人教A版新教材必修第一冊《4.4.3 不同函數(shù)增長的差異》教案（定稿）

4.4.3不同函數(shù)增長的差異學習目標1.了解常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義.3.能根據具體問題選擇合適的函數(shù)模型．導語同學們，等你們大學畢業(yè)了，顯然要面對一個現(xiàn)實的問題，那就是如何使你的收入最大化，如果你現(xiàn)在手里有一筆資金可以用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報是這樣的：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？為了解決這個問題，讓我們一起開始今天的探究吧！一、幾個函數(shù)模型增長差異的比較問題1結合之前所學，請同學們自行閱讀課本136頁～138頁，同桌之間可以相互討論，5分鐘后檢查討論結果．提示通過對y＝2x與y＝2x的比較我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝2x的增長速度保持不變，函數(shù)y＝2x的增長速度在變化，而且增長速度越來越快，雖然函數(shù)y＝2x在一定范圍內比函數(shù)y＝2x增長快些，但存在一個x0，當x>x0時，總有2x>2x，即使一次函數(shù)y＝kx(k>0)，k的值遠遠大于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度．通過對函數(shù)y＝lgx與y＝eq\f(1,10)x的比較我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝eq\f(1,10)x的增長速度保持不變，函數(shù)y＝lgx的增長速度在變化，而且增長速度越來越慢，雖然函數(shù)y＝lgx在一定范圍內比函數(shù)y＝eq\f(1,10)x增長快些，但存在一個x0，當x>x0時，總有eq\f(1,10)x>lgx，即使對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)中底數(shù)a的值遠遠大于一次函數(shù)y＝kx(k>0)中k的值，一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長速度最終都會超過對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度．問題2把一次函數(shù)y＝2x，對數(shù)函數(shù)y＝lgx和指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象畫到同一坐標系下，并比較它們的增長差異．提示一次函數(shù)y＝2x勻速增長，指數(shù)函數(shù)y＝2x增長越來越快，對數(shù)函數(shù)y＝lgx增長最慢．知識梳理三種常見函數(shù)模型的增長差異函數(shù)性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長速度y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度；總存在一個x0，當x>x0時，恒有l(wèi)ogax<kx增長結果存在一個x0，當x>x0時，有ax>kx>logax注意點：(1)當描述增長速度變化很快時，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長很大時，常常選用對數(shù)函數(shù)模型．(3)一次函數(shù)增長速度不變，平穩(wěn)變化．(4)函數(shù)值的大小不等同于增長速度快慢，數(shù)值大不一定增長速度快，增長速度體現(xiàn)在函數(shù)值的變化趨勢上．例1(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()A．y＝2023x B．y＝x2023C．y＝log2023x D．y＝2023x答案A解析比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快．(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則與x呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2答案C解析由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速率比較，指數(shù)函數(shù)增長最快，對數(shù)函數(shù)增長最慢，由題中表格可知，y1是冪函數(shù)，y2是指數(shù)函數(shù)，y3是對數(shù)函數(shù)．反思感悟常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．(4)冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間．跟蹤訓練1下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x答案B解析D中一次函數(shù)的增長速度不變；A，C中函數(shù)的增長速度越來越快；只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意．二、函數(shù)增長速度的比較例2函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數(shù)；(2)結合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2022)，g(2022)的大小．解(1)C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2022>x2，從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2022)>g(2022)．又因為g(2022)>g(6)，所以f(2022)>g(2022)>g(6)>f(6)．反思感悟指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法(1)根據函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進行判斷．(2)根據圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．跟蹤訓練2函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據函數(shù)的增長差異指出C1，C2分別對應的函數(shù)；(2)以兩圖象的交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較．解(1)C1對應的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1；C2對應的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)；當x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．三、函數(shù)模型的選擇問題3現(xiàn)在你能對你資金的三種投資方案做出選擇了嗎？方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．提示如果做短期投資，方案二收益較高；如果做長期投資，顯然方案三最終回報最高．例3汽車制造商在2022年年初公告：公司計劃2022年的生產目標為43萬輛．已知該公司近三年的汽車生產量如表所示：年份(年)201920202021產量(萬輛)81830如果我們分別將2019,2020,2021,2022定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個模型能更好地反映該公司年產量y與年份x的關系？解建立年產量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過點(1,8)，(2,18)，(3,30)．①構造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點的坐標代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝7，,c＝0，))則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計劃誤差為1萬輛．②構造指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，將點的坐標代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(125,3)，,b＝\f(6,5)，,c＝－42，))則g(x)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝44.4，與計劃誤差為1.4萬輛．由①②可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產量y與年份x的關系．反思感悟建立函數(shù)模型應遵循的三個原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論．(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．跟蹤訓練3在飛機制造業(yè)中，發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律：制造第2架飛機所需的工時數(shù)是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%；…，這就是說，通過積累經驗，可以提高效率．這也是符合學習規(guī)律的，這里的80%稱為“進步率”，所制造的飛機架數(shù)與所需工時數(shù)之間的函數(shù)關系所確定的曲線常稱為“學習曲線”．設制造第1架飛機需要用k個工時，進步率為r，試求出制造第x架飛機與需用的工時數(shù)y之間的函數(shù)表達式．解由題意，可知第1架用k個工時，第2架用kr個工時，第22架用kr2個工時，…，第2n架用krn個工時．令x＝2n，則n＝log2x，因此y＝krn＝，所以制造第x架飛機與需用的工時數(shù)y之間的函數(shù)表達式為y＝(x＞0)．1．知識清單：三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型．2．方法歸納：轉化法．3．常見誤區(qū)：不理解三種函數(shù)增長的差異．1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上增長速度最快的是()A．y＝x2 B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案D2．在一次數(shù)學試驗中，采集到如下一組數(shù)據：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x，y的函數(shù)關系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案B解析在坐標系中描出各點，知模擬函數(shù)為y＝a＋bx.3．甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1<v2)，則下圖中能正確反映甲從A地到B地走過的路程s與時間t的關系的是()答案B4．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個待選模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3,10.2)，則應選用________作為函數(shù)模型．答案甲解析把x＝1,2,3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．1．在某試驗中，測得變量x和變量y之間的對應數(shù)據如下表：x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則下列函數(shù)中，最能反映變量x和y之間的變化關系的是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析將x＝0.50，y＝－1.01代入計算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的y倍，需經過x年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()答案B解析根據題意，得函數(shù)解析式為y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x＞0)，所以函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，因為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)1.104＞1，所以函數(shù)單調遞增，且過點(0,1)．3．有一組實驗數(shù)據如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)答案C解析由表中數(shù)據可知，s隨t的增大而增大且其增長速度越來越快，A，D中的函數(shù)增長速度越來越慢；B中的函數(shù)增長速度保持不變；C中的函數(shù)y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快．4．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()答案C解析小5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當2<x<4時，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1答案B解析由題意可知，三個函數(shù)在區(qū)間(2,4)上都是單調遞增的，所以4<y1<16,4<y2<16,1<y3<2，所以y3最小，由函數(shù)y1，y2的圖象可知，在區(qū)間(2,4)上，函數(shù)y2的圖象恒在函數(shù)y1的圖象上方，所以y2>y1>y3.6．(多選)下面對函數(shù)f(x)＝與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減情況的說法中錯誤的有()A．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越快B．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越慢C．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越慢D．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越快答案ABD解析在平面直角坐標系中畫出f(x)與g(x)的圖象如圖所示，由圖象可判斷出衰減情況為f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢．7.某工廠8年來某種產品總產量C與時間t(年)的函數(shù)關系如圖所示．以下四種說法：①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變．其中說法正確的序號是________．答案②④解析由圖可知，前三年產量增長的速度越來越慢，故①錯誤，②正確；第三年后這種產品的產量保持不變，故③錯誤，④正確．8．下列選項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，最有前途的生意是________.①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.答案①解析由于指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時間的推移是越來越快，∴y＝10×1.05x是最有前途的生意．9．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式的植樹活動，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內擴大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個方案較好？解方案一：5年后樹木面積為10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)，因為15.386>15，所以方案二較好．10．某快捷酒店有150個標準客房，經過一段時間的試營業(yè)，得到一些每個標準客房的價格和客房的入住率的數(shù)據如下：標準客房的價格/元160140120100客房的入住率55%65%75%85%根據這些數(shù)據，要使該快捷酒店每天的營業(yè)額最高(入住率越高，營業(yè)額越高)，應如何定價？解設入住率為y%，標準客房價格是x元，根據已知數(shù)據，得y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(160k＋b＝55，,100k＋b＝85，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝135，))即y＝－eq\f(1,2)x＋135，經檢驗，x＝140或x＝120時也符合．令y＝100，－eq\f(1,2)x＋135＝100，x＝70，此時入住率是100%，營業(yè)額最高．標準客房的定價為70元．11．下列函數(shù)圖象中，估計有可能用函數(shù)y＝a＋blgx(b>0)來模擬的是()答案C解析由于函數(shù)y＝lgx在定義域內單調遞增，且是上凸的，又b>0，所以當x>0時，y＝a＋blgx(b>0)的圖象是單調遞增且上凸的．12.如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時間t之間的函數(shù)關系大致是()答案B解析開始的一段時間，水槽底部沒有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后慢，與B圖象相吻合．13．漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時間內將其分揀、冷藏，若不及時處理，打上來的魚很快地失去新鮮度(以魚肉內的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度．三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產生的．三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質進而腐敗)．已知某種魚失去的新鮮度h與其出海后時間t(分)滿足的函數(shù)關系式為h(t)＝m·at.若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時處理，打上來的這種魚在多長時間后開始失去全部新鮮度(已知lg2≈0.3，結果取整數(shù))()A．33分鐘 B．40分鐘C．43分鐘 D．50分鐘答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h10＝ma10＝0.1，,h20＝ma20＝0.2，))解得a＝，m＝0.05，故h(t)＝0.05×，令h(t)＝0.05×＝1，得＝20，故t＝＝eq\f(1＋lg2,\f(1,10)lg2)≈eq\f(101＋0.3,0.3)≈43(分鐘)．14.如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關系，有人根據函數(shù)圖象，提出了關于這兩個旅行者的如下信息：①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h；②騎自行車者是變速運動，騎摩托車者是勻速運動；③騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣．其中，正確信息的序號是________．答案①②③解析看時間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運動，故②正確；兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標對應于4.5，故③正確，④錯誤．15.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的剩留量y與凈化時間t(月)的近似函數(shù)關系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下敘述：①第4個月時，有害物質的剩留量低于eq\f(1,5)；②每月減少的有害物質量都相等；③若剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時，所經過的時間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確敘述的序號是________．答案①③解析根據題意，函數(shù)的圖象經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，所以a2＝eq\f(4,9)，解得a＝eq\f(2,3)(負舍)，故函數(shù)為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))t，當t＝4時，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故①正確；當t＝1時，y＝eq