高中數(shù)學3-2一般形式的柯西不等式知能達標演練新人教A版選修4-5

第二節(jié)一般形式的柯西不等式一、選擇題1．設(shè)a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，則錯誤!＋錯誤!＋錯誤!的最小值為．A．9B．3D．1剖析[錯誤!2＋錯誤!2＋錯誤!2]·錯誤!≥錯誤!22即a＋b＋c錯誤!≥3又∵a＋b＋c＝3，∴錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≥3，最小值為3答案B2．已知a錯誤!＋a錯誤!＋＋a錯誤!＝1，錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＝1，則a11＋a22＋＋ann的最大值為

．A．1

B．nD．2剖析

由柯西不等式

a錯誤!＋a錯誤!＋＋a錯誤!錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤

!≥a11＋a22＋＋ann22得1·1≥a11＋a22＋＋ann，∴a11＋a22＋＋ann≤1所求的最大值為1答案

A3．已知

a，b，c為正數(shù)，則錯誤!錯誤!有

．A．最大值

9

B．最小值

9C．最大值

3

D．最小值

3剖析

錯誤!錯誤!＝錯誤!·錯誤!≥錯誤!2＝9答案B二、填空題222224．已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a＋b＋c＋d＋e＝16，則e的取值范圍為________．剖析4a2＋b2＋c2＋d2＝1＋1＋1＋1a2＋b2＋c2＋d2a＋b＋c＋d2，即416－e2≥8－e2，即64－4e2≥64－16e＋e2∴5e2－16e≥0，故0≤e≤錯誤!答案錯誤!5．設(shè)a，b∈R＋，則錯誤!與錯誤!的大小關(guān)系是________．剖析∵錯誤!＝錯誤!·錯誤!·錯誤!≥錯誤!錯誤!·1＋錯誤!·1＝錯誤!∴錯誤!≥錯誤!答案錯誤!≥錯誤!三、解答題6．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的最值．解由柯西不等式得，有2b2＋3c2＋6d2錯誤!≥b＋c＋d2，即2b2＋3c2＋6d2≥b＋c＋d2由條件可得，5－a2≥3－a2，解得，1≤a≤2當且僅當錯誤!＝錯誤!＝錯誤!時等號成立，代入b＝錯誤!，c＝錯誤!，d＝錯誤!時，ama＝2b＝1，c＝錯誤!，d＝錯誤!時，amin＝17．設(shè)a1>a2>>an>an＋1，求證：錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＋錯誤!>0證明∵a1－an＋1＝a1－a2＋a2－a3＋＋an－an＋1，[a1－a2＋a2－a3＋＋an－an＋1]·錯誤!22≥錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＋＋錯誤!·錯誤!＝n>1a1－an＋1錯誤!>1即錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!>錯誤!，故錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＋錯誤!>02228．設(shè)＋＋＝1，求函數(shù)u＝2＋3＋的最小值．解依照已知條件和柯西不等式，我們有1＝＋＋＝錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＋2221·≤錯誤!錯誤!2＋3＋錯誤!＝錯誤!·錯誤!，錯誤!＝錯誤!，錯誤!＝錯誤!，＝λ，即＝錯誤!，＝錯誤!，＝λ，代入條件＋＋＝1得λ＝