2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)7　單調(diào)性與最大(小)值

課時(shí)分層作業(yè)(七)單調(diào)性與最大(小)值一、選擇題1．(2021·全國(guó)甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A．f(x)＝－x B．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))xC．f(x)＝x2 D．f(x)＝eq\r(3,x)D[如圖，在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象，即可快速直觀判斷D項(xiàng)符合題意．故選D.]2．函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A．eq\f(3,2)B．－eq\f(8,3)C．－2D．2A[函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值為f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故選A.]3．(2021·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，則“函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件A[前推后，一定成立．后推前，若f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，找反例，開(kāi)口向上對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(1,4)的二次函數(shù)．]4．(2021·濰坊中學(xué)模擬)定義在[－2，2]上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，則實(shí)數(shù)aA．[－1，2) B．[0，2)C．[0，1) D．[－1，1)C[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函數(shù)f(x)在[－2，2]上單調(diào)遞增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)在區(qū)間(1，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．單調(diào)遞減 D．單調(diào)遞增D[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸x＝a應(yīng)當(dāng)位于區(qū)間(－∞，1)內(nèi)，即a<1，又g(x)＝eq\f(f（x）,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，所以當(dāng)a<0時(shí)，g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，此時(shí)，g(x)min>g(1)＝1－a>1；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝x在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，此時(shí)，g(x)min>g(1)＝1；當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝1－eq\f(a,x2)>1－a>0，所以g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)，g(x)min>g(1)＝1－a.綜上，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．]6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋1，x≥0，,\f(3a,2x＋2)，x＜0))在x0(x0∈(0，＋∞))處取得最小值，且f(－x0)＜6a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{4} B．[4，6]C．[1，2] D．[1，6)D[由題意知f(x)的最小值在(0，＋∞)上取得，所以x0＝eq\f(a,2)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝eq\f(3a,2x＋2)＞eq\f(3a,4)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－ax＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋1－eq\f(a2,4)≥1－eq\f(a2,4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－\f(a2,4)≤\f(3a,4)))，解得a≥1.因?yàn)閒(－x0)＜6a，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＜6a，即eq\f(3a,2eq\s\up10(－eq\f(a,2)＋2))＜6a，整理得2eq\s\up10(－eq\f(a,2)＋2)＞eq\f(1,2)，故－eq\f(a,2)＋2＞－1，解得a＜6.綜上，1≤a＜6，故選D.]7．(2021·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x＞0，,－x2，x≤0.))若a＝50.01，b＝eq\f(3,2)log32，c＝log30.9，則有()A．f(b)＞f(a)＞f(c) B．f(c)＞f(a)＞f(b)C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(a)＞f(b)＞f(c)D[當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex－e－x單調(diào)遞增，且f(0)＝0；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－x2單調(diào)遞增，且f(0)＝0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閍＝50.01＞1，0＜b＝log32eq\r(2)＜1，c＝log30.9＜0，所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).]8．(2021·山東濰坊模擬)定義運(yùn)算?：①?m∈R，m?0＝0?m＝m；②?m，n，p∈R，(m?n)?p＝p?(mn)＋m?p＋n?p.若f(x)＝ex－1?e1－x，則有()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)的最小值為2D．f(2eq\s\up10(\f(2,3)))＞f(2eq\s\up10(\f(3,2)))A[依題意，f(x)＝ex－1?e1－x＝(ex－1?e1－x)?0＝e0＋ex－1＋e1－x＝ex－1＋e1－x＋1，故f(1－x)＝e－x＋ex＋1，f(1＋x)＝ex＋e－x＋1，即f(1－x)＝f(1＋x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，故A正確．f(x)＝ex－1＋e1－x＋1＝ex－1＋eq\f(1,ex－1)＋1，可以看出它是由y＝u＋eq\f(1,u)＋1，u＝ex－1復(fù)合而成的，當(dāng)x＜1時(shí)，u＝ex－1單調(diào)遞增，且u∈(0，1)，此時(shí)y＝u＋eq\f(1,u)＋1單調(diào)遞減，故y＝f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，u＝ex－1單調(diào)遞增，且u∈(1，＋∞)，此時(shí)y＝u＋eq\f(1,u)＋1單調(diào)遞增，故y＝f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤．根據(jù)對(duì)B項(xiàng)的分析知，y＝f(x)在x＝1時(shí)取得最小值f(1)＝e0＋e0＋1＝3，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?＜2eq\s\up10(\f(2,3))＜2eq\s\up10(\f(3,2))，所以根據(jù)f(x)的單調(diào)性知f(2eq\s\up10(\f(2,3)))＜f(2eq\s\up10(\f(3,2)))，故D錯(cuò)誤．故選A.]二、填空題9．函數(shù)f(x)＝x＋eq\r(x－1)的最小值為_(kāi)_______．1[(單調(diào)性法)因?yàn)楹瘮?shù)y＝x和y＝eq\r(x－1)在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)y取最小值，ymin＝1.]10．若函數(shù)y＝|2x＋c|是區(qū)間(－∞，1]上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．(－∞，－2][由函數(shù)y＝|2x＋c|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋c，x≥－\f(c,2)，,－2x－c，x<－\f(c,2)，))得函數(shù)y＝|2x＋c|在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(c,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．由題知，函數(shù)y在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)，所以－eq\f(c,2)≥1，解得c≤－2.]11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x＜1，))則f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________.02eq\r(2)－3[因?yàn)閒(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，所以f[f(－3)]＝f(1)＝1＋2－3＝0.當(dāng)x≥1時(shí)，x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(x·\f(2,x))－3＝2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\r(2)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當(dāng)x<1時(shí)，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此時(shí)f(x)min＝0.所以f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.]三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值為g(a)，求g(a)的最小值．[解]f(x)＝ax－eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，f′(x)＝a＋eq\f(1,ax2)>0，∴f(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，∴f(x)max＝f(1)＝a＋eq\f(1,a)，∴g(a)＝a＋eq\f(1,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,a)，即a＝1時(shí)等號(hào)成立，∴g(a)的最小值為2.13．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，?x2∈[2，3]使得f(x1)≥g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))時(shí)，f(x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)min＝4；當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g(x)為增函數(shù)，故g(x)min＝22＋a＝4＋a.依題意可得f(x)min≥g(x)min，解得a≤0.1．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝eq\f(f（x）,x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，那么稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為()A．[1，＋∞) B．[0，eq\r(3)]C．[0，1] D．[1，eq\r(3)]D[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增．又因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，eq\f(f（x）,x)＝eq\f(1,2)x－1＋eq\f(3,2x)，令g(x)＝eq\f(1,2)x－1＋eq\f(3,2x)(x≥1)，則g′(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2x2)＝eq\f(x2－3,2x2)，由g′(x)≤0得1≤x≤eq\r(3)，即函數(shù)eq\f(f（x）,x)＝eq\f(1,2)x－1＋eq\f(3,2x)在區(qū)間[1，eq\r(3)]上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，eq\r(3)].]2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.[解](1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，則x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．3．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間[m，n]?D，同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①f(x)在[m，n]上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f(x)的值域也是[m，n]，則稱(chēng)[m，n]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．試判斷下列四個(gè)函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”？①f(x)＝x3；②f(x)＝3－eq\f(2,x)；③f(x)＝ex－1；④f(x)＝lnx＋2.[解]對(duì)于①，f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，若存在區(qū)間[m，n]，m＜n，使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m3＝m，,n3＝n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝0或1))或eq\b\