柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

關(guān)于柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第1頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五第一節(jié)柱面認識柱面第2頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線.設(shè)柱面的準線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準線上一點，則過點M1的母線方程為第3頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。第4頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五柱面舉例拋物柱面平面第5頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為xoy面上曲線C.第6頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五定理一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面。齊次方程：設(shè)λ為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點（虛錐面）第7頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五第二節(jié)錐面認識錐面第8頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。2、錐面的方程設(shè)錐面的準線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準線上任一點，則錐面過點M1的母線為：第9頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準線為的錐面的方程。答：（二次錐面）第10頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面認識旋轉(zhuǎn)曲面第11頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五旋轉(zhuǎn)曲面一、定義:

以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線第12頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五Logo所以過M1的緯圓的方程為：當點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第13頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。第14頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。第15頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五三、母線在坐標面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

第16頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即第17頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五規(guī)律：當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。有規(guī)律，更容易！第18頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五解

圓錐面方程第19頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.第20頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五例3

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）第21頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。第22頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）第23頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五第四節(jié)二次曲面認識二次曲面第24頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第25頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五CompanyLogozoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1用平面z=0去截割,得橢圓第26頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五CompanyLogo3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.第27頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.第28頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五CompanyLogo與平面的交線為橢圓.當變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.第29頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點的直線.第30頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五截痕為一對相交于點的直線.（3）用坐標面，與曲面相截均可得雙曲線.第31頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五單葉雙曲面圖形

xyoz平面的截痕是兩對相交直線.第32頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五雙葉雙曲面xyo第33頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標面與曲面相截截得一點，即坐標原點設(shè)原點也叫橢圓拋物面的頂點.第34頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五與平面的交線為橢圓.當變動時，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.（2）用坐標面與曲面相截截得拋物線第35頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點（3）用坐標面，與曲面相截均可得拋物線.同理當時可類似討論.第36頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：第37頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五特殊地：當時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.當變動時，這種圓的中心都在軸上.第38頁，共41頁，2022年，5月20日，3點32分，星期五（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設(shè)圖形如下：xyzo第39頁，共41頁，20