是().A.cardX≤cardY?X?YB.X?Y?cardX≤cardYC.X≠Y?cardX≠cardYD.XY?cardX<cardY3.設(shè)R是從X到Y(jié)的一個關(guān)系,則R(A∩B)=R(A)∩R(B).()給定函數(shù)f:X→Y,則關(guān)系f?1:Y→X.()5.給定X={1,2,3},則X上的關(guān)系R={(1,2),(2,3),(3,1),(2,1)}是從X到X的一個函數(shù).()考慮整數(shù)集Z上的模5等價關(guān)系,則商集[9]=[134].()7.有理數(shù)集是可數(shù)集,無理數(shù)集的基數(shù)為?.()設(shè)R?X×Y,則稱R是從X到Y(jié)的一個____________.設(shè)X上的一個關(guān)系R.若△(X)?R,其涵義為____________,則稱關(guān)系R是________________的;若R=R?1,其涵義為_______________,則稱關(guān)系R是_____________的;若R?R?R,其涵義為,則稱關(guān)系R是_______________的.滿足以上三個條件的關(guān)系稱為______________.關(guān)系.等價關(guān)系,商集,自然映射.可數(shù)集,?0.設(shè)X上關(guān)系R是自反的.試證:R是等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)∈R,(a,c)∈R?(b,c)∈R.設(shè)X,Y是集合,f:X→Y.試證:R={(x1,x2)∈X×X;f(x1)=f(x2)}是X上的等價關(guān)系,而且f?:X/R→Y[x]→f(x)是良定義的(well-defined),且是單射.設(shè)A?B?C,且cardA=cardC.試證:cardA=cardB=cardC.(提示:利用Cantor-Bernstein定理.)4.設(shè)f:X→Y,A,B?Y.試證:f?1(A∪B)=f?1(A)∪f?1(B).5.設(shè)f:X→Y,A?X,B?Y,試證:B∩f(A)=f(f?1(B)∩A).設(shè)f:X→Y,試證:f?1(f(A))?A;f?1(f(A))=A?f(A)∩f(X\A)=?.第2章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射1.設(shè)X={0,1,2},下面不是X上的拓?fù)涞募迨?).A.{?,{1},{1,2},X}B.{?,{0},X}C.{?,{0,1},{0,2},{2},X}D.{?,{0},{1,2},X}2.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A?B?X,下面不正確的命題是()A.d(A)?d(B)B.Ao?BoC.Ac?BcD.A??B?3.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,下面不正確的命題是()A.??=?B.X?=XC.(A∩B)?=A?∩B?D.(A∪B)?=A?∪B?設(shè)X={a,b},T={?,{a},X},則d({a})=(),{a}?=(),{a}o=().A.?B.XC.{a}D.5.設(shè)X={a,b,c,d},T={?,{a},{b,c,d},X},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為().A.1B.2C.3D.4設(shè)X={a,b,c,d},T={?,{a},{b,c,d},X},點(diǎn)b的開鄰域個數(shù)為().A.1B.2C.3D.47.設(shè)(X,T)是拓?fù)淇臻g,A?X,則Ao是包含于A的()開集.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不對8.設(shè)(X,T)是拓?fù)淇臻g,A?X,則A?是包含A的()閉集.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不對9.設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,B?X,則下列關(guān)系中錯誤的是()A.d(A∪B)=d(A)∪d(B)B.C.d(A∩B)=d(A)∩d(B)D.10.離散空間的任一子集是()A.開集B.閉集C.既開又閉D.非開非閉11.在實(shí)數(shù)空間R中,下列集合是開集的是()A.整數(shù)集ZB.有理數(shù)集QC.無理數(shù)集D.整數(shù)集的補(bǔ)集Zc設(shè)(X,ρ)是拓?fù)淇臻g,x∈X,A?X,則ρ(x,A)=0?x∈(),ρ(x,Ac)=0?x∈(),ρ(x,A)=ρ(x,Ac)=0?x∈(),ρ(x,Ac)>0?x∈().A.AoB.A?C.?AD.Aoc13.拓?fù)淇臻g中的開集一定不是閉集.()14.設(shè)T1,T2都是X上的拓?fù)?則T1∪T2也是X上的拓?fù)?()（花寫T）15.在拓?fù)淇臻g(X,T)中,若A?X,則d(A)是閉集.()16.在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gRl中,[0,∞)是開集.()17.設(shè)B是拓?fù)淇臻g(X,T)的一個基,B?B??T,則B?也是該拓?fù)淇臻g的一個基.()18.設(shè)S是拓?fù)淇臻g(X,T)的一個子基,S?S??T,則S?也是該拓?fù)淇臻g的一個子基.()在拓?fù)淇臻g(X,T)中,設(shè)x∈X,A?X,則x0∈d(A)蘊(yùn)含存在A\{x0}中的序列{xn}收斂于x0.()在度量空間(X,T)中,設(shè)x0∈X,A?X,則x0∈d(A)等價于存在A\{x0}中的序列{xn}收斂于x0.()21.設(shè)A是離散空間X的子集,則Ao=______________,A?=_______________.22.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A?X,x∈X,如果_____________,則稱x是A的凝聚點(diǎn).23.在實(shí)數(shù)空間R中,區(qū)間[0,1)的內(nèi)部是______,Q的內(nèi)部是_________,Q的導(dǎo)集是______,Q的閉包是______,Q的邊界是_____________.24點(diǎn)集拓?fù)涞闹行娜蝿?wù)是研究______________.25.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,如果_____________________,則稱U?X是點(diǎn)x∈X的一個鄰域.度量空間拓?fù)淇臻g鄰域凝聚點(diǎn),導(dǎo)集內(nèi)點(diǎn),內(nèi)部邊界點(diǎn),邊界基,子基同胚映射1.設(shè)(X,ρ)是度量空間,試證:|ρ(x,y)?ρ(x,z)|≤ρ(y,z),?x,y,z∈X.2.設(shè)(X,ρ)是度量空間,,,試證:(X,ρ1),(X,ρ2)均是度量空間.設(shè)是X上的一列度量,試證:,也是X上的度量.4.設(shè)X={a,b,c},T1={?,{a},{a,b},{a,c},X},T2={?,,{a,b},{b,c},X}.試證:T1,T2都是X上的拓?fù)?但T1∪T2卻不是X上的拓?fù)?5.設(shè)X={a,b,c},T={?,{a},{b,c},X}.試證:(X,T)是一個拓?fù)淇臻g;再設(shè)A=,試求d(A),并判斷它是否為閉集.6.設(shè)X是度量空間,A?X,試證:d(A)是閉集7.設(shè)X是有限補(bǔ)拓?fù)淇臻g,A?X,試證:8.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A?X,試證:Ao?o?=Ao?.證明:Ao??Ao?o?Ao??Ao?o?,Ao?Ao??Ao=Aoo?Ao?o?Ao??Ao?o?9.設(shè)(X,TX),(Y,TY)是兩個拓?fù)淇臻g,f:X→Y.試證以下條件等價:1.f連續(xù);2.?Y的基BY,B∈BY?f?1(B)∈TX;3.?Y的子基SY,S∈SY?f?1(S)∈TX;4.?x∈X,U∈Uf(x)?f?1(U)∈Ux;5.?x∈X,?f(x)的鄰域基Vf(x),V∈Vf(x)?f?1(V)∈Ux;6.?x∈X,?f(x)的鄰域子基Wf(x),?W∈Wf(x)?f?1(W)∈Ux.第3章子空間,積空間,商空間1.設(shè)X={1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}},A={2,3},則X的子空間A的拓?fù)涫莀________________.2.相對拓?fù)涫鞘沟脙?nèi)射連續(xù)的()的拓?fù)?A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不對3.積拓?fù)涫鞘狗e空間到每個坐標(biāo)空間的自然投射都連續(xù)的()的拓?fù)?A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不對4.設(shè)X=X1×···×Xn是拓?fù)淇臻gX1,···,Xn的拓?fù)浞e空間,則下列哪個性質(zhì)不是投射pi:X→Xi的性質(zhì)()A.pi是滿射B.pi是連續(xù)映射C.pi是閉映射D.pi是開映射5.設(shè)X1,X2是兩個拓?fù)淇臻g,X1×X2是它們的積空間,A?X,B?Y.則下列命題錯誤的是()A.B.?(A×B)=(?A×Bˉ)∪(Aˉ×?B)C.?(A×B)=?A×?BD.(A×B)o=Ao×Bo6.設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g,f:X→Y,則Y上的商拓?fù)涫鞘沟胒連續(xù)的()的拓?fù)?A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不對7.離散空間的商空間一定是(),平庸空間的商空間一定是().A.離散空間B.平庸空間C.既不是離散空間,也不是平庸空間D.以上都不對8.設(shè)[0,1]是實(shí)數(shù)空間R的子空間,則(0,1/2]是[0,1]中的開集.()9.設(shè)[0,1)是實(shí)數(shù)空間R的子空間,則[0,1/2)是[0,1)中的開集.()10.設(shè)[0,1)是實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gRl的子空間,則[1/2,1)是[0,1)中的開集.()11.開映射的復(fù)合還是開映射.()12.閉映射的復(fù)合還是開映射.()13.商映射的復(fù)合還是商映射.()14.設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X→Y是商映射,則f是滿射.()設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X→Y是單射,且是商映射則f是同胚.()16.設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個開(閉)子集,則Y作為X的子空間時稱為X的開(閉)子空間.試證:1.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個開子空間,則A?Y是Y中的開集?A是X中的開集.2.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個閉子空間,則A?Y是Y中的閉集?A是X中的閉集.第4章連通性1.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,則X中的單點(diǎn)子集是X的通連子集.()2.設(shè)X是連通空間,Y?X,則Y是X的連通子集.()3，設(shè)X是不連通空間,Y?X,則Y是X的,不連通子集.()4.設(shè)Y是R的連通子集,則Y是區(qū)間.()5.設(shè)I是R的區(qū)間,則Y是R的連通子集.()7.設(shè)X,Y是拓?fù)淇臻g,X是局部連通空間,f:X→Y連續(xù),則f(X)也是局部連通空間.()8.設(shè)X是一拓?fù)淇臻g,C為其一連通分支,若X的連通子集Y適合Yˉ∩C≠?,則Y?C.()注記：書上的定理是這么說的:設(shè)X是一拓?fù)淇臻g,C為其一連通分支,若X的連通子集Y適合Y∩C≠?,則Y?C.(狗的嘴里叼著肉就能全部吃掉它)現(xiàn)在的情形是:如果把肉放到狗嘴邊,那么狗能否吃到肉呢?注記：這是連通分支的“吸星大法”的增強(qiáng)形式.9.設(shè)X是一拓?fù)淇臻g,C為其一道路連通分支,若X的道路連通子集Y適合Y∩C≠?,則Y?C.()注記.這是道路連通分支的“吸星大法”.10.設(shè)O是Rn的開集,則O是連通的?O是道路連通的.()11.設(shè)A?R,則A是連通的?A是道路連通的.()12.設(shè)O是Rn的開集,則O的道路連通分支是它的一個連通分支.()13.拓?fù)淇臻g的連通分支可以是閉集,也可以是開集.()提示：考慮有理數(shù)集Q的連通分支.14.拓?fù)淇臻g的道路連通分支是閉集.()提示：考慮拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線.15.拓?fù)淇臻g的連通分支的閉包是連通的.()16.拓?fù)淇臻g的道路連通分支的閉包也是道路連通的.()提示：考慮拓?fù)鋵W(xué)家的曲線.1.多于一個點(diǎn)的離散空間是___________的.2.平庸空間是____________的.3.設(shè)X={a,b,c},T1={?,{a},{b,c},X},T2={?,{a},X},則拓?fù)淇臻g(X,T1)是______________的,拓?fù)淇臻g(X,T2)是_________________的.(選填:連通,不連通).是______的;Q作為R的子空間是______的;R\Q作為R的子空間是_______________的;{代數(shù)數(shù)}作為R的子空間是_____________的;{超越數(shù)}作為R的子空間是______________的;Z作為R的子空間是___________的.(選填:連通,不連通).\{0}是________空間,R2\{0}是________空間.(選填:連通,不連通).6.考慮拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線(thetopologist’ssinecurve)S={(x,sinx/1);0<x≤1}則對?A?{0}×[?1,1],S∪A是______________的.(選填:連通,不連通).證明:這是連通的.由sin1/x=y∈[?1,1]?1/x=arcsiny+2kπ?x=1/(arcsiny+2kπ)知S?(1/(arcsiny+2kπ),y)→(0,y)(k→∞).于是Sˉ=S∪{0}×[?1,1].按照如下結(jié)論:X為拓?fù)淇臻g,Y為X的連通子集,Y?Z?Y,ˉ則Z連通即知結(jié)論成立.連通性,局部連通性和道路連通性的區(qū)別和聯(lián)系:1.連通未必局部連通,比如拓?fù)鋵W(xué)家的曲線.2.連通未必道路連通空間,比如拓?fù)鋵W(xué)家的曲線.3.局部連通未必連通,比如R的子空間(0,1)∪(1,2);多于一個點(diǎn)的離散空間.4.局部連通未必道路連通,比如多于一個點(diǎn)的離散空間.5.道路連通一定連通.6.道路連通未必局部連通,比如X={(x,y)∈R2;0≤x≤1,y=,n=1,2,···或y=0}.連通性,局部連通性和道路連通性是否為可遺傳的性質(zhì)(拓?fù)淇臻gX具有,則X的子空間也具有),是否為對閉子空間可遺傳的性質(zhì)(拓?fù)淇臻gX具有,則X的閉子空間也具有),是否為對開子空間可遺傳的性質(zhì)(拓?fù)淇臻gX具有,則X的開子空間也具有):1.連通性不是可遺傳的性質(zhì).比如R連通,但R的開子空間(0,1)∪(1,2)不連通;R的閉子空間Q不連通.2.局部連通是是對開子空間可遺傳的性質(zhì),即若X為局部連通空間,Y是X的開子空間,則Y也是局部連通空間.3.道路連通空間不是可遺傳的性質(zhì).比如R連通,但R的開子空間(0,1)∪(1,2)不連通;R的閉子空間Q不連通.1.設(shè)X是一拓?fù)淇臻g,A,B在X中隔離,A1?A,B1?B,試證:A1,B1在X中隔離.2.設(shè)X是一拓?fù)淇臻g,x,y∈X是連通的,E是X的一個既開又閉的子集,試證:x,y∈E或者x,yE.3.設(shè)X,Y是拓?fù)淇臻g,f:X→Y連續(xù),f(X)?Z?Y,試證:f?:X→Zx→f(x)也連續(xù).注記.本題在書上第140頁證明定理時引用過.4.考慮實(shí)數(shù)空間R的兩個子空間X={0,1,2,3,···},Y={0,1,1/2,1/3,···}及f:X→Y定義為f(0)=0,f(n)=1/n(n=1,2,3,···).試證:1.X是離散空間;2.X是局部連通空間;3.f是連續(xù)的一一映射;4.Y不是局部連通空間.本題說明局部連通性不是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).5.(書Page147第5題).設(shè)X是拓?fù)淇臻g,若?x∈X,?U∈Ux,?道路連通V∈Ux,.x∈V?U,則稱X是一局部道路連通空間.再設(shè)Y?X,若Y在相對拓?fù)湎率蔷植康缆愤B通的,則稱Y是X的局部道路連通子集.1.局部道路連通空間是局部連通空間.2.局部道路連通性是在開的連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).3.局部道路連通性是有限可積性質(zhì).4.設(shè)O是局部道路連通空間X的開集,則O是X的連通子集?O是X的道路連通子集.第5章有關(guān)可數(shù)性的公理1.設(shè)(X,ρ)是度量空間,D是X的一個可數(shù)稠密子集,則{B(d,r);d∈D,0<r∈Q}是X的一個可數(shù)基.()2.設(shè)X是Lindel?ff空間,Y是X的閉子空間,則Y也是Lindel?ff的.()3.設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A是X不可數(shù)的Lindel?ff子空間,則A∩d(A)≠?.()1.Rn的子空間