微積分期末復習總結資料

微積分期末復習總結資料（精品）

首先，就是要有正確的復習方法。在這里，我們也給大家提供幾種有效的方法以供參考：

第一、大家首先要克服浮躁的毛病，養(yǎng)成看課本的習慣。其實，所有的考試都是從課本知識中發(fā)散來的，所以在復習時就必須看課本，反復的看，細節(jié)很重要，特別是基本概念和定理。詳細瀏覽完課本之后，認真復習課本上的課后習題和學習指導上每章的復習小結，力爭復習參考題每題都過關。復習小結了然于心，然后再復習。

第二、制定復習計劃，把時間合理分配到四個章節(jié)，尤其是第二章極限尤為重點，是整個上學期微積分理論的基礎。學好極限，對于理解連續(xù)還有導數(shù)有著重要意義，很多同學覺得越學越吃力的原因還是在于學期初沒有扎實的打好知識基礎。

第三、理清知識結構網絡圖（極限、連續(xù)、導數(shù)、不定積分），然后根據知識結構網絡圖去發(fā)散、聯(lián)想基礎概念和基本定理和每個知識點的應用計算題， 對本章節(jié)的內容有個清晰的思路，這樣就可以在

整體上把握書本知識。從整體上把握書本知識有利于我們對于試卷中的一些基本的題目有一個宏觀的把握，對于試卷中的問答題，可以從多角度去理解和把握，這樣就能夠做到回答問題的嚴密性。

第四、將課上老師所講授的典型例題及做習題過程遇到的難題還有易錯的題歸納整理，分析。數(shù)學當中很容易出現(xiàn)同一個問題有幾種不同的解決方法的情況， 但是經過總結歸納之后在應試時可以選取一

個最簡單而且效率最高的解法。比如，求極限的 13種方法要分別練習，還有求導、求微分及求不定積

分公式表要經常回顧。

第五、有條件的話可以看看往年的考試真題，針對出現(xiàn)較頻率較高的題型，適當?shù)淖鲂┯嗅槍π缘哪M試題。另外，應該多做那些自己認為知識點理解、應用薄弱的題，對一些難題可在自己思考的基礎上加強與同學、老師的交流，對于那些偏題、怪題笑而棄之。

其次，有了好的復習方法，還要注意復習內容，也就是復習要點。微積分上學期的主要內容及基本要求經過詳細整理分類主要包括以下三個部分，希望能夠對大家的復習起到事半功倍的效果：

函數(shù)、極限與連續(xù)

（一）基本概念

.函數(shù)：常量與變量，函數(shù)的定義

.函數(shù)的表示方法：解析法，圖示法、表格法

.函數(shù)的性質：函數(shù)的單調性、奇偶性、有界性和周期性

.初等函數(shù)：基本初等函數(shù)，復合函數(shù)，初等函數(shù)，分段表示的函數(shù)，建立函數(shù)關系

.極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限、極限四則運算，無窮小量與無窮大量，無窮小量的性質，無窮小量的比較，兩個重要極限

.連續(xù)：函數(shù)在一點連續(xù)，左右連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的敘述

重點：函數(shù)概念，基本初等函數(shù)，極限的計算

難點：建立函數(shù)關系，極限概念

（二）基本要求

.理解函數(shù)的概念，了解分段函數(shù)。能熟練地求函數(shù)的定義域和函數(shù)值。

.了解函數(shù)的主要性質（單調性、奇偶性、周期性和有界性 ）。

.熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質和圖形。

.了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。

.會列簡單應用問題的函數(shù)關系式。

.了解極限的概念，知道數(shù)極限的描述性定義，會求函數(shù)的左、右極限。

.了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運算性質及其與無窮大量的關系，以及無窮小量的比較等關系。

.掌握極限的四則運算法則.

.掌握用兩個重要極限求一些極限的方法。

.了解函數(shù)連續(xù)性的定義，會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。

.了解函數(shù)間斷點的概念，會判別函數(shù)間斷點的類型。

.記住初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內連續(xù)的性質，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質。

一元函數(shù)微分學

（一）基本概念

.導數(shù)：導數(shù)的定義及幾何意義，函數(shù)連續(xù)與可導的關系，基本初等函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導法則，隱函數(shù)求導法則，對數(shù)求導法舉例，用參數(shù)表示的函數(shù)的求導法則，高階導數(shù)

.微分：微分的概念與運算，微分基本公式表，微分法則，一階微分形式的不變性

.中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的敘述

.導數(shù)應用：用洛比達法則去求七種未定式極限問題，函數(shù)的單調性判別法，函數(shù)的極值

及其求法，函數(shù)圖形的凹凸性及其判別法，拐點及其求法，水平與垂直漸近線，最大值、最小值問題，

導數(shù)在經濟問題的應用

重點：導數(shù)概念和導數(shù)的計算，極值，最大利潤問題

難點：導數(shù)的應用

（二）基本要求

.理解導數(shù)與微分概念，了解導數(shù)的幾何意義。會求曲線的切線和法線方程。知道可導與連續(xù)的關系。

.熟記導數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導數(shù)與微分的四則運算法則。

.熟練掌握復合函數(shù)的求導法則。

.掌握隱函數(shù)的微分法，取對數(shù)求導數(shù)的方法，以及用參數(shù)表示的函數(shù)求一階導數(shù)的方法。

.知道一階微分形式的不變性。

.了解高階導數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導數(shù)的方法。

.了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結論；知道柯西定理的條件和結論。會用拉格朗日定理證明簡單的不等式

.掌握洛比達法則求極限問題

.了解駐點、極值點、極值、凹凸、拐點等概念

.掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間、極值與極值點（包括判別）的方法，了解可導函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系

.掌握用二階導數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會求曲線的拐點

.會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線

.掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法

不定積分

（一）基本概念

.不定積分：原函數(shù)、不定積分概念，不定積分的性質，基本積分公式表

.積分法：第一換元積分法，第二換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分舉例，三角有理式積分舉例，積分表的使用

重點：積分概念與計算，在幾何上的應用

難點：積分的計算及其應用

（二）基本要求

.理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質以及積分與導數(shù) （微分）的關系

.熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法

.了解不定積分概念（定義、幾何意義、物理意義）和不定積分的性質

.熟練掌握求解不定積分的方法

最后一點，還要提醒大家的就是復習時的注意事項。在復習的過程中，應該注意調整我們的狀態(tài)和注意休息，一般地說，我們的大腦集中于某一學科的時間不是很長的，時間一長，我們的思維就可能處

于停滯的狀態(tài)，所以我們應該合理地安排時間，爭取在復習時將所學的幾門學科都能夠交叉安排，這樣

保證大腦的高效率。同時，還應該注意休息?？荚嚻陂g的復習效率很低，那時看看書適當放松，把習題

簡單回顧一下足矣。考前注意保持充足的睡眠，現(xiàn)在很多同學在期末考試前點燈熬夜， 晚上不注意休息，

考試沒有精神，甚至睡著了，導致很容易的題目也沒有時間做了； 還有不容忽視的一點就是，在考試的

過程中，要注意卷面干凈、書寫整潔，還要有清晰的解題思路和完整的答題步驟，對于沒有思路的題可

以先放放以免耽誤答題時間， 否則會影響自己的卷面得分。最后，希望大家 保持一個健康的身體和良好

的心態(tài)，做好期末復習，祝大家取得好成績！提前祝大家元旦快樂！

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)

數(shù)內容網絡圖

區(qū)間

1定義域4不等式

定義Jk合

I對應法則

r表格法

表達方法<圖象法

產等函數(shù)

I解析法/

［非初等函數(shù)

「單調性

I函數(shù)的特性奇偶性

函數(shù)/ J周期性

\ ［有界性

「定義

r反函數(shù)?

重要的函數(shù)I 5在性定理

X::0,

X=0,

X0.

I復合函數(shù)

一1,

「符號函數(shù)：sgnX=彳0,

h

幾個具體重要的函數(shù)

取整函數(shù)：f（X）=［X］,其中［x］表示不超過x的最大整數(shù).

\狄里克雷函數(shù)：D（X）=J

1,

X為有理數(shù),

X為無理數(shù).

容提要與釋疑解難

一、函數(shù)的概念

定義:設A、B是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應法則 f,使彳#對A中任何一個實數(shù)x,在B中

都有唯一確定的實數(shù)y與x對應，則稱又?應法則f是A上的函數(shù)，記為

f:X-y或f:AtB.

y稱為x對應的函數(shù)值，記為

其中x叫做自變量，y又叫因變量，A稱為函數(shù)f的定義域，記為D(f), f(A)&f(x)xwA},

稱為函數(shù)的值域，記為R(f),在平面坐標系Oxy下，集合{(x,y)y=f(x),xWD}稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個概念，因為微積分是以函數(shù)為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數(shù)學學科。

1、由確定函數(shù)的因素是定義域、對應法則及值域，而值域被定義域和對應法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對應法則。 從而在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時， 只要看這兩個函數(shù)的定義

域和對應法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號都是無關緊要的。

2、函數(shù)與函數(shù)表達式的區(qū)別：函數(shù)表達式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除了用表達式來表示，還可以用表格法、圖象法等形式來表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達式等同起來。

二、反函數(shù)

定義設y=f(x),xWD,若對R(f)中每一個y,都有唯一確定且滿足y=f(x)的xwD與之對應，則按此對應法則就能得到一個定義在 R(f)上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為 f的反函數(shù)，記作

f」：R(f”Dm￡x=f」(y)ywR(f)

由于習慣上用x表示自變量，y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成 y=f,(x)xwRf)

1、由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，值域是原來函數(shù)的定義域。

2、函數(shù)丫=￡兇與x=f-1(y)的圖象相同，這因為滿足y=f(x)點(x,y)的集合與滿足x=f-1(y)點(x,y)的集合完全相同，而函數(shù)丫=耳*)與y=f-1(x)圖象關于直線y=x對稱。

3、若y=f(x)的反函數(shù)是x=f-1(y),則y=f[f,(y)[x=f」[f(x

4、定理1(反函數(shù)存在定理)嚴格增(減)的函數(shù)必有嚴格增(減)的反函數(shù)。

三、復合函數(shù)

定義設y=f(u)uWE,u=9(x)xwD,若D(f)cR(中/戶,則y通過u構成x的函數(shù)，

稱為由y=f(u)與u=叭x)復合而成的函數(shù)，簡稱為復合函數(shù)，記作 y=f(邛(x))。

復合函數(shù)的定義域為〈xxWD且中(x)wE)，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，

平(x)稱為內函數(shù)，f(u)稱為外函數(shù)。

1、在實際判斷兩個函數(shù)y=f(u),u=^(x成否構成復合函數(shù)，只要看y=f(中(x)的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構成復合函數(shù)，否則不能復合函數(shù)。

2、在求復合函數(shù)時，只要指出誰是內函數(shù)，誰是外函數(shù)，例如y=f(x),y=g(x)，若y=f(x)作為外函數(shù)，y=g(x)作為內函數(shù)。則復合函數(shù)y=f(g(x),若y=g(x肝為外函數(shù)，y=f(xX乍為內函數(shù)，則復合函數(shù)為y=g(f(x))。

3、我們要學會分析復合函數(shù)的復合結構，既要會把幾個函數(shù)復合成一個復合函數(shù)，又要會把一個復合函數(shù)分拆成幾個函數(shù)的復合。

四初等函數(shù)

常值函數(shù)、哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經過原點？與坐標軸的交點是什么？以后我們常常要用到。

由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算或有限次復合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。

不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。

一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如

ffx}=J—x，xw0=|x*G2,是由y=JU,u=x2復合而成。

*Jx,x>01

五具有某些特性的函數(shù)

.奇(偶)函數(shù)

定義設D是關于原點對稱的數(shù)集，y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對每一個xwD(這時也有—xwD),都有f(―x)=—f(x)(f(—x)=f(x)),則稱y=f(x)為D上的奇(偶)函數(shù)。

(1)定義域關于原點對稱是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件。

(2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0,事實上，由定義知f(-0)=-f(0),有f(0)=-f(0),得f(0)=0.

.周期函數(shù)

定義設y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個非零常數(shù) T,使得對一切xwD,都有

f(x+T)=f(x),則稱y=f(x)為周期函數(shù)，T稱為y=f(x)的一個周期。

顯然，若T是f(x)的周期，則kT(kwZ地是f(x)的周期，若周期函數(shù) f(x)的所有正周期中存在

最小正周期，則稱這個最小正周期為 f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。

必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如 f(x)=c(c為常數(shù))，因為對任意的實常數(shù)

T,者B有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實數(shù)里沒有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒有最小正周期。

如果f(x)為周期函數(shù)，且周期為T,任給xwD,有f(x)=f(x+kT),知x+kTwD(kwZ)。所以D是無窮區(qū)間，即無窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。

.單調函數(shù)

定義設y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對D中任意兩個數(shù)xi,x2且xi<xa總有

f(xj<f(x2)(f(x^)>f(x2)),

則稱y=f(x)為D上的遞增(遞減)函數(shù)，特別地，若總成立嚴格不等式

fx1：fx2 fXfx2,

則稱y=f(x)為D上嚴格遞增(遞減)函數(shù)。

遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)，嚴格遞增和嚴格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調函數(shù)。

.分段函數(shù)

如果一個函數(shù)在其定義域內，對應于不同的 x范圍有著不同的表達形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。

注意分段函數(shù)不是由幾個函數(shù)組成的，而是一個函數(shù)，我們經常構造分段函數(shù)來舉反例，常見的分段函數(shù)有符號函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。

.有界函數(shù)與無界函數(shù)

定義設y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)NWM,使對每一個xeD,都有

N<fx<M

則稱f(x)為D上的有界函數(shù)，此時，稱N為f(x)在D上的一個下界，稱M為f(x)在D上的一個上界。

由定義可知上、下界有無數(shù)個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。

定義設y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)M>0,使得對每一個xWD,都有

則f(x)為D上的有界函數(shù)。

幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=-M與y=M之間。

注意：直線y=-M,y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反面是

定義設y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對每一個正常數(shù) M(無論M多么大)，都存在％wD,

使f(xo)>M,則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。

.函數(shù)的延拓與分解

有時我們需要由已知函數(shù)產生新的函數(shù)來解決實際問題， 這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開拓由已知

產生新的函數(shù)的方法。

設y=f(x)xw0,a］,我考慮區(qū)間［-a,a］上的函數(shù)F(x),它是偶函數(shù)，且在［0,a］上，使F(x)=f(x),

口一金,、 f(x) xw0,a,

則應有F僅)=， r

J"x)xwLa,0)

稱F(x)是f(x)的偶延拓

同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F(x)在［-a,a］上的奇函數(shù)，且在(0,a)上，F(xiàn)(x)=f(x),則應

fx,x0,a

這樣，研究f(x)只要，研究F(x)就可以了。

有Fx=0,x=0

同樣，對于函數(shù)y=f(x),xw(a,b),可以構造一個以(b-a)為周期的周期函數(shù)F(x),在(a,b)上,

F(x)=f(x),則有F(x)="

'f(x)xw(a,b)

fx-n(b-a)]xw(nb-(n-1a,(n+1b-na)nwz

這就是函數(shù)f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F(x)就可以了。

此外，定義在區(qū)間(-a,a)上的任何一個函數(shù) f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和事實上

fx-f-xfxf-x

2 2

設flx二

f(x)-f(-x)f&)=f(x)+f(-x)

由奇偶函數(shù)的定義知，fl(x)是奇函數(shù)。f2(x)是偶函數(shù)，且f(x)=fl(x)+f2(x).

我們還可以證明fi(x),f2(x)是唯一存在，如果f(x)=g(x)+g2(x),

其中gi(x)是奇函數(shù)，g2(x)是偶函數(shù)，于是

fx =gi xg2x,f-x =gi-xg?-x= -gi x g? x,

初7日 fX-f—X fXf-X

斛付g1(x)= =fi(x),g2(x)= =f2(x)

2 2

題基本方法與技巧

一、求函數(shù)定義域的方法

.若函數(shù)是一個抽象的數(shù)學表達式子，則其定義域應是使這式子有意義的一切實數(shù)組成的集合,

且在

(1)分式的分母不能為零； (2)偶次根號下應大于或等于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)應大于零且底數(shù)大于零不為1; (4)arcsin邛(x)或arccos5(x),其中(xjwl;

(5)tan邛(x),其kn-—<^(x)<ku+—,k=z；cot中(x)其kn<^(x)<ku+n,kwz.

2 2

(6)若函數(shù)的表達式由幾項組成，則它的定義域是各項定義域的交集；

(7)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。

2若函數(shù)涉及到實際問題，定義域是除了使數(shù)學式子有意義還應當確保實際有意義自變量取值全體組成的集合。

3對于抽象函數(shù)的定義域問題，要依據函數(shù)定義及題設條件。

例1求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=j3x-x3； (2)y=arcsin-2x-

1x

3 _

解(1)要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足 3x-x之0。

化簡有 xx-3x-,.3_0,

即 x3xx-3<0.

解之，得定義域為x三，-3L.0,.3L

(2)要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足

|-2x|<1,即—1W三W1,

TOC\o"1-5"\h\z

|lx 1x

\o"CurrentDocument"

2 2

化簡有-1<2— <1,-3<— <-1,

\o"CurrentDocument"

x 1x

^3 1 1

不等式各邊除以(-2)有，3———_—,

1x2

1

各邊取倒數(shù)得，一￡1十xE2。解之，得函數(shù)的定義域為—-工xE1。

\o"CurrentDocument"

3

一x

例2不清設f(x)= ,求f(x)的定義域。

\o"CurrentDocument"

1 1

x-2

解要使函數(shù)式子有意義，必須滿足

x#1

x#2

f1

11+——#0

x-2

x-2:0

故所給函數(shù)的定義域為'x:xR且x=1,x=2)。

注意：如果把一x一化簡為x(x-2\那么函數(shù)的定義域為x#1的一切實數(shù)，因此，求函數(shù)的

1 1 x-1

x-2

定義變形式時需特別小心，避免出錯。

例3已知f(x)=ex,fS(x)]=1-x且平(x)至0,求*(x)并寫出它的定義域。

解由eRJ=1—x,得叫x)=jln(1-x),

由ln(1-x)之0,得1-x±1,即xw0,所以巴x)=v'ln(1一x),xw0。

例4設f(x)的定義域為[0,1],試求f(x+a)+f(x-a)的定義域(>0)。

解要使f(x+a)+f(x-a)有意義，必須滿足

[04x+aW1, 瀘 /-a<x<1-a,

104x—aw1, 寸 :awxw1+a.

- 1. . . . . 1..

當0<aM一時，由aW1—a,知函數(shù)的定義域為a<x<1-ao當aA一時，由a>1-a,知定義域不

2 2

存在。

二、求函數(shù)值域的方法

.由定義域x的范圍，利用不等式求出 f(x)的范圍；

.若y=f(x)有反函數(shù)x=r-1(y),求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；

.利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。

例5求下列函數(shù)值域：

2

x1 ，、x2x1

(1)y=x+41—x； (2)y= ； (3)y=-2 。

x3 x-x1

2

解(1)令J1—x=t,則x=1—t2,于是y=x+d'1—x=1—t2+1=-t一1i(i)y=sinx(0Wx三n1

+-<-°

-4

(2)由y二

3 5

一時，y=一。故函數(shù)

4 4

,得(x+3)y=x+1,解之,

y=x+J1-x的值域是?―00,M?

4

1-3y日 x1.

x=是y= 的反函數(shù)，而

1-3y…、…

x= 的te義域是

y-1

(3)由原函數(shù)式變形，得

y(x2—x+1)=x2+2x+1,即

y-1 x3y#1,故函數(shù)值域是(一0°,1L(1,+w)。

(y-1x2Ty+2,+y-1=0。

當y-1=0,即y=1時，x=0;當y—1￥0,即y￥1時，△=(y+2j-4(y-11>0,即0WyW4(y=1]故函數(shù)的值域為[0,4]。

三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法

例6判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：

(ii)s=41—cos2t(0wtEn)

(2)(i)y

x-1

= -

2

x-1

1

(ii)y=

x1

解(1)由y=sinx的定義域是［0,兀］,

s=4'1—cos2t的定義域是［0,兀］。知兩函數(shù)定義域相同,

又S=$—cos2t=dsin2t=sint=sint(0<t<n，知兩函數(shù)對應法則相同，故(i)(ii)為同一函

o

TOC\o"1-5"\h\z

\o"CurrentDocument"

x-1 1

(2)由y=———的定義域是X￥±1的全體實數(shù)，y= 的定義域是X￥-1的全體實數(shù)，知

X—1 X1

X-1 1

兩函數(shù)定乂域不同，盡管當X￥±1時，y=———= ,知兩函數(shù)對應法則相同，但(i)(ii)不是

X-1X1

同一個函數(shù)。

四、求反函數(shù)方法

步驟：1.從y=f(x)中解出x=f~1(y);2.改寫成y=f-1(x)，則y=f-1(x)是x=f-1(y)的反函數(shù).

例7求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)y="1-X2(-1<x<0)；

y=；；x+J1+X2+3/X-J1+X2；

X,X<1,

y=jx2,1<x<4,2x,x4.

解(1)由x=—J1—y2,yw0,1,知反函數(shù)為y=-V1-x2, xw0,1】。

(2)由y=Vx++/1+x2+"x-<1+x2

兩邊立方得

=x+V1+x2+33

TOC\o"1-5"\h\z

\o"CurrentDocument"

+<1+ x2 )(x-x2 )+3弋(x+ v11 + x2)(x-J［二x2)+x-/1+ x2,即

y3=2x-33/x+J1+x2_33/x-j1+x2=2x-3y,

一 1 3

解之 x=—(3y+y)。

2

1 Q

所以反函數(shù)為y3x,x,x;R.

x,x：1,

y= x,1<x<16,

log2x,x16.

2

y/父1,

(3)由x=」，y,1EyE16, 則反函數(shù)為

log2y,y16,

五、求復合函數(shù)的方法。

.代入法

某一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達式來替代，這種構成復合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復合，關健搞清誰是內函數(shù)，誰是外函數(shù)。

.分析法

根據外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析， 從而得出復合

函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復合。

,求fn(X)=￡f；JSJL).

X

例8設f(x)=-^=

,1X2

猜想

解f2x=ffx=

,1x2

x2

,1f2x1f2x

f3x=fIffx1=ff2x=

fnx=一.1

o

2

nx

1x2

,12x

3x

_2

12x

x

當n=1時，結論已成立，假設n=k時，fk(x)=' 成立,當n=k+1時,

、1kx2

fk1x=ffxL——k：一

11xkx2

即n=k+1時結論成立，故f(x)=、x。

,1nx2

1,x<1,例9設f(x)=*

p,x|>1,

解當xM1時，f僅)=1,f[f(xp=f(1)=1,

當x1時，fx：.>0,fIfxI-f0)=1。

故f(f(x))=1。

例10設f(x)=。'Vi1x,x—I.

|eyx)

解由fY(x))=」,*x)

巴x)=f1xA0^fEx))。

x1,x—0,

,x：1,

x-1.

(1)當中(x)<1時

或x<Q*(x)=x+2c1,即,x<0)有x<—1。、x<-1,

或x*Q5(x)=x2—1<1,即卜二? 二,有0Ex<%'2.

-2二x:二2

(2)當邛(x心1時

或x<0,中(x)=x+2"即卜;0：有一1Ex<0。lxe-1,

或x>0,邛(x)=x2—1占1,即，*°,「f 廠，有x±j2.得

[x<-、；2或*>V2

<x_2 /

e"x<-1,

x2,-1<x:二0,ex2,0_x：,2,x2-1,x,2

六、判斷奇偶函數(shù)的方法

偶函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱。

奇偶函數(shù)的運算性質

.奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。

.偶數(shù)個奇(偶)函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。

.一奇一偶的乘積為奇函數(shù)

.兩個奇函數(shù)復合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復合為偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)復合仍為偶函數(shù)。

判斷方法

1.用定義

2..若f(x)+f(-x)=0,則f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。

例11判斷下列函數(shù)的奇偶性：

f僅)=認1—x? +x$； ⑵f(x)=ln)F；

1x

一1 1 一.

(3)f(x)=- 十一(a>0,aw1吊數(shù))

ax-1 2

解(1)由f(―x)="1—(―x/+議1—xf=￥(1+x)2+V(1-x)2=f(x),知f(x)為偶函數(shù)

1--x

1 -x

ln1=0，知f(x)為奇函數(shù)。

1-x

fx「f?>x=InIn

1x

TOC\o"1-5"\h\z

1-x 1x 1-x

=InInIn

1x 1-x 1 x

1

-x

a -1

1-1

2

1 1 1ax1a

r—= 十—= 十—=

2 1d2 1-ax2 1-ax

x一1a

ax1-ax 1 1 1

1-ax2-1-ax2

1 1 一-一一

————」=—fx,知f(x)為奇函數(shù)ax-12

七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法

.周期函數(shù)周期的求法

(1)若T為f(x)的周期，則f(ax+b)的周期為T(a=0)a

(2)若f(x)的周期為T1,g(x)的周期為T2,則C1f(x)+c2g(x)的周期為T1,T2的最小公倍數(shù)。

.周期函數(shù)的判斷方法。

(1)用定義。

(2)用周期函數(shù)的運算性質。

常見函數(shù)的周期： sinx,cosx其周期T=2兀；tanx,cotx,sinx,cosx,其周期T=兀。

例12求下列函數(shù)周期

TOC\o"1-5"\h\z

一一X_X 4 4 一

(1) f(x)=2tan-—3tan—； (2)f(x)=sinx+cosx； (3)fx-x-x°

2 3

解(1)由tan二的周期T1="=2n,tan)的周期T2=三=3n。故f(x)的周期性期為6兀。2 13 1

2 3

(2)由f=(x)=(sin2x+cos2xj_2sin2xcos2x

.1.2— .1 .3 1 2二 1

=1--si n2x=1-- (1—cos4x)=一十一cos4x,知 f(x)的周期T =——=—tl o

2 4 4 4 4 2

(3)設乂=口+「(0<「<1)n^Z,T為任意整數(shù)，由

f(x+T)=f(n+T+r)=n+T+r-h+T+r】=n+T+r-(T+ln+r】)=n+r-ln+r]=f(x)知

任意整數(shù)均為其周期，則最小周期 T=1。

例13若函數(shù)f(xj[—g<x< m圖形關于兩條直線x=a和x=b對稱(b>a),則f(x)為周期函

數(shù)。

證由條件函數(shù)的對稱性知

f(a+x)=f(a—x), (1)

(2)

f(b+x)=f(b-x),

b-ab-a

故函數(shù)在a,b中點(a+b)/2處的值等于點a /和b+ 處的函數(shù)值

2 2

「 b—a''b—a'

從而猜想如果f(x)為周期函數(shù)，則周期應為 b+b—a1-a-b—a1=2b-a>

< 2八2J

事實上fk2b-a1=fbx-b-2a1=fbr；xb-2a1=f2a-x

=fa，la-x1=faT.a-x-fx

所以f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)。

八、單調函數(shù)的判斷方法

.用定義。

.利用單調函數(shù)的性質。

(1)兩個遞減(增)函數(shù)的復合是遞增函數(shù)，一個遞增、一個遞減函數(shù)的復合是遞減函數(shù)。

例14設刊x評(x汲f(x)為遞增函數(shù)證明：若

x<fx<'x

則 xLffx [x1

證設x0為三個函數(shù)公共域內的任一點，則

；：xo<fxo<1--xo

由(i)以及函數(shù)f(x)的遞增性知f副(x0 Mf if(x0)i,由a(x0歸f砂(x0)】；

從而■x01<fIfx01

同理可證 f[f(x0歸中V(x0W

由X0的任意性知，于是(2)式成立。

九、函數(shù)有界性的判斷判斷函數(shù)是否有界，經常用定義。例15判斷下列函數(shù)是否有界：

x

f(x)= T；

1x

解(1)由f(x)的定義域是

一1

f(x)=F，xW(0,1］。

x

Ro

當乂#0時，￡儀修|—^]=岡2<4=1,當x=0時，f(0)=0，有f(0kL|1xI1x2x2 2

，一一，.，1

知xwR日t,fxK-,所以f(x)為有界函數(shù)。

2

— 1 ,

(2)寸M>0,取x0=,w(0,1］。

.M1

f(x0尸

=M1=M1.M.

由無界函數(shù)的定義知 f(x)在(0,1)上無界。

第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù)

數(shù)極限內容網絡圖

函數(shù)極限與連續(xù)

limf(x)=Ax_^G

limf(x)=A

函數(shù)極限定義

limf(x)=°°x—^x0

lim::f(x)=:=

性質--唯一性，有界性，不等式,保號性，四則運算

｛

夾逼定理

r 單調有界定理

單側極限與雙側極限

—函數(shù)極限與數(shù)列極限一一歸結原則。

關系定理 函數(shù)極限與無窮小

工無窮大與無窮小

無窮小的階一一高階、同階、等價。

函數(shù)連續(xù)定義

x/0

limf(x)=f(x0)或limAy=0x>0

可去間斷點

第一類間斷點跳躍間斷點

間斷點分類

第二類間斷點

容提要與釋疑解難

一、函數(shù)極限的概念

limf(x)=A:若存在一個常數(shù)A,Vs>0,EX>0,當x>X時，都有f(x)—A<6。x_.

limf(x)=A:把1中“xaX”換成“x<-Xx_；i二二

limf(x)=A:把1中“xaX"換成“x>X"。x_Jpc

定理limf(x)=Aulim"*)=慶且limf(x)=A.

xJ二二 xJ二二 xJ.二二

0

limf(x)=A:設f(x)在x0的某空心鄰域內U(x0)有定義，若存在一個常數(shù)A,x於0

V&>0,3dA0,當0<|x-x0|<5時，都有f(x)-A〈君。

0

limf(x)=A:設f(x)在x0的某左半鄰域U-(x0)內有定義，若存在一個常數(shù)A,xM0一

V0>0,3d>0,當一&<x-x0<0時，都有f(x)-A<名。

此時也可用記號f(x0-0)或f(x0")表示左極限值A,因此可寫成

lim_f(x)=f(x0一0)或lim-f(x)=f(x0-)

xx— xjx0

0

lim.f(x)=A:設f(x)在x0的某右半鄰域U+(x0)內有定義，若存在一個常數(shù)xw

A,Vo0,36>0,當0<x—x0<8每時，都有f(x)-A<so此時也可用f(x0+0)或f(x1)表示

右極限A。因此可寫成limf(x)=f(x0+0或limf(x)=f(x；)。x--x0 xjxq

定理lim"x)=Aulimf(x)=人且limf(x)=A.x—x0 x_K0- x?沖

該定理是求分界點兩側表達式不同的分段函數(shù)在該分界點極限是否存在的方法，而如果在 x0的左

右極限存在且相等，則在該點的極限存在，否則不存在。

limf(x)=°°:VM>0,36>0,當0<x-x0|<6時，都有f(x)>M。此時稱xtx0時，xM

f(x)是無窮大量。

而limf(x)="，只要把公式中“f(x)>M"改成"f(x)>M”,limf(x)=g,只要把x-^0 x-^x0

上式中“f(x)aM”改成“f(x)<-M屋

limf(x)=g:VM>0,三X>0。當x>X時，都有f(x)>M。x-^C

讀者同理可給出lim(%c或一8)f(x)=8("或一8)定義。x”二

注：limf(x)=A(常數(shù))與limf(x)=g的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極限x_K0 x_x0

不存在，但還是有個趨于無窮大的趨勢。因此，給它一個記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個常數(shù)。

limf(x)=0。稱f(x)當xtx0是無窮小量。這里的x0可以是常數(shù)，也可以是十叼血或必。xi

定理limf(x)=A(常數(shù))uf(x)=A+u(x)。x_x0

其中l(wèi)im：(x)=0。

x—0

0

若m6>0,三M>0,當xWU(xx,6)時，都有f(x)WM,稱f(x)當xtx0時是有界量。

二、無窮小量階的比較，無窮小量與無窮大量關系

設limf(x)=0,limg(x)=0,X典0 X「X0

(這里x0可以是常數(shù)，也可以是6,*產，以后我們不指出都是指的這個意思)

(1)若lim上?=0,稱f(x)當xtx0時是g(x)的高階無窮小量，記作rg(x)

f(x)="(g(x))(xTx0).o

(2)

lim

x的

f(x)g(x)

=3常數(shù))#0,,稱“乂)當乂7址時是g(x)的同價無窮小量。

⑶若lim43=1,稱f(x)當xtx0時是g(x)的等價無窮小量，記彳f(x)~g(xj(x-?x0),fg(x)

此時(2)式也可記作f(x)~cg(x'(xTx01

f(x)

(4)右lim =c(常數(shù))*0(k>0常數(shù))，稱f(x)當xtx0時是x-x0的k階無窮小量。

x咐x-x0

由等價無窮量在求極限過程中起到非常重要的作用，因此，引入

若lim"x)=1。記作f(x)~g(x)(xTx0),

x-x。g(x)

如果f(x),g(x)均是無窮小量，稱為等價無窮小量；如果f(x),g(x)均是無窮大量，稱為等價無窮大量;

如果f(x),g(x)既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價量。

例如lim”*)=慶(常數(shù))#0,則￡6)~3乂1%)。xf

注：A不能為零，若A=0,f(x)不可能和0等價。

無窮小量的性質：

.若otMx'匕l(fā)x)，…，am(x)當xtx0時，均為無窮小量，則

limC11(x)c2-：：2(x)」qcm_：:m(x)1=0.x_x)

其中G,c2，…cm均為常數(shù)。

lim:1(x)：2(x) ：m(x)=0。

x_xo

.若￡儀)當乂1x0時是有界量，￡(乂)當乂7x0時是無窮小量，則limf(x)u(x)=0。x_Z0

無窮大量的性質：

.有限個無窮大量之積仍是無窮大量。

.有界量與無窮大量之和仍是無窮大量。

無窮小量與無窮大量之間的關系：

1

右limf(x)=°o，則lim =0;

1

f(x)

XM X曲f(x)

0

若limf(x)=0，且三6>0,當xwU(x0,6)時f(x)#0,則limx典0 x的

三、函數(shù)連續(xù)的概念。

定義1若！mf(x)=f(x0)，稱f(x)在x=x0處連續(xù)。

用z一a語言可寫為

定義設f(x)在x0的某鄰域U(x0)內有定義，若VS>0,35A0,當x—x0<6時，都有

f(x)-f(x0)稱f(x)在x=x0處連續(xù)。

用函數(shù)值增量Ay形式可寫為

定義若jmy=0，稱f(x)在x=x0處連續(xù)。

若limf(x)=f(xO)，稱f(x)在x=x0處左連續(xù)。xX0-

若lim+f(x)=f(x0),稱f(x)在x=x0處右連續(xù)。

xX0

定理f(x)在幾處連續(xù)Uf(x)在x0處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。

如果f(x)在x=x0處不連續(xù)，稱x=x0為f(x)的間斷點。

間斷點的分類：

(1)若limf(x)=A(常數(shù))，但f(x)在x=x0處不連續(xù)，稱x=x0是f(x)的可去間斷點。x收

若x=x0為函數(shù)f(x)的可去間斷點，只須補充定義或改變 f(x)在x=%處的函數(shù)值，使函數(shù)在

該點連續(xù)。但須注意，這時函數(shù)與 f(x)已經不是同一個函數(shù)但僅在 x=x0處不同，在其它點相同。我

們正是利用這一性質去構造一個新的函數(shù) F(x),使F(x)在某閉區(qū)間上處處連續(xù)， 因而有某種性質。 當

x￥x0時，也具有這種性質。而x=x0時，F(xiàn)(x)=f(x),所以f(x)在x￥x0的范圍內也具有這種性

質，從而達到了我們的目的。

例如f(x)=sn2,limf(x)=lim任=1,xx0 x-°x

sinx

但f(x)在x=0處沒定義，知f(x)在x=眺不連續(xù)，設F(x)=J-x-,x餐0,

1,x=0.

則F僅應x=0處連續(xù)，但F(x內f(x)定義域不同,

雖然F(x)與f(x)不是同一函數(shù)，但在x￥0處完全相同，又如f(x)=?

sinx

,x#0,x

0,x=0.

sinx

x

sinx

=1豐f(0)=0,知f(x)在x=0處不連續(xù)。設F(x)=4一^-""0,

1,x=0.

則F(x)在x=0處連續(xù)，雖然F(x)與f(x)定義域相同，但在x=0處，兩個函數(shù)值不同，知F(x)

與f(x)不是同一函數(shù)，但僅在x=0不同，其余點函數(shù)值處處相同。

(2)若lim_f(x)=f(x0-0).limf(x)=f(x0十0),但f(x0-0)#f(x0+0),稱x=x0為x—K0- x>x)

f(x)的跳躍間斷點，稱f(x0+0)—f(x0—0)為f(x)的跳躍度。

(1)(2)兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點。

(3)若x0處，左、右極限至少有一個不存在，我們稱 x=x0為f(x)的第二類間斷點。

若！如0f(x)=g，我們也稱x=x0為f(x)的無窮型間斷點，屬于第二類間斷點。

四、函數(shù)極限的性質

在下述六種類型的函數(shù)極限:

(1)Xlim:：f(x)

(2)

limf(x) (3) limf(x) (4) limf(x)

x' . x”- x」x)

(4) limf(x)(6)

X—x0

n-f(x)

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質，我們以 limf(x)為例，其它類型極限的相應性質的敘述只要

x>X3

作適當修改就可以了。

性質1(唯一性)若極限limf(x)存在，則它只有一個極限。x_xo

0 0

性質2(局部有界性)若極限limf(x)存在，則存在x0的某空心鄰域U(x0),使f(x)在U(x0)內x_x0

有界。

注意：limf(x)存在，只能得出f(x)在％的某鄰域內有界，得不出 f(x)在其定義域內有界。

x_x0

0

性質3若limf(x)=A,limg(x)=B,且A<B,則存在x0的某空心鄰域 U(x0,60),使

x「及 x_.x)

0

xwu(x0,a)時，都有f(x)<g(x)。

性質4(局部保號性) 若limf(x)=A>0(或<0),則對任何常數(shù)0<州<A(或A<n<0),存

x_x0

0 0

在x0的某空心鄰域U(x0),使得對一切xwU(x0),都有f(x)>”>0(或f(x)<“<0)成立。

0

性質5(不等式)若limf(x)=A,limg(x)=B,且存在x0的某空心鄰域U(x0,60),使得對xH0 x洶

0

一切xWU(x。,6。)，都有f(x)<g(x)，則A<B。

0

性質6(復合函數(shù)的極限)若lim中(x)=u0,limf(u)=A，且存在x0的某空心鄰域U(x0,6),x「x) u)U0

0

當xwU(x0,6)時，中(x)#u0，則limf[9(x)]=limf(u)=A。jx uW0

性質6是求極限的一個重要方法一一變量替換法，即

limf(中(x))令中(x)=ulimf(u)=A。x>xd - u「u0

且x—3^0,(x)—u0

性質7(函數(shù)極限的四則運算)若limf(x)與limg(x)均存在，則函數(shù)X‘兇0 X'式0

f(x)士g(x),f(x)，g(x),cf(x)(c為常數(shù))在xtx0時極限均存在且

(1)lim〔f(x)士g(x)】=limf(x)±limg(x)； (2)lim〔f(x)g(x)】=limf(x)limg(x)；

x—x0 x >x) x—x0 x )x0 x >x0 x >x0

(3)

limcf(x)=Climf(x)；又若limg(x)豐Q則x—x0 x—x0 xjx0

fx,

::在xtx0時的極限也存在，且有

gx

(4)

lim地

xxg(x)

limf(x)

X—x0

limg(x)

x―:x0

利用極限的四則運算，可得下列重要結果。

n n_1?. ?_

lima，腌' an(a°,…,an,b0,…,bm均為常數(shù),%#0,b0=0)

ibox b1x bm4x bm

=lim

f?:x

1, 1 1

ao ai-L-anj^rr'an—

\o"CurrentDocument"

X X-X

'' 1 '1

bo?n—?L-bmj-^mr-bm—

\o"CurrentDocument"

X XX

0,n：：：m

ao

—,n=mbo

二，nm

上面的結論可作為公式用。

性質8(歸結原則或海涅(

Heine）定理）

limf(X)存在的充要條件是:

X_Xo

-nimXn=XoXn=Xo，n

=1,2,…)極限limf(Xn)都存在且相等。

n節(jié)二

逆否定理若存在兩個數(shù)列域｝(；｝,limx；=Xo,limx：=Xo,且n)二 n)二二

lim f(X；) =A,lim f(x；) =B,A#B或存在&tlimx； =x0,lim f(x；)不存在，則 lim f(Xo)不存

n, n, n)二二 n, n閩

在。

此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法。

五、函數(shù)連續(xù)的性質

若函數(shù)f(x)在點x=x處連續(xù)，即limf(x)=f(xo),利用極限的性質1-5可得到函數(shù)在x=xox)xo

0

連續(xù)的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把 U(Xo)改成U(Xo)即可，讀者自己敘述出來。

利用極限的四則運算，我們有

性質1(連續(xù)函數(shù)的四則運算)若f(x),g(x)在點x=xo處連續(xù)，則

f(x)土g(x),f(x)g(x),cf(x)(c為常數(shù))f(x)(g(x0)#o)在x=xo處也連續(xù)。g(x)

性質2若u=9(x)在xo處連續(xù)，y=f(u)在uo=*(xo)處連續(xù)，則y=f(9(x))在x=xo處也連

TOC\o"1-5"\h\z

續(xù)且limf((x))=f((xo))=f(lim(x))X洶 X—Xo

在滿足性質2的條件下，極限符號與外函數(shù) f可交換順序，如果僅要可交換順序，有

推論若lim中(x)=uo,y=f(u)在u=uo處連續(xù)則 limf(中(x))=f(lim中(x))。

XJX XJXO X」xo

即(x),X#Xo, — —

證設g(x)=， 則g(x)在x=Xo處連續(xù)，又y=f(u)在u=u。=g(x)

、uo,X=X。，

處連續(xù)，由性質2知limf(g(x))=f(limg(x))。

\o"CurrentDocument"

X& XJX。

由于xtx,要求x#xo,有g(x)=*(x),所以limf(*(x))=f(lim中(x))。XjXo XXo

在這里，我們巧妙地利用可去間斷點的性質，構造一個連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質

2及推論也是求函數(shù)極限的一個重要方法。

即極限符號與外函數(shù)f交換順序，把復雜函數(shù)極限轉化為簡單函數(shù)極限。

定理初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。

六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

定理 (最大值與最小值定理) 若f(x)在閉區(qū)間la,b】上連續(xù)，則f(x)在b,b］上一定能取到最大

值與最小值，即存在x1,x2wa,b］f(x1)=M,f(x2)=m,使得對一切xw6,b】，都有m<f(x)<M。

推論i若f(x)在閉區(qū)間a,bih連續(xù)，則f(x)在a,b】上有界。

定理(根的存在定理或零值點定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間la,b］上連續(xù)，f(a)f(b)<0,則至少存在一點S(a,b),(C)=0。

推論1若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間b,b】上連續(xù)，且f(a)￥f(b),c為介于f(a),f(b)之間的任何常數(shù)，

則至少存在一點3(a,b),使f色)=c。

推論2若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間kb】上連續(xù)，則值域R(f)=lm,M

這幾個定理非常重要，請大家要記住這些定理的條件與結論，并會運用這些定理去解決問題。

七、重要的函數(shù)極限與重要的等價量

夾逼定理可得到下面的重要

利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號與外函數(shù)的可交換性及等價量替換,的函數(shù)極限。

sinx

lim =1.

x0x

1

lim(1x)x=e.

..ln(1x)

lim

Ix

7”；ln(1x).ln(1x)i螞(1x)ie=1.

lim

x—0

t 1

-1tlim =lim =1.

t0ln(1t)tQln(1t)

x xlna

一afe7

lim lim lna=lna(a0,a=1為吊數(shù)).

xexx1°xlna

6、limCx)b-1=limebln(1”jln(1+x)匕59為常數(shù),0￥0).

x。xx30bln(1x)x

7.

lim

xQ

arcsinx

sint

sint

arctanx t..t

lim 汝arctanx=tlim =lim cost=1父1=1.

x10 x t0tanttQsint

limTx=0(kA0常數(shù)).

x—x

k

lim1=0(a>1常數(shù)，k為常數(shù)).

x「「，a

若limu(x)=a>0,limv(x)=b(a,b均為常數(shù)，則

x/0

x_x0

lim

xx

u(x)V(x)=limeV(x)lnu(x)

x網

limV(x)lnu(x)

"exx0 =e

limV(x).limlnu(x)

blna

二e

lnabb

二ea

limu(x)v(x)=ab。

x閥

注：不僅要記住這些公式的標準形式，更要明白一般形式。即上面公式中的 x可換成f(x),只要

xtxo時，f(x)T0,結論依然成立。

利用上述重要極限，我們可以得到下列對應的重要的等價無窮小量，在解題中經常要利用他們

當xt0時，sinx~x,ln(1+x)~x,ex-1~x,ax-1~xlna(aA0,a=1,常數(shù)).

b … 1 2

(1+x)-1~bx(b*0,常數(shù))，arcsinx~x,arctanx~x,1—cosx~2x.

注：上式中的x可換成f(x),只要xtx0時，f(x)T0.結論依然成立。

例如sinf(x)~f(x)(若xtx0時，f(x)T0)。

此外，若limf(x)=A(常數(shù))#0,f(x)~A(xTx°).x_x0

§2.3 解題基本方法與技巧

一、求函數(shù)極限的有關定理

等價量替換定理，若

(1)f(x)~f1(x),g(x)~g1(x),h(x)~%(x]xTXo);

(2)limSg^=A(或s)；,則limXM^limS^=A(或').

x網 hi(x) x%h(x)x% h)(x)

證l^fx3.lim%(x)g1(x)f^ .MX=a111二a(或：：)，

xxh(x)x叱 h|(x) f1(x)g1(x)h(x)

即limf(x)g(x)=limf1(x)g1(x)=A(或叼.

xf。 h(x)x一% h1(x)

這個定理告訴我們，在求函數(shù)極限時，分子、分母中的因式可用它的簡單的等價的量來替換，以便化簡，容易計算。但替換以后函數(shù)極限要存在或為無窮大。需要注意的是，分子、分母中加減的項不能替換，應分解因式，用因式替換，包括用等價無窮小量、等價無窮大量或一般的等價量來替換。

0

夾逼定理若limf(x)=limg(x)=A,且存在x0的某空心鄰域 U(x0,&),使得對一切

x'X) xjx0

0

xeU(Xo,8'),都有f(x)<h(x)4g(x),則limh(x)=A。

X附

0

單調有界定理(1)若f(x)在U-(x0)內遞增(或遞減)有下界(或上界) ，則limf(x)存在。

x>xo-

(2)若f(x)在(_s,a)內遞增(或遞減)有下界(或上界)，則limf(x)存在。

x—)-二二

請讀者給出xtx0+,xt+8的敘述。函數(shù)的單調有界定理應用的較少，大家只要了解就可以。

洛必'達(LHospital)法則I設

(1)limf(x)=0,limg(x)=0;

x_x0

x_.x)

(2)存在x0的某鄰域U(x0),當xwu(x0)時，f'(x),g'(x)都存在，且g'(x)=0；

(3) limf-^ =A(或笛),則lim f^=limf-^ =A(或空).

x一加g(x) x—.X0 g(x)x—x0g(x)

洛必達(LHospital)法則II,設

(1)limf(x)=0°,limg(x)=°°；

x兩 x_xg'

0 0

(2)存在x0的某鄰域U(x0),當xWU(x0)時，f'(x),g'(x)都存在且g'(x)=0；

lim^^=慶(或空),則lim3=M!_^=”或8),

x一為g(x) x「x0g(x)x—閡g(x)

1,上述兩個法則中的xtx°改成xtxj^xtx0；xt0°,xt+8,xt-8時，條件(2)只須

作相應的修改，結論依然成立。

.在用洛必達法則求極限之前，應盡可能把函數(shù)化簡，或把較復雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達到簡化，再利用洛必達法則。

.利用洛必達法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達法則的條件，若滿足洛必達法則的條件，結果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復使用洛必達法則，但只能用有限次。

注：洛比達法則是第三章內容。

、函數(shù)極限的類型

.若f(x)是初等函數(shù)，x0wf(x)的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知 弧f(x)=f(x0).

.若敗f(x)=A,limog(x)=B，則

'A

B,

0,

(1)也A

二，

"0"

0

oO

A常數(shù)，B常數(shù)手0,

A=0,B=：,

A=：：,B=0,

A=0,B=0,

AB,

(2)limf(x)g(x)=二，x10

"0二",

A常數(shù),B常數(shù)，

A=常數(shù)#0,B=叼

A=0,B=：：.

f(x)0Tg(x)一一

A=0,B=%時，！四f(x)g(x)(0嚴)四/(Q或區(qū)」()8T)

X—7x0 x—Tx01 0 x—Tx0 1二二

g(x) f(x)

A-B,

A常數(shù)，B常數(shù),

(3)lim(f(x)-g(x))=?x-SXo

A、

A、

A、

B中有一個是常數(shù)，另一個是無窮大，

B為異號無窮大,

B為同號無窮大，

對于因式中含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時，一般放在分子、否則利用洛必達法則很繁，或求不出來。

我們有兩種方法求該未定式的極限,

一種方法利用重要極限

i

xm01?xx來計算，另一種方法，化

當A=°°,B=°°,且A、B同號時，lim三!fx-gx.

0 二...一. ..

這時，把f(x)g(x訛成分式，通分、化簡，化成“ 0”或“一”，再利用洛必達法則。

0

A常數(shù)＞0,B常數(shù),

A=1,B小二

A=0,B=0

A-二，B=0,

0, A=0,B=二

,二，A=0,B=-:：

⑴當A=1,B=°0時,

為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則。即

‘ 1]f(xyg(x) r[

解法-4fx)一叫卡—)

0 ，、二

再根據具體，情況化成"乜"或"一"。

0

lim

x-rx

解法二xm,xf（x?n產）=、e11fse）=二egCT（x）=e哈

xjx0 x_x0 x",x0

這兩種方法，我們經常還是利用解法一方便。

(ii)當A=0,B=0時，(iii)當A=co,B=0時

這時，只有化成以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達法則。即

lim半(三)(三)

「一、g(x)。。、/0、rg(x)lnf(x) x￡g(x)1nMx)(0儂0m T°^)"”

limf(x)g()(0)(：：)=lime=e_0 =e

xx0 x_x0

limf(x)g(x)(0二)=limeg(x)lnf(x)

X—Xo

x_xo

limg(x)lnf(x) (一二)]

=exT0 =e"°=0o

limf(x嚴)(0」：)=limeg(x)lnf(x)

limg(x)lnf(x)!一二(一二)

=exT =eh°=+=c。

X一%

x—xo

而A=0,B=y或A=0,B=㈤時不屬于未定式，因為

三、已知函數(shù)的表達式，求函數(shù)的極限

.求函數(shù)極限的四種重要方法

（1）極限的四則運算；（2）等價量替換；（3）變量替換；（4）洛必達法則。

再利用洛必達法則求極限。

對于未定式的極限，先用等價量替換或變量替換或極限的四則運算化簡,很多情況下，這幾種方法常常綜合運用。

求典

x-arcsinx

x「0

1

1一.1.x2

3x2

(1-x2)2(-2x)

6x

求lim

x—0

1-cosx■x(1-cos.x)

lim—c0sx(0)=limx—0x(1-cos.x)0x0

1-cosx

x(1-cos.x)(1.cox)’

2

x/日

一，得

2

例3求lim

x0

.1tanxT1sinx

2

xln(1x)-x

解原式=lim

x-0

taix-sinx

xln1(x)-xI1-1taix 1sinx1

TOC\o"1-5"\h\z

0時，1cosx~2,1-cosx~1、x=),1-cosx2 2

2

x

\o"CurrentDocument"

原式=lim 2

xQ x

x-

2

注：本題雖然是未定式，但巧妙地用變量替換，并沒用洛必法則就直接求出了極限。

sinx(1-cosx)

xln(1x)一x".1tanx

..1sinxCosx

2

x

由xt0時，sinx~x,1-cosx ,'1+tanx+J1+sinx?2,

cosx?1,得

2xx

2

2xin(1x)-x1

lim (-)

x0ln(1x)-x0

1

二-lim

4x「o

2x

x(1x)

4求四

1x2

cosx

(xx2sinx)

2

1x-cox

(xxL.1

)sinx(.1x2 、cox)

0時，sinx~x,?+x2+Jcosx?2,得

原式=lim

x「0

5求頻

, 2

1x-cosx

_ 2

2(xx)x

1lim

2xq

, 2 -

1x-cosx(0

10

」li

2xsinx,0、

m "(o)

2x)02x3x

一?一一?一2

xsinx-sinx

Ji

2cos(m

2x力26x

x-sinx

1-cosx

二lim ；-

x03x2

3x2

6求lim

X—1

(1-.x)(1-3.x)(1-；x)

(1-x尸

解法

山一(1-nx)/0、 「

由lim()=li

x1(1-x)0 :

x—1

1—Jx1—Vx1—Vx原式=lim11——x 1——

解法二原式設1—x=tlimt—0

1

1 1

xn

n

-1

1-x2

1...1

n!

(1-V1-t)(1-a1-t)…(1-n/1-1)

tn“

ttt

1 1 1 -- A

由(1—y/l —t)= —& 1+ (—t)上—1>~ —— (—t)=—(tt0),得原式=lim n-j——二—

、 nnn —tn!

解法

求lim

x_0

e2-(1x)x

x

原式二

2e-e

21n(1：!x)

x

=-e

..elim

x0

21n(1x)

x-1

且xt0時，21n(1*x)-2t0,知e

x

21n(1:；；x)

x

_2

-1

21nd+x)_2，得x

21n(1x)2

百卡.21.x o2.. 1n(1x)-x.0.

原式一-e1im =-2e1im ()

x0x xw x一2e21im上皿上1二e21im

x—o 2x x—0 x

0

2..

--2e1im

x_0

-1

1x

2x

2..

-e1im

x_0

一x

x(1x)

解法

1 ,“、

x-1n1(x)

1x

2

x

21n1(x)

2 -x— c 21m(x)

,.e-ex 0 x

二1im ()=-1ine

x0x0x力

=-2e2

=-2e2

,.x-(1x)1n1(x)

1im ；；

—x(1x)

,.x-(1x)1n)x)

1im ；；

x，0 x2

例8

1 ,2、

求㈣(下-cotx).

cosx s

- 2)(-----)=1im

sinx x0

二1im

x—0

sin

xcosxsinxrcosx

sinxxcosx

四「…。得

原式=2四

sinx-xcosx,0、

(0)=

21im

x：0

9求1im

x—0

cos(sinx)-cosx

原式二1

1im.x—0

sinxx.

—2sin si

2

4

x

2 2 2

nx-xcosx

2 .2

xsinx

cosx-cosxxsinx

sinx-x

n

2

3x2

=21im

3x>0

2 2 2

nx-xcosx

4x

sinx2

由x-

sinxxsinxx

0時，sin

,sinx-xsinx-x

，,sin

2

3

10求limx2(-x2-2Jx1 ,x).

x>二

=lim-

t—0,

12t-2.1t1,0、

(-)=lim

0T

2J2t2.1-t

t2

2t

1 ,1t-,12t

lim

2t)0