比例線段及有關(guān)定理

關(guān)于比例線段及有關(guān)定理第1頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五2四條線段成比例：

(1)定義：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段.

如a=9cm,b=6cm,c=6cm,d=4cm.

則a,b,c,d叫作成比例線段.(2)名稱：在比例線段a:b=c:d中，a、d叫作比例的外項(xiàng)，b、c叫比例的內(nèi)項(xiàng),d叫第四比例項(xiàng).

若比例內(nèi)項(xiàng)相同，即a:b=b:d，則b叫a、d的比例中項(xiàng).一、Whatisit第2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五3比例的性質(zhì)：

(1)比例的基本性質(zhì)：

a:b=c:dad=bc.a:b=b:cb2=ac.

(2)合比性質(zhì)、分比性質(zhì)：

合分比定理：

如則類似地還有

如果，則

一、Whatisit第3頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五(3)等比性質(zhì)：如則推廣：如果

，則其中，m不全為0，、、、…、從到中任取qie，不過(guò)是個(gè)紙老虎一、Whatisit第4頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五(4)黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫黃金比。其值為，近似為0.618

一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)一、WhatisitCAB第5頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五黃金比例何謂其“黃金”

據(jù)說(shuō)在古希臘，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，在經(jīng)過(guò)鐵匠鋪前他聽(tīng)到鐵匠打鐵的聲音非常好聽(tīng)，他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個(gè)聲音的比例被畢達(dá)哥拉斯用數(shù)理的方式表達(dá)出來(lái)。開(kāi)普勒稱其為“神圣分割”也有人稱其為“金法”。

計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單的方法，是計(jì)算斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，……第二位起相鄰兩數(shù)之比，第6頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五

一個(gè)很能說(shuō)明問(wèn)題的例子是五角星。五角星是非常美麗的，中國(guó)的國(guó)旗上就有五顆，還有不少國(guó)家的國(guó)旗也用五角星，這是為什么？因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业降乃芯€段之間的長(zhǎng)度關(guān)系都是符合黃金分割比的。黃金比例何謂其“黃金”多么美麗的圖形??！雖然完全無(wú)法理解第7頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五黃金比例何謂其“黃金”但這就是人們的審美方式…………

這個(gè)數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見(jiàn)：它在造型藝術(shù)中具有美學(xué)價(jià)值，在工藝美術(shù)和日用品的比例設(shè)計(jì)中，采用這一比值能夠引起人們的美感。

建筑物中某些線段的比就科學(xué)采用了黃金分割，無(wú)論是古埃及的金字塔，還是巴黎圣母院，或者是近世紀(jì)的法國(guó)埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關(guān)的數(shù)據(jù)。

就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會(huì)看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。

在很多科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗(yàn)次數(shù)找到合理的配方和合適的工藝條件。。第8頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五

在藝術(shù)創(chuàng)作中，一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫(huà)面的0.618處。黃金矩形的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。第9頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五黃金比例何謂其“黃金”

黃金分割與人的關(guān)系相當(dāng)密切。地球表面的緯度范圍是0—90°，對(duì)其進(jìn)行黃金分割，則34.38°—55.62°正是地球的黃金地帶。無(wú)論從平均氣溫、年日照時(shí)數(shù)、年降水量、相對(duì)濕度等方面都是具備適于人類生活的最佳地區(qū)。說(shuō)來(lái)也巧，這一地區(qū)幾乎囊括了世界上所有的發(fā)達(dá)國(guó)家。人體美學(xué)觀察受到種族、社會(huì)、個(gè)人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上一種完整的美。人體有14個(gè)黃金點(diǎn)，你知道在哪里么？第10頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五黃金比例何謂其“黃金”

一個(gè)健壯中年男子，兩臂微斜上舉，兩腿叉開(kāi)，以他的頭、足和手指各為端點(diǎn)，正好外接一個(gè)圓形。同時(shí)在畫(huà)中清楚可見(jiàn)疊著另一幅圖像：男子兩臂平伸站立，以他的頭、足和手指各為端點(diǎn)，正好外接一個(gè)正方形。這就是名畫(huà)《維特魯威人》，出自文藝復(fù)興藝術(shù)巨匠達(dá)芬奇之手。從圖中看到從人體中能找到三角形、四邊形、五邊形、等邊三角形、圓形

第11頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五“永遠(yuǎn)吃不完”的巧克力

一塊成黃金比例的巧克力經(jīng)過(guò)多次黃金分割和位移得到一個(gè)等比例的黃金比例圖形。這塊小的巧克力再進(jìn)行分割，無(wú)窮無(wú)盡啊。咋會(huì)這樣？障眼法么？第12頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五※如何用尺規(guī)作出黃金分割點(diǎn)：（1）作出線段BA的中點(diǎn)C（2）過(guò)A作線段BA的垂線，在垂線上截取線段AD，使AD=AC（3）聯(lián)結(jié)BD，在BD上截取DE=DA，在線段AB上截取BF=BE，則點(diǎn)F為線段BA的黃金分割點(diǎn)一、WhatisitFBA第13頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五※黃金三角形什么是黃金三角形？所謂黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比證明：角平分線定理？一、Whatisit第14頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

l1∥l2∥l3.證明？第15頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.3預(yù)備定理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.

若則ED證明？F第16頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五中位線定理三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。反之亦得第17頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五※梅涅勞斯定理（梅氏定理）當(dāng)直線交三邊所在直線

于點(diǎn)

時(shí)，GFG

拓展1第18頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五※角平分線定理三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例

拓展2在△ABC中，BD平分∠ABC，則AD：DC=AB：BC

反之亦得E證明：作DE∥BC交AB于E，則AB：BC=AE：ED又∠DBC=∠DBE，DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=∠DBE∴BE=ED∴AE：ED=AE：BE=AD：DC∴AB：BC=AD：DC第19頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五

拓展2※角平分線定理三角形的外角平分線定理：三角形的外角平分線外分對(duì)邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對(duì)應(yīng)成比例?！鰽BC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則BD︰CD=AB︰AC。第20頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五Let’spractise.例1.已知線段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm.(1)線段a、b、c、d是否是成比例的線段？解：∴a、b、c、d不是成比例的線段.(2)經(jīng)過(guò)重新排列后，以上四條線段能否是成比例的線段？解：∵12×10=120,15×8=120,∴ab=cd.

∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的線段.第21頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例2：(2)已知,且,則的值是_____________14逢比設(shè)kLet’spractise.第22頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五三、例題和練習(xí)：例1.如圖，若EF∥AB,DE∥AC,以下比例正確的有（）個(gè).A.1個(gè).B.2個(gè).C.3個(gè).D.4個(gè).C第23頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例2.已知：如圖梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD相交于O.過(guò)O作AD的平行線交AB于M，交CD于N.

求證：MO=ON.證明：∵AD∥BC,MN∥AD.MN∥BC.

在△ABC中，∵M(jìn)O∥BC.

在△DBC中，∵ON∥BC.

即MO=ON.三、例題和練習(xí)：第24頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例3.已知，如圖，在△OCE中，BD∥CE,AD∥BE.

求證：OB是OA和OC的比例中項(xiàng).證明:在△OCE中，∵BD∥CE.

在△OBE中，∵AD∥BE.

即OB2=OA·OC.

∴OB是OA和OC的比例中項(xiàng).三、例題和練習(xí)：第25頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例4、如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹(shù)立標(biāo)桿DC和FE，標(biāo)桿的高都是3丈，相隔1000步，并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標(biāo)桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端C在一直線上，從標(biāo)桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端E在一直線上．求山峰的高度AB及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD各是多少？解：∴∴

∴∴BD=30750步∴AB=753丈三、例題和練習(xí)：第26頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例5.已知：如圖△ABC中，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于F.AD=CF.

求證：證明：作DN∥BC交AC于N.

則

∵AD=CF.

在△ABC中，DN∥BC.三、例題和練習(xí)：第27頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五例5.已知：如圖△ABC中，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于F.AD=CF.

求證：另解：直線DEF截△ABC

∵AD=CF∴∴第28頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五五、練習(xí)題1、如圖已知，求證：===

證明：由合比性質(zhì)可得

兩邊同時(shí)加上1，等式依然成立，通分后即第29頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五2、如圖BD，CE是△ABC的中線，P，Q分別是BD，CE的中點(diǎn)，則PQ∶BC等于（）A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6五、練習(xí)題解：連結(jié)ED，連結(jié)DQ并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F

由中位線定理，EDBC

又Q為EC中點(diǎn)，P為BD中點(diǎn)，∴

∴FC=ED=BC，PQ=BF=（BC-FC)=BC∴PQ：BC=1：4FB第30頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五五、練習(xí)題3、在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，P為AD上一點(diǎn)，且AP＝5，BP的垂直平分線交AB、DC分別于E，F(xiàn)，Q為垂足，試求EQ：QF的值．G解：延長(zhǎng)BP、CD交于G∵ABCD是正方形∴CG∥AB，AD=CD=AB=8∴DP=3∴

又EF垂直平分BP，∴PQ=QB∴GQ=GP+PQ=PB+PB=PB

∴EQ：QF=PB：GP=PB：PB=5：11第31頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五五、練習(xí)題4、在△ABC中，AC=2AB，∠A的平分線交BC于D，過(guò)D分別作AB、AC的平行線交AC、AB于F、E，F(xiàn)E和CB的延長(zhǎng)線交予G，求證EF=FG。證明：由ED∥AC，及AD平分∠BAC，知故GF=2GE

因此EF=EG

第32頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五五、練習(xí)題*5、梯形ABCD中，AD∥BC（AD<BC），AC和BD交于M，過(guò)M作EF∥AD，交AB、CD于E、F，EC和FB交于N，過(guò)N作

GH∥AD，交AB、CD于G、H，求證：證明：

故同理故同理兩式相加，整理后得證第33頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)24分，星期五五、練習(xí)題6、如圖梯形