人教版2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊《新定義與數(shù)字類規(guī)律探究問題》專項含答案解析

【講練課堂】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題1.17新定義與數(shù)字類規(guī)律探究問題（重難點培優(yōu)）一．解答題（共24小題）1．（2021秋?北京期中）對于有理數(shù)a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，則稱a和b關(guān)于n的“相對關(guān)系值”為d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，則2和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為3．（1）﹣3和5關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為8；（2）若a和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為4，求a的值．【分析】（1）根據(jù)“相對關(guān)系值”的定義直接列式計算即可；（2）根據(jù)“相對關(guān)系值”的定義列出關(guān)于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由題意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案為8；（2）由題意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2022春?梁溪區(qū)校級期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，18）＝﹣3，則x＝2（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【分析】（1）①根據(jù)有理數(shù)的乘方及新定義計算；②根據(jù)新定義和負整數(shù)指數(shù)冪計算；（2）根據(jù)題意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，根據(jù)5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案為：4，5；（2）根據(jù)題意得：x﹣3=1∴1x∴x＝2，故答案為：2；（3）a+b＝c，理由如下：根據(jù)題意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a?4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2022春?洪澤區(qū)期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，18）＝﹣3（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．請你用這種方法證明下面這個等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根據(jù)定義直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，18）＝﹣3（2）設(shè)（3，4）＝x，（3，5）＝y(tǒng)，則3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x?3y，＝20，從而求解．【解答】（1）解：因為32＝9，所以（3，9）＝2；因為40＝1，所以（4，1）＝0；因為2﹣3=18，所以（2，18故答案為：2，0，﹣3；（2）證明：設(shè)（3，4）＝x，（3，5）＝y(tǒng)，則3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x?3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2022春?東臺市期中）對于任意有理數(shù)a、b、c、d，我們規(guī)定符號（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）?（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）?（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）?（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根據(jù)（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc+2，先將所求式子化簡，然后再根據(jù)a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化簡后的式子計算即可．【解析】（1）∵（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）?（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）?（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2022春?羅山縣期中）觀察下列兩個等式：2-13=2×13+1，5-23=5×23+1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝ab（1）判斷數(shù)對（﹣2，1），(3，12)（2）若（a，3）是“共生有理數(shù)對”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理數(shù)對”，則（﹣n，﹣m）是（填寫“是”或“不是”）“共生有理數(shù)對”，說明你的理由．【分析】（1）先判斷，然后根據(jù)題目中的新定義，可以判斷（﹣2，1），(3（2）根據(jù)新定義可得關(guān)于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根據(jù)共生有理數(shù)對的定義對（﹣n，﹣m）變形即可判斷．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理數(shù)對“，（3，12理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理數(shù)對“，∵3-12=52，∴（3，12故答案為：(3（2）由題意，得a﹣3＝3a+1，解得：a＝﹣2；（3）是，理由：∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理數(shù)對．故答案為：是．6．（2021秋?成武縣期中）【概念學(xué)習(xí)】現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a?÷a︸n個a（【初步探究】（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝12，（-12）④＝（2）下列關(guān)于除方說法中，錯誤的是：C．A：任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B：對于任何正整數(shù)n，1?＝1C：3④＝4③D：負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：（﹣3）⑤＝（-13）3，（15）⑥＝5（4）想一想：請把有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為a?＝（1a）n﹣2．（5）算一算：122÷(-1【分析】（1）根據(jù)規(guī)定運算，直接計算即可；（2）根據(jù)圈n次方的意義，計算判斷得結(jié)論；（3）根據(jù)題例的規(guī)定，直接寫成冪的形式即可；（4）根據(jù)圈n次方的規(guī)定和（3）的結(jié)果，綜合可得結(jié)論；（5）先把圈n次方轉(zhuǎn)化成冪的形式，利用有理數(shù)的混合運算，計算求值即可．【解析】（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2=1（-12）④＝（-12）÷（-12）÷（-12）÷（-1故答案為：12，4（2）∵3④＝3÷3÷3÷3=19，4③＝4÷4÷4∴3④≠4③．故選：C．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（-13）×（-13）×（-1（15）⑥＝（15）÷（15）÷（15）÷（15）÷（15）÷（15）＝1×5×5×故答案為：（-13）3，5（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×1a×1a×?×1故答案為：（1a）n﹣2（5）原式＝＝122÷32×（12）4﹣34÷3＝24×32÷32×（12）4﹣＝1﹣3＝﹣2．故答案為：﹣2．7．（2018秋?長葛市期中）材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘：a?a?a︸n個記為an．如23＝8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381＝4）．問題：（1）計算以下各對數(shù)的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式為4×16＝64log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式：log24+log216＝log264（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？logaM+logaN＝MN（a＞o且a≠1，M＞0，N＞0）．【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認真觀察，不難找到規(guī)律：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN＝logaMN．【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，故答案為：2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案為：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝logaMN，故答案為：MN．8．（2022春?邗江區(qū)校級月考）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n個a，a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝12，(-12（2）將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式：5⑥＝154；(-12（3）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為1an（4）算一算：42×(-【分析】根據(jù)新定義內(nèi)容列出算式，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法和乘方的運算法則進行化簡計算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(-12)③=（-12）÷（（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(（3）a?＝a÷a÷a……÷a=1（4）原式＝16×9＝144．9．（2020秋?滕州市期末）如果xn＝y(tǒng)，那么我們記為：（x，y）＝n．例如32＝9，則（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝3，（2，14）＝﹣2（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）這個定義括號內(nèi)第一個數(shù)為底數(shù)，第二個數(shù)為冪，結(jié)果為指數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘方及負整數(shù)指數(shù)冪的計算即可；（2）根據(jù)定義先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因為23＝8，所以（2，8）＝3；因為2﹣2=1所以（2，14）＝﹣2故答案為：3，﹣2；（2）根據(jù)題意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因為24＝16，所以（2，16）＝4．答：（b，a）的值為4．10．（2021秋?六合區(qū)期中）類比有理數(shù)的乘方，我們把求若干個相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運算叫做除方，記作a?，讀作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，記作2③，讀作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝12，（-12）④＝（2）除方也可以轉(zhuǎn)化為冪的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（12）2．試將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝（13）2；（12）⑩＝28（3）計算：22×（-13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）【分析】（1）根據(jù)除方的定義計算即可；（2）把除法轉(zhuǎn)化為乘法即可得出答案；（3）根據(jù)除方的定義計算即可．【解析】（1）2÷2÷2=1（-12）÷（-12）÷（-12）÷（-12）＝故答案為：12，4（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（-13）×（-13）＝（12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷1a÷a÷a÷?÷a︸故答案為：(13)2，2（3）原式=＝4×9×（﹣2）﹣1＝﹣72﹣1＝﹣73．11．（2020秋?海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M(n)（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）與M（n+1）的關(guān)系并說明理由．【分析】（1）根據(jù)已知算式即可進行計算；（2）結(jié)合（1）將算式變形即可說明2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【解析】（1）2M（2018）+M（2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)，理由如下：因為2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，所以2M（n）＝﹣M（n+1），所以2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．12．（2019秋?崇川區(qū)校級期中）如果2b＝n，那么稱b為n的布谷數(shù)，記為b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．（1）根據(jù)布谷數(shù)的定義填空：g（2）＝1，g（32）＝5．（2）布谷數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m，n為正數(shù)，則g（mn）＝g（m）+g（n），g（mn）＝g（m）﹣g（n根據(jù)運算性質(zhì)填空：g(a4)g(若g（7）＝2.807，則g（14）＝3.807，g（74）＝0.807（3）下表中與數(shù)x對應(yīng)的布谷數(shù)g（x）有且僅有兩個是錯誤的，請指出錯誤的布谷數(shù)，要求說明你這樣找的理由，并求出正確的答案（用含a，b的代數(shù)式表示）x3162336927g（x）1﹣4a+2b1﹣2a+b2a﹣b3a﹣2b4a﹣2b6a﹣3b【分析】（1）g（32）＝g（25）＝5；g（32）＝g（25）＝5；（2）g(a4)g(a)=g(a?a?a?a)g(a)=4g(a)g(a)（3）g（316）＝g（3）﹣4，g（23）＝1﹣g（3），g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），g（9）＝2g（3），g（27）＝3g（3），當(dāng)g（【解析】（1）g（2）＝g（21）＝1，g（32）＝g（25）＝5；故答案為1，5；（2）g(ag（14）＝g（2×7）＝g（2）+g（7），∵g（7）＝2.807，g（2）＝1，∴g（14）＝3.807；g（74）＝g（7）﹣g（4g（4）＝g（22）＝2，∴g（74）＝g（7）﹣g（4）＝2.807﹣2＝0.807故答案為4，3.807，0.807；（3）g（316）＝g（3）﹣4g（23）＝1﹣g（3g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），g（9）＝2g（3），g（27）＝3g（3），從表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（316）和g（6∴g（316）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b13．（2020秋?凌河區(qū)校級期中）閱讀計算：閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三個問題：（1）驗證：（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通過上述驗證，歸納得出：（ab）n＝anbn；（abc）n＝anbncn．（3）請應(yīng)用上述性質(zhì)計算：（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括號內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；③根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計算，再根據(jù)積的乘方計算，即可得出答案．【解析】①：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案為：1，1．②（a?b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案為：anbn，（abc）n＝anbncn．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋?高郵市校級月考）回答下列問題：（1）填空：①（2×3）2＝36；22×32＝36②（-12×8）2＝16；（-12）2×8③（-12×2）3＝﹣1；（-12）3×2（2）想一想：（1）中每組中的兩個算式的結(jié)果是否相等？是（填“是”或“不是”）．（3）猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時，（ab）n＝anbn．（4）試一試：（112）2017×（-23）2017＝﹣【分析】根據(jù)已知條件進行計算，然后歸納結(jié)論即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案為36，36；②（-12×8）2＝（﹣4）2＝16，（-12）2×82故答案為16，16；③（-12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（-12）3×23故答案為﹣1，﹣1；（2）答案為是．（3）答案為anbn；（4）：（112）2017×（-2＝[32×（-2＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案為﹣1．15．（2017秋?興化市月考）定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n）．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（10）＝1，d（102）＝2那么：d（103）＝3．（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m，n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n）；d（mn）＝d（m）﹣d（n根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d(25)若d（3）＝0.48，則d（9）＝0.96，d（0.3）＝﹣0.52．【分析】（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知d（10b）＝b，即可得解；（2）根據(jù)勞格數(shù)的運算性質(zhì)，d（mn）＝d（m）+d（n），計算d（25）＝d（2）+d（2）+d（2）+d（2）+d（2），再求約分即可；根據(jù)勞格數(shù)的運算性質(zhì)，d（9）＝d（3×3）＝d（3）+d（3），再將d（3）的值代入即可；根據(jù)勞格數(shù)的運算性質(zhì)，d（0.3）＝d（310）＝d（3）﹣d（10），再代入d（3）和d（10【解析】（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知d（103）＝3，故答案為：3；（2）根據(jù)題意，得：d（25）＝d（2）+d（2）+d（2）+d（2）+d（2），∴d(2d（9）＝d（3×3）＝d（3）+d（3）＝0.48+0.48＝0.96；d（0.3）＝d（310）＝d（3）﹣d（10）＝0.48﹣1＝﹣0.52故答案為：5；0.96；﹣0.52．16．（2022春?阜寧縣校級月考）規(guī)定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）=(-2)×(-2)×(-2)×?(-2)（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【分析】（1）根據(jù)新定義的法則及有理數(shù)乘法的法則進行計算即可；（2）根據(jù)新定義的法則進行計算，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)新定義的法則分別計算2×M（n）與M（n+1），即可得出結(jié)果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M（2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1與（﹣2）n+1互為相反數(shù)，∴2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．17．（2021秋?高郵市期中）小聰是一個聰明而又富有想象力的孩子．學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學(xué)知識，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）．（1）直接寫出計算結(jié)果，f（4，12）＝4，f（5，3）＝127（2）關(guān)于“有理數(shù)的除方”下列說法正確的是②．（填序號）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③對于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1；④對于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請推導(dǎo)出“除方”的運算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導(dǎo)過程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）（4）請利用（3）問的推導(dǎo)公式計算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1【分析】（1）根據(jù)題意計算即可；（2）①分別計算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進行比較即可；②根據(jù)題意計算即可判斷；③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計算即可判斷；④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個a相除，結(jié)果應(yīng)為正；（3）推導(dǎo)f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可；（4）按照上題的推導(dǎo)式可以將算式中的每一部分表示出來再計算．【解析】（1）f（4，12）=1f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=1故答案為：4；127（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6∴f（6，3）≠f（3，6），故錯誤；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確；③對于任何正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時，f（n，﹣1）＝﹣1；當(dāng)n為偶數(shù)時，f（n，﹣1）＝1．故錯誤；④對于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯誤；故答案為：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2（4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1=127×9×（=-18．（2020秋?諸暨市期中）閱讀下列材料：|x|=x，x＞00，x（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時，求a|（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時，求a|（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求b+【分析】（1）對a、b進行討論，即a、b同正，a、b同負，a、b異號，根據(jù)絕對值的意義計算a|（2）對a、b、c進行討論，即a、b、c同正、同負、兩正一負、兩負一正，然后計算a|（3）根據(jù)a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，把求b+c|a|+a【解析】（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時，①a＜0，b＜0，a|a|+b|②a＞0，b＞0，a|a|+③a，b異號，a|a故a|a|+b（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時，①a＜0，b＜0，c＜0，a|a|+b|b|②a＞0，b＞0，c＞0，a|a|+③a，b，c兩負一正，a|a|+b|④a，b，c兩正一負，a|a|+故a|a|+b（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c兩正一負，所以b=-＝﹣[a|＝﹣1．19．（2020秋?泗洪縣校級月考）用符號M表示一種運算，它對整數(shù)和分數(shù)的運算結(jié)果分別如下：M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…M（12）=-14，M（13）=-1利用以上規(guī)律計算：（1）M（28）×M（15（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（16）]【分析】（1）根據(jù)M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根據(jù)M（12）=-14，M（13）=-19，M（14）=（2）根據(jù)M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根據(jù)M（12）=-14，M（13）=-19，M（14）=【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（15）2]＝25×（-125（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（16）2＝﹣1×1＝﹣1．20．（2019秋?曲靖期末）閱讀理解：李華是一個勤奮好學(xué)的學(xué)生，他常常通過書籍、網(wǎng)絡(luò)等渠道主動學(xué)習(xí)各種知識．下面是他從網(wǎng)絡(luò)搜到的兩位數(shù)乘11的速算法，其口訣是：“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”例如：①24×11＝264．計算過程：24兩數(shù)拉開，中間相加，即2+4＝6，最后結(jié)果264；②68×11＝748．計算過程：68兩數(shù)分開，中間相加，即6+8＝14，滿十進一，最后結(jié)果748．（1）計算：①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某個兩位數(shù)十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b（a+b＜10），將這個兩位數(shù)乘11，得到一個三位數(shù)，則根據(jù)上述的方法可得，該三位數(shù)百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個位數(shù)字是b；（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）請你結(jié)合（2）利用所學(xué)的知識解釋其中原理．【分析】（1）根據(jù)口訣：“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”即可求解；（2）由（1）兩位數(shù)十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，將這個兩位數(shù)乘11，得到一個三位數(shù)即可得結(jié)果；（3）結(jié)合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案為352，858．（2）兩位數(shù)十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，這個兩位數(shù)乘11，∴三位數(shù)百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是a+b，個位數(shù)字是b．故答案為：a，a+b，b．（3）兩位數(shù)乘以11可以看成這個兩位數(shù)乘以10再加上這個兩位數(shù)，若兩位數(shù)十位數(shù)為a，個位數(shù)為b，則11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根據(jù)上述代數(shù)式，可以總結(jié)出規(guī)律口訣為：“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”．21．（2021秋?魏都區(qū)校級期中）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道|2|＝|2﹣0|，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)2的點與原點（即表示0的點）之間的距離，|5﹣2|可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離：|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．（1）數(shù)軸上表示3和﹣1的兩點之間的距離的式子是|3﹣（﹣1）|．（2）探索：①若|x﹣4|＝3，則x＝1或7．②若使x所表示的點到表示4和﹣1的點的距離之和為5．所有符合條件的整數(shù)為4、3、2、1、0、﹣1．（3）進一步探究：|x+1|+|x﹣6|的最小值為7．（4）能力提升：當(dāng)|x+1+|x﹣4+|x﹣9|的值最小時，x的值為4．【分析】（1）根據(jù)材料可得結(jié)果；（2）①根據(jù)材料判斷式子的意義，然后得出x的值；②根據(jù)距離可直接得到x的取值；（3）通過材料及前兩問的解答可知|x+1|+|x﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；（4）通過材料及前幾問的解答可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距離之和，式子有最小值時，x＝4．【解析】（1）根據(jù)材料可得：數(shù)軸上表示3和﹣1的兩點之間的距離的式子是|3﹣（﹣1）|；故答案為：|3﹣（﹣1）|；（2）①根據(jù)材料可知|x﹣4|＝3中x表示到﹣4的距離等于3的點對應(yīng)的數(shù)，∴x＝1或7；故答案為：1或7；②由題意可知x所表示的整數(shù)為4、3、2、1、0、﹣1；故答案為：4、3、2、1、0、﹣1；（3）根據(jù)材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距離之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值為7；故答案為：7；（4）根據(jù)材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距離之和，∴當(dāng)x＝4時，式子有最小值；故答案為：4．22．（2018秋?雄縣期中）已知點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b．（1）對照數(shù)軸填寫下表：a4﹣6﹣6﹣10﹣1.5b60﹣42﹣1.5A、B兩點的距離262120（2）若A，B兩點間的距離記為d，試問d和a，b（a≤b）有何數(shù)量關(guān)系；（3）寫出數(shù)軸上到﹣1和1的距離之和為2的所有整數(shù)；（4）若x表示一個有理數(shù)，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化簡可得d＝b﹣a；（3）設(shè)數(shù)軸上一點為x，由﹣1與1的距離為2，可確定﹣1≤x≤1，求出符合條件的整數(shù)x即可；（4）由1與﹣3的距離為4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值為4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，則AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，則AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，則AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案為：6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）設(shè)數(shù)軸上一點為x，∵數(shù)軸上點x到﹣1和1的距離之和為2，∴