力學(xué)第十章 波動(dòng)和聲

Mechanics

力學(xué)12Chap.10WaveMotionandSound波動(dòng)和聲3

機(jī)械波(mechanicalwave)：機(jī)械振動(dòng)靠介質(zhì)內(nèi)部機(jī)制傳播

電磁波(electromagneticwave)：電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)內(nèi)的傳播形成

質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)傳遞能量和動(dòng)量

波動(dòng)(wavemotion)傳遞能量和動(dòng)量剛體－彈性體－波動(dòng)介質(zhì)4§10.1波的基本概念

(可間略)i.波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播

波動(dòng)中傳播的是振動(dòng)狀態(tài),以及動(dòng)量、能量和波形，而介質(zhì)中各質(zhì)元都在各自平衡位置附近振動(dòng),并不隨波前進(jìn)。

電磁波的傳播并不需要介質(zhì)

產(chǎn)生機(jī)械波的條件：波源，具有一定性質(zhì)的介質(zhì)。5ii.波的分類1.波(wave)：振動(dòng)在媒質(zhì)（介質(zhì)）中的傳播就是波。

2.橫波(transversewave)：介質(zhì)中各體元振動(dòng)的方向與波傳播的方向垂直。例如：一根均勻柔軟的細(xì)繩的振動(dòng)，形成的波就是橫波。67液體內(nèi)部、氣體不能產(chǎn)生剪切彈力，故液體內(nèi)部和氣體中不能傳播橫波。

3.縱波(longitudinalwave)：介質(zhì)中各體元振動(dòng)的方向與波傳播的方向平行。例如：空氣中的聲波，空氣中體元時(shí)而靠近，時(shí)而疏遠(yuǎn)。

4.表面波(Surfacewave)：在兩介質(zhì)中的界面上傳播的波。例如：水面波。8iii.波的幾何描述1.波面(waveplane)：波傳播時(shí)，同相位各點(diǎn)所組成的面。2.波前(wavefront)：離波源最遠(yuǎn)，即“最前方”的波面。3.波射線(waveradial)：與波面垂直且表明波的傳播方向的線?？臻g每點(diǎn)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)9

平面波(planewave)：波前為平面的波。波線是互相平行的。10

球面波(sphericalwave)

：波前為球面。波線是相交于波源的直線。點(diǎn)波源在均勻和各向同性的介質(zhì)中發(fā)生的波是球面波11§10.2平面簡(jiǎn)諧波方程平面簡(jiǎn)諧波：平面波傳播時(shí)，若介質(zhì)中體元均按余弦(或正弦)規(guī)律運(yùn)動(dòng)。i.

平面簡(jiǎn)諧波方程

一列平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播.坐標(biāo)原點(diǎn)O：x=0.O點(diǎn)振動(dòng)位移的表達(dá)式為重點(diǎn)：波的描述－關(guān)于空間時(shí)間的函數(shù)?。瓎紊?2經(jīng)過(guò)，x=0

處體元振動(dòng)狀態(tài)傳到x

處的體元若波沿x軸反向傳播，則

波速（相速wavespeed）v：振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度或單位時(shí)間波傳播的距離。13a.空間上的周期性(spaceperiod)t0時(shí)刻各質(zhì)元位移在空間上的分布，體現(xiàn)的是波在空間上的周期性,位移分布曲線又叫波形圖xyλ14波長(zhǎng)λ(wavelength)：沿波傳播方向相鄰?fù)辔粌牲c(diǎn)間的距離。xyλ15tyTb.時(shí)間上的周期性(timeperiod)x0處質(zhì)元的振動(dòng)方程:體現(xiàn)的是波在時(shí)間上的周期性

波動(dòng)周期T：相位傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所需的時(shí)間。16波速v

(wavespeed)

把兩種周期性聯(lián)系起來(lái)：xabyNote:1.對(duì)于橫波，若y軸刻度與實(shí)際尺寸一致，波形圖各點(diǎn)位置即各體元真實(shí)位置。2.對(duì)于縱波，波形圖并不表示各質(zhì)元的真實(shí)位置.17ii.波方程的幾種形式若原點(diǎn)處質(zhì)元初相不為零，而為，則波方程為：

只要適當(dāng)選擇坐標(biāo)原點(diǎn)或計(jì)時(shí)起點(diǎn)，總可化為=0情況

18例：將波方程化成最簡(jiǎn)形式解：⑴通過(guò)移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)，使初相等于零坐標(biāo)原點(diǎn)右移λ/6,方程化成最簡(jiǎn)形式:⑵通過(guò)改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)，使初相等于零提前T/6計(jì)時(shí),方程化成最簡(jiǎn)形式:19求（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波方程。

例：設(shè)平面簡(jiǎn)諧波的波速，沿著ox軸正方向傳播，在傳播的路徑上A點(diǎn)的振動(dòng)方程為（3）某時(shí)刻波線上Ｃ和Ｄ兩點(diǎn)間的相位差。（2）以距Ａ點(diǎn)為的Ｂ點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波方程。20解：（1）由Ａ點(diǎn)的振動(dòng)方程及，可得以Ａ為坐標(biāo)原點(diǎn)的波方程（2）若以Ｂ點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，首先寫出Ｂ點(diǎn)的振動(dòng)方程，因B點(diǎn)的相位比A點(diǎn)的相位超前，得Ｂ點(diǎn)的振動(dòng)方程21所以，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波方程

另一簡(jiǎn)單的方法是：在ox軸上任一點(diǎn)ｐ與已知振動(dòng)點(diǎn)Ａ相距為ｒ，且，則得波方程為結(jié)果相同！22(3)波線上C點(diǎn)和D點(diǎn)的相位差取A為原點(diǎn)坐標(biāo)

23解：由圖上直接讀出所以

例:設(shè)圖示為平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)刻的波形圖，求該波的波方程。已知波沿ox軸正方向傳播，且又ｔ＝０時(shí)，原點(diǎn)ｏ則24得坐標(biāo)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程波方程25*§10.3Wavefunctionandwavespeed(波動(dòng)方程與波速)不做要求,偏微分彈性縱波繩波*§10.4

Averageenergyfluxdensity平均能流密度26vi.波的反射和透射reflectionandtransmission半波損失half-wavelossApAiArZ1Z2⒈波的反射和透射(reflectionandtransmission)用Ai,Ar,Ap

分別表示入射波，反射波，透射波的振幅用Z1,Z2

分別表示介質(zhì)1和介質(zhì)2的波阻要求27反射波與入射波在同一介質(zhì)，頻率、波長(zhǎng)、波速不變；

透射波與反射波在不同介質(zhì)中，頻率雖然相同，但波速、波長(zhǎng)不同兩者關(guān)系：R+T=1若Z1,Z2相差無(wú)幾，則主要是透射，Ap≈Ai若Z1,Z2相差懸殊，則主要是反射，Ar≈Ai

反射波系數(shù)：透射波系數(shù):28⒉半波損失(half-waveloss)

波密波疏在邊界兩側(cè)介質(zhì)中，波阻大者稱為波密介質(zhì)，波阻小者稱為波疏介質(zhì)⑴波由波密介質(zhì)射向波疏介質(zhì),在邊界處，反射波與入射波相位相同,如自由端反射⑵波由波疏介質(zhì)射向波密介質(zhì)，在邊界處，反射波與入射波相位相反,可認(rèn)為反射波相位比入射波落后π,相當(dāng)損失半個(gè)波長(zhǎng)如固定端反射重點(diǎn)要求29例題：入射波方程為單位：m,s，OA=Δ=2.25m，設(shè)界面兩側(cè)介質(zhì)波阻相差懸殊，且A點(diǎn)可視為固定端，求反射波方程

oAxΔ解：界面兩側(cè)介質(zhì)波阻相差懸殊，可認(rèn)為反射波的振幅、頻率、波速、波長(zhǎng)與入射波完全相同。關(guān)鍵：求反射波原點(diǎn)的初相位30入射波在A點(diǎn)相位比O點(diǎn)落后反射波在O點(diǎn)相位比A點(diǎn)落后在固定端反射，有半波損失。即在A點(diǎn)反射波比入射波落后因此，在O點(diǎn)，反射波相位比入射波相位落后反射波原點(diǎn)的初相位反射波方程31§10.5波的疊加和干涉、駐波i、波的疊加(superpositionofwave)

波的疊加原理：兩列波相獨(dú)立的傳播，在兩列波相遇處體元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。理論上解釋：因波動(dòng)方程對(duì)于t

和x都是線性的。因此，波的疊加原理與方程的線性密切相關(guān)。若：y1

和y2是該方程的解，則y1+y2也是方程的解。32ii、波的干涉(interference)介質(zhì)中同時(shí)傳播著的兩列波相遇時(shí)，在它們重疊區(qū)域的某些點(diǎn)振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些點(diǎn)振動(dòng)始終減弱，形成穩(wěn)定的疊加圖樣，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的必要條件稱為波的相干條件(coherentcondition)。滿足波的相干條件而能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波稱為相干波。產(chǎn)生相干波的波源稱為相干波源。2.

兩列波具有相同的頻率

3.

兩列波在空間每一點(diǎn)的分振動(dòng)的相位差恒定

1.

兩列波的振動(dòng)方向相同33設(shè)兩波源S1和S2

的振動(dòng)方程各為：

假定振動(dòng)的方向都垂直于紙面，由S1、S2發(fā)出的兩列波在空間P點(diǎn)引起的振動(dòng)各為：根據(jù)波的疊加原理，P點(diǎn)的合振動(dòng)為：34在相遇區(qū)任意點(diǎn)，兩個(gè)分振動(dòng)的相位差：

1.對(duì)于連續(xù)的機(jī)械波，只要兩列波頻率相同，相位差必然恒定；但由于光源發(fā)光具有斷續(xù)性和無(wú)規(guī)則性，因此兩個(gè)獨(dú)立光源的光波，即使頻率相同，也不能保證相位差恒定。討論：其余各點(diǎn)合振幅在極大與極小之間，各點(diǎn)都有穩(wěn)定振幅2.35iii、駐波(standingwave)振幅相同、傳播方向相反的兩列簡(jiǎn)諧相干波疊加得到的振動(dòng)，稱為駐波。設(shè)彈性弦上傳播著具有相同的振幅、相反傳播方向的兩波，它們的運(yùn)動(dòng)方程為要求36兩波相遇處體元的合位移為即為駐波方程

駐波特點(diǎn)a.振幅分布(amplitudedistribution)振幅,按余弦規(guī)律隨x作周期性分布這些點(diǎn)稱為波節(jié)(node)37相鄰波節(jié)距離振幅最大，為2A,這些點(diǎn)為波腹(antinode)。相鄰波腹距離相鄰波節(jié)或波腹間距離為,相鄰波節(jié)波腹間距離為xyλ/4λ/238b.相位分布(phasedistribution)各體元的振動(dòng)相位與的正負(fù)有關(guān)(1).相鄰波節(jié)相鄰波節(jié)之間的體元具有相同的相位39(2).相鄰波腹相鄰波腹的體元具有相反的相位40在波節(jié)兩側(cè)，體元振動(dòng)相位相反。c.能量分布(energydistribution)各體元達(dá)最大位移時(shí)，動(dòng)能為零，勢(shì)能最大且集中在波節(jié)各體元達(dá)平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能最大且集中在波腹能量總是在波節(jié)與波腹間轉(zhuǎn)移，無(wú)定向傳播。xy不做要求41d.弦與空氣柱的駐波振動(dòng)⒈弦的振動(dòng)(chordalvibration)弦的兩端都是固定的，反射波與入射波形成駐波時(shí)，弦兩端都是波節(jié)。弦長(zhǎng)l與波長(zhǎng)λ的關(guān)系是：弦的振動(dòng)頻率：在弦上可以形成的駐波振動(dòng)叫弦的本征振動(dòng)或固有振動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率叫弦的本征頻率或固有頻率(eigenfrequency)不做要求42弦的固有頻率除取決于弦長(zhǎng)、張力、線密度外，還要由整數(shù)n決定，所以只能是一些不連續(xù)的數(shù)值n=1時(shí)的固有頻率最低，稱為基頻，對(duì)應(yīng)的波稱為基波n=2,3,…時(shí)的頻率均為基頻的整數(shù)倍，稱為諧頻，對(duì)應(yīng)的波稱為諧波，分別稱為第一諧波，第二諧波…不做要求43⒉空氣柱的振動(dòng)空氣柱的駐波振動(dòng)是由縱波形成的，一般，空氣柱的一端封閉，一端敞開,封閉端是波節(jié)（位移恒等于零）敞開端是波腹（體元不發(fā)生形變）。固有振動(dòng)波長(zhǎng)：固有振動(dòng)頻率：n=1，給出基波波長(zhǎng)和頻率n=3,5,…，給出第一、第二……諧波波長(zhǎng)和頻率不做要求44§10-6

多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)(Dopplereffect)

：由于波源或觀察者的運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)觀測(cè)頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象。要求45觀測(cè)者速度vo：觀測(cè)者對(duì)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度，可正可負(fù)波速v:振動(dòng)狀態(tài)相對(duì)介質(zhì)的傳播速度，一般只與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān),與波源無(wú)關(guān).可規(guī)定波速v的方向?yàn)檎ㄔ此俣葀s：波源相對(duì)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度，可正可負(fù)波源頻率：波源單位時(shí)間的振動(dòng)次數(shù)，也就是波源單位時(shí)間發(fā)出的波數(shù)觀測(cè)頻率：觀測(cè)儀器單位時(shí)間的振動(dòng)次數(shù)，也就是單位