圓及方程知識點總結(jié)典型例題

.PAGE.圓與方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點為圓心,為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點,半徑為的圓的方程是：.2.點與圓的位置關(guān)系：<1>.設(shè)點到圓心的距離為d,圓半徑為r：a.點在圓內(nèi)d＜r；b.點在圓上d=r；c.點在圓外d＞r<2>.給定點及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外〔3涉及最值：圓外一點,圓上一動點,討論的最值圓內(nèi)一點,圓上一動點,討論的最值思考：過此點作最短的弦？〔此弦垂直3.圓的一般方程：.<1>當(dāng)時,方程表示一個圓,其中圓心,半徑.<2>當(dāng)時,方程表示一個點.<3>當(dāng)時,方程不表示任何圖形.注：方程表示圓的充要條件是：且且.直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓圓心到直線的距離1；2；3；弦長|AB|=2還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解,通過解的個數(shù)來判斷：〔1當(dāng)時,直線與圓有2個交點,,直線與圓相交；〔2當(dāng)時,直線與圓只有1個交點,直線與圓相切；〔3當(dāng)時,直線與圓沒有交點,直線與圓相離；5.兩圓的位置關(guān)系〔1設(shè)兩圓與圓,圓心距；；；；；外離外切相交內(nèi)切〔2兩圓公共弦所在直線方程圓：,圓：,則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說明：若與相切,則表示其中一條公切線方程；若與相離,則表示連心線的中垂線方程.〔3圓系問題過兩圓：和：交點的圓系方程為〔補(bǔ)充：上述圓系不包括；2當(dāng)時,表示過兩圓交點的直線方程〔公共弦過直線與圓交點的圓系方程為6.過一點作圓的切線的方程：過圓外一點的切線：①k不存在,驗證是否成立②k存在,設(shè)點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,即求解k,得到切線方程[一定兩解]例1.經(jīng)過點P<1,—2>點作圓<x+1>2+<y—2>2=4的切線,則切線方程為。<2>過圓上一點的切線方程：圓<x—a>2+<y—b>2=r2,圓上一點為<x0,y0>,則過此點的切線方程為<x0—a><x—a>+<y0—b><y—b>=r2特別地,過圓上一點的切線方程為.例2.經(jīng)過點P<—4,—8>點作圓<x+7>2+<y+8>2=9的切線,則切線方程為。7．切點弦<1>過⊙C：外一點作⊙C的兩條切線,切點分別為,則切點弦所在直線方程為：8.切線長：若圓的方程為<xa>2<yb>2=r2,則過圓外一點P<x0,y0>的切線長為d=．9.圓心的三個重要幾何性質(zhì)：圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在某一條弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線。10.兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓C1：x2+y2—2x=0和圓C2：x2+y2+4y=0,試判斷圓和位置關(guān)系,若相交,則設(shè)其交點為A、B,試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長。一、求圓的方程例1<06XX卷文>以點為圓心且與直線相切的圓的方程為<><A><B><C><D>二、位置關(guān)系問題例2<06XX卷文>直線與圓沒有公共點,則的取值范圍是<><A><B><C><D>三、切線問題例3<06XX卷理>過坐標(biāo)原點且與圓相切的直線方程為<><A>或<B>或<C>或<D>或四、弦長問題例4<06天津卷理>設(shè)直線與圓相交于兩點,且弦的長為,則.五、夾角問題例5<06全國卷一文>從圓外一點向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為<><A><B><C><D>0六、圓心角問題例6<06全國卷二>過點的直線將圓分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時,直線的斜率.七、最值問題例7<06XX卷文>圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是<><A>30<B>18<C><D>八、綜合問題例8<06XX卷理>若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的斜率k取值范圍_______________圓的方程A.－1<t<B.－1<t<C.－<t<1D.1<t<22.一圓與y軸相切,圓心在直線x－3y=0上,且直線y=x截圓所得弦長為2,求此圓的方程.3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0〔D2＋E2－4F＞0表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形,則〔A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=04.〔20XX全國Ⅱ,8在坐標(biāo)平面內(nèi),與點A〔1,2距離為1,且與點B〔3,1距離為2的直線共有〔A.1條B.2條C.3條D.4條〔20XX黃岡市調(diào)研題圓x2+y2+x－6y+3=0上兩點P、Q關(guān)于直線kx－y+4=0對稱,則k=____________.6.〔20XX全國卷Ⅲ,16設(shè)P為圓x2+y2=1上的動點,則點P到直線3x－4y－10=0的距離的最小值為____________.7.已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2－4x+1=0.求〔1的最大值和最小值；〔2y－x的最小值；〔3x2+y2的最大值和最小值.經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系求經(jīng)過兩已知圓：和的交點且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。例2．設(shè)圓方程為：其中－4求證：不論為何值,所給圓必經(jīng)過兩個定點。直線與圓的位置關(guān)系例1：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程；經(jīng)過點,<2>經(jīng)過點,<3>斜率為直線和圓自點〔－3,3發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射線所在直線與圓相切,求光線L所在直線方程．