函數(shù) 連續(xù) 極限(黃玉娟)課件

函數(shù)極限連續(xù)山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室一、知識要點(diǎn)二、典型例題1、函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立2、函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性3、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù)4、數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限一、知識要點(diǎn)6、極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限

7、函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、間斷點(diǎn)的類型8、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)5、無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較

（1）常用等價(jià)無窮小:時(shí),(I)和差取低規(guī)則:

若=o(),(II)和差代替規(guī)則:

例如則若不等價(jià)，若且時(shí)，與（2）無窮小替換原則:則①

②

則5、洛必達(dá)法則（適用于未定式的極限）洛必達(dá)法則通分、變型6、Talor公式（常用的是帶佩亞諾型的麥克勞林公式）泰勒公式(麥克勞林公式)（ii）單調(diào)下降，9、利用Stolz定理求極限（主要用于數(shù)列極限）結(jié)論1:設(shè)（i）且則（iii）10、利用冪級數(shù)求和（主要用于數(shù)列極限）11、利用極限存在的充要條件（出現(xiàn)絕對值函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分趨近于正負(fù)無窮時(shí)）12、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限13、利用無窮小的性質(zhì)求極限例2.求極限解:因?yàn)橐驗(yàn)樗岳?.求極限解:原式=例3.求極限或利用重要極限原式=而例3.求極限或利用指數(shù)函數(shù)原式=例4.

設(shè)解:由于例6.求極限解:因?yàn)橐驗(yàn)榱钏詮亩鳶tolz*定理顯然，，且單調(diào)上升例7.設(shè)且求Stolz*定理令所以顯然，，且單調(diào)上升解:因?yàn)樗詮亩?由夾逼準(zhǔn)則可知(1998考研)

例9.求夾逼準(zhǔn)則例10.求極限解:原式=的Taylor展開式再證數(shù)列有下界有下界.單調(diào)不增且非負(fù)，所以數(shù)列收斂.例12.求極限解:原式=例14.

計(jì)算下列極限：

（1）解：考慮級數(shù)利用根植審斂法可得，顯然，因此其前n項(xiàng)和有界，所以，從而級數(shù)收斂，（2）解：極限化簡為只需求出級數(shù)的和，考慮級數(shù)x＝±1時(shí)級數(shù)發(fā)散,下面求冪級數(shù)的和函數(shù)容易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,得收斂域?yàn)樵O(shè)令兩邊積分得兩邊求導(dǎo)得從而所以，因此，原極限=例15.

設(shè)解：求極限原式=等價(jià)無窮大概念：如果則(1)當(dāng)時(shí)，稱和是時(shí)的等價(jià)無窮大，記作(2)當(dāng)時(shí)，的高階無窮大，稱為時(shí)關(guān)于的低階無窮大.或?yàn)闀r(shí)關(guān)于相關(guān)結(jié)論：則(1)(2)的高階無窮大，若為時(shí)關(guān)于若和是時(shí)的等價(jià)無窮大，則是曲線y=f(x)水平漸近線.①水平漸