高等數(shù)學(xué)課件：第8章第12節(jié)

第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的概念1.平面點集：2.鄰域：為一個平面點集，它是一個圓的內(nèi)部.一、平面區(qū)域的有關(guān)概念、

n維空間平面點集稱為點P0的鄰域.說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點P0

的去心鄰域記為(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有平面點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E的外點,則稱點P為E

的內(nèi)點.則稱點P為E

的外點則稱點P為E

的邊界點.顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,

E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E.3.區(qū)域若對點P

的任意去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,

則稱點P

是E

的聚點.(1)內(nèi)點一定是聚點；幾點說明：(2)邊界點可能是聚點;(0,0)既是邊界點也是聚點．(0,0)是聚點但不屬于點集．而邊界上的點是聚點且屬于點集．(3)點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．(2)聚點E若平面點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集.若平面點集E

E

,則稱E

為閉集.

若點集E

中任意兩點都可用一完全屬于E的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱E

是連通的.連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域.。。(3)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域例如，在平面上對于平面點集E

如果存在某一正數(shù)r

使得EU(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點則稱平面點集E為有界點集

否則稱為無界點集

點集{(x

y)|xy0}是無界閉區(qū)域

點集{(x

y)|xy0}是無界開區(qū)域

點集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區(qū)域

(4)有界集與無界集例如n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的一稱為該點的第k

個坐標(biāo).個點,

4.n

維空間n維空間中兩點間距離公式注：

n維空間中鄰域、區(qū)域、內(nèi)點、邊界點、聚點等概念類似平面上的定義.

特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．例鄰域：設(shè)兩點為引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式二、多元函數(shù)的概念1.二元函數(shù)的定義注:(1)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．其中，x、y稱為自變量，z稱為因變量。點集D稱為函數(shù)的定義域。函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)集Z稱為函數(shù)z=f(x,y)的值域當(dāng)x=a及y=b時，函數(shù)z的對應(yīng)值記為或或所求定義域為2.二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用第二節(jié)二元函數(shù)的極限與連續(xù)一、二元函數(shù)的極限2.有關(guān)極限的幾點說明：(3)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．

3.幾何意義：在點P0(x0,y0)的去心鄰域內(nèi)的曲面z=f(x,y)介于兩平面與之間。例2、求極限

例3、證明不存在．

其值隨k的不同而變化，注：確定極限不存在的方法例4、證明不存在．