9.數(shù)學(xué)廣角(14個問題)

第四部分 數(shù)學(xué)廣角1植樹問題知道要點植樹問題是關(guān)于全長、株距和棵數(shù)的應(yīng)用題。植樹問題通常有兩種情況：路線是不封閉的和路線是封閉的。在不封×（棵數(shù)－1×（1例題解析及同步練習(xí)典例:在一條道路的兩旁栽樹，一共載了62棵，每隔5米栽一棵（兩端都栽，這條路長多少米？舉一反三訓(xùn)練1、在一個魚塘周圍筑長是1200米的土堤，堤上每隔2米栽一棵楊樹，然后在相鄰兩棵楊樹中間栽一棵松樹，土堤上栽楊樹和松樹各多少棵？2、甲、乙兩個綠化隊在長2400米的公路兩旁栽樹，每隔16米栽一棵楊樹（兩端都栽間栽一棵桐樹。已知甲隊比乙隊多栽163、兒童節(jié)到了，學(xué)校要在校門口公路的一側(cè)從頭到尾插上76面彩旗，已知公路的另一側(cè)從頭到尾有51棵杉樹，每兩棵杉樹間的距離是3米，每相鄰兩面彩旗間的距離是多少米？典例 學(xué)校舉行運動會，六年級共有128人參加運動會入場儀式，他們每4人一行，前后都是每行間隔為1米，席臺長33米，他們以每分鐘32米的速度通過主席臺，需要多少分鐘？舉一反三訓(xùn)練1、迎賓旅社共9層，每層有樓梯20個臺階，如果某人每上一個臺階要0.5秒，那么他上到頂層需要多長時間？2307560213、接受檢閱的20個方陣和50輛警車從主席臺前通過，每輛警車長4米，警車之間相隔5米，每個方陣長10米，每兩個方陣相隔3米，方陣和警車之間相隔8米。通過主席臺的這支隊伍共長多少米？能力加強18005124128312056繩子共被剪成多少段？4、在一個正方形的廣場的四周每隔5米安裝一盞路燈，每個角上都要安一盞，每邊都安了21盞。這個廣場周圍共安裝了多少盞？這個廣場的周長是多少米？5、在一段長為720米的公路兩旁，共裝有118盞燈，兩端不裝，每相鄰兩盞燈之間的距離是多少米？6、為綠化環(huán)境，在城市道路門旁都栽有樹，并且相鄰兩人棵之間都是8米，在道路的一旁從金苑小區(qū)門口到實驗小學(xué)門口共有76棵樹，再往前256米，共有多少棵樹？7、池塘周圍栽了一圈樹，每兩棵樹相距5米，甲、乙兩人分別從兩棵樹出發(fā)朝同一方向行走，已知甲、乙之間隔15棵樹，乙每分鐘走120米，甲每分鐘走130米，甲經(jīng)過多少時間追上乙？如果甲追上乙后兩人繼續(xù)前進(jìn)，又過了40分鐘甲再次追上乙，池塘周圍有多少棵樹？2年齡問題知識要點們年齡的這類的問題，稱為年齡問題。年齡問題的主要特點是：兩人的年齡差不變。根據(jù)這一特點將年齡問題轉(zhuǎn)典例解析及同步練習(xí)典例 果果今年3歲，爸爸31歲，再過幾年爸爸的年齡是果果的5倍？舉一反三訓(xùn)練1、小東今年18歲，奶奶今年84歲，奶奶多少歲時，奶奶的年齡正好是小東的4倍？2、兒子今年21歲，媽媽今年46歲，多少年前媽媽的年齡是兒子的6倍？3、亮亮比爸爸小27歲，爸爸今年的年齡是兒子年齡的4倍，亮亮和爸爸今年各多少歲？4、父、子現(xiàn)在的年齡和是69歲，12年前父親的年齡是兒子年齡的4倍，父、子現(xiàn)在各多少歲？典例 小芳家現(xiàn)在所有成員年齡加在一起是73歲。家庭成員中有爸爸、媽媽、小芳和弟弟。爸爸比媽媽大3歲小芳比弟弟大2歲4年前家里所有人年齡的總和是58歲?，F(xiàn)在家里每個成員各是多少歲？舉一反三訓(xùn)練1、小英的父親比母親大4歲，現(xiàn)在全家的年齡和是71歲，8年前全家年齡和是50歲，今年全家三人各是多少歲？28631251齡各是多少歲？典例 10年前媽媽的年齡是女兒的4倍，12年后媽媽的年齡是女兒的2倍，現(xiàn)在母女的年齡各是多少？舉一反三訓(xùn)練1、15年前父親的年齡是兒子的7倍，10年后父親的年齡是兒子的2倍，父親和兒子現(xiàn)在各多少歲？221014多少歲？3、今年哥哥的年齡是弟弟的3倍，24年后，哥哥的年齡比弟弟的2倍少16歲，今年哥哥和弟弟各多少歲？典例 叔叔對小亮說“當(dāng)我像你這么大的時候，你剛4歲；當(dāng)你像我怎么大的時候，我已經(jīng)46歲了”叔叔和小今年分別有多少歲？舉一反三訓(xùn)練1、2倍，而你長到我這么大時，我倆的年齡和是65歲?！贝笙蠛烷L頸鹿現(xiàn)在各多少歲了？2、李阿姨和張阿姨兩人的年齡剛好是100歲。李阿姨對張阿姨說能力加強1100203歲？2、小紅和小英兩人今年的年齡和是35歲，5年后小紅比小英大3歲，小紅和小英今年的年齡各是多少歲？3、7年前母親的年齡是女兒的4倍，7年后母女年齡和是78歲。母親今年多少歲？4、爺爺與爸爸、爸爸與兒子的年齡差是一樣的。爺爺與孫子的年齡和是84歲，這個歲數(shù)再加上孫子的年齡正好是100歲，爺爺、爸爸和兒子的年齡各是多少歲？5574335少歲？6262612651077、一位客人到老李家做客，老李說40大的孩子馬上就要放學(xué)回家了8甲：我今年才22歲，我比乙還小，我比丙大1歲乙：我不是年齡最小的，我和丙相差3歲，丙25歲了丙：我比甲小，甲23歲，乙比甲大3歲請你判斷甲、乙、丙三人的年齡各是多少歲？3 容斥問題知識要點叉、重疊關(guān)系來進(jìn)行分析思考，尋求問題答案。典例解析及同步練習(xí)典例110056舉一反三訓(xùn)練1110049211000573、以110為分母的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？典例某班小學(xué)生訂了語文、數(shù)學(xué)、作文指導(dǎo)報中的至少一種。訂語文報的有17人，訂數(shù)學(xué)報的有18人，訂作文指導(dǎo)報的有15人，同時訂語文報和數(shù)學(xué)報的有6人，同時訂數(shù)學(xué)報和作文指導(dǎo)報的有6人，同時訂語文報和作文指導(dǎo)報的有5人，三種報都訂的有2人。只訂一種報紙的分別有多少人？訂語文報、數(shù)學(xué)報而沒有訂作文指導(dǎo)報的有多少人？這個班共有多少人？解析：我們將題中的條件和問題用下圖來表示：舉一反三訓(xùn)練1、六年級二班同學(xué)去圖書館借書，每人至少借1本，最后統(tǒng)計：24人借了故事書，25人借了科技書，30人借了文藝書，有9人既借了故事書又借了科技書，有11人既借了故事書又借了文藝書，有9人既借了科技書又借了文藝書，有2人三種書都借了。這個班共有學(xué)生多少人？2、某班同學(xué)有18人，有20人會騎車，有16人會下象棋，即會游泳又會騎車的有8人，即會游泳又會下棋的有7人，即會騎車又會下棋的有5人，三項都會的有3人，這個班有多少人？典例4227243多少人？解析：先將題中條件和問題畫圖如下：舉一反三訓(xùn)練132人，其中會英語的有24人，會德語的有18人，兩樣都會的有15人？2、40名運動員，其中有25人會摔跤，有20人會射擊，還有10人兩項都不會兩項都會的有多少人？能力加強11100035、72453229項表演，這個班兩項都參加的有多少人？3、某班共有36名學(xué)生，在一次測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人，兩題都沒答對的有多少人？446221451822丙搶答了多少道題？6533724最多能能加兩項比賽，參加兩項比賽的最多有多少人？179，小強答對了7道題，并且兩人都答對的題目數(shù)是所有題目總16，小亮答對了幾道題？8、圖書館有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名，已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的圖書分別有36本、45本和53本，其中同時有甲、乙簽名的圖書有28本，同時有甲、丙簽名的圖書有26本，同時有乙、丙簽名的圖書有34本，這些圖書中至少有多少本沒有被甲、乙、丙中任何一人借閱過？4 方陣問題知識要點在隊列問題中，通常把橫著排的稱為行，把豎著排的稱為列。當(dāng)行數(shù)與列數(shù)相等時，就成為了一個方陣。日常（典例解析及同步練習(xí)典例：23舉一反三訓(xùn)練1、運動會開幕式上團(tuán)體操表演的隊員排成了一個正方形隊列，每行16人，共16行。如果要去掉一行一列，要去掉多少人？2、100枚棋子擺成一個方陣。如果去掉一行一列，去掉多少枚棋子？3、公園舉行菊花展，把一些菊花排成一個實心方陣。由于需要，要在這個方陣橫、豎再增加一排，還需要補充25盆菊花，現(xiàn)在這個方陣共有多少盆菊花？典例：為增加綠地面積，有180棵樹苗需要栽成一個三層空心方陣。這個方陣外層每邊需要栽多少棵樹？舉一反三訓(xùn)練1、實驗小學(xué)為慶祝兒童節(jié)，用鮮花擺成一個最外層每邊12盆的實心方陣，現(xiàn)在要改成擺成三層實心方陣。這個方陣最外層每邊應(yīng)該擺多少盆鮮花？2、學(xué)校舉行運動會，在操場周圍用彩旗擺成一個四層空心方陣，最外層每邊插12面旗幟。擺這個方陣共需要多少面旗幟？3、在一次團(tuán)體操表演中，有一個中空方陣，最外層有64人，最內(nèi)層有32人，參加團(tuán)隊體操表演的共有多少人？能力加強1、在一個正方形池塘的周圍栽樹，四個角上都要栽一棵，每邊栽10棵，一共能栽多少棵？2、李明用64枚棋子擺成一個每邊兩層的方陣，后來他又在方陣的外面加一層成為了三層方陣，又增加了多少棋子？3、有一些糖果，擺成三層空心方陣多出10塊糖，如果在中空的部分增加一層又少6塊。這些糖果共有多少塊？4、把一些花擺成一個兩層的空心方陣，外層每邊擺9盆，如果把這些花擺在一條長250米的馬路一邊，從一端開始每隔5米擺1盆，擺到頭之后還剩幾盆花？5、有甲、乙兩隊學(xué)生各排成一個中空方陣，甲隊有五層，最外層每邊有35人，乙隊有三層，最外層有136人。甲隊學(xué)生比乙隊學(xué)生多多少人？6、某班排練團(tuán)體操時，全班學(xué)生正好能由一個三角形的隊列變換成一個正方形隊列（一排多1人，已知這個班的人數(shù)在30一60人之間，這個班有學(xué)生多少人？5、周期問題知識要點在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)問題中也常會碰到一些和重復(fù)出現(xiàn)的關(guān)的問定數(shù)，更重要的是要分析有多少個周期。典例解析及同步練習(xí)典例1慶元旦晚會上，教室里用紅氣球和黃氣球裝飾。按“三紅兩黃”的順序把氣球串起來，第27個氣球是紅色還是黃色的？第39個呢？第50個呢？舉一反三訓(xùn)練1、有紅、白、黑三種顏色的珠子共2004個，按“四紅三白一黑”的順序串成一串，第125個珠子是什么顏色？最后一個珠子呢？白珠子和黑珠子一共有多少個？2200920903、如果2000年元月1日是星期五，那么2008年元月2日是星期幾？典例2七個小朋友圍坐一圈，按23、、、、71”2”的小朋友報“9舉一反三訓(xùn)練1、 八個小朋友圍坐成一圈玩“擊鼓傳花”的游戲，把這八個小朋友按順序編上1一8號，鼓聲開始敲響，從1號小朋友開始順時針報數(shù)，當(dāng)鼓聲停止時，正好報到“60”就由報“60”的小朋友表演節(jié)目。表演節(jié)目的是幾號坐位上的小朋友？21100169號時，甲得到多少張卡片？能力加強1、公園里有一排彩旗，按三面黃旗，兩面紅旗，四面粉旗的順序排列，小紅看到這排旗的盡頭是一面粉旗，已知這排旗不超過200面，這排彩旗最多有多少面？2、一只母雞生蛋很有規(guī)律，總是連著兩天每天生一只蛋，以后就要空一天不生蛋。已知1998年元旦這天沒生蛋，1998年全年一共生了多少只蛋？320065后沿紅點處將木棍逐段鋸開。那么，長度是14、小玲在練習(xí)寫字母，按A、B、C、D、E、F、……X、Y、Z、A、B、C、D、E、F……的順序一直往下寫，寫完最后一個字母，她數(shù)了數(shù)正好寫了150個。她最后寫的一個字母是什么？6統(tǒng)籌與規(guī)劃知識要點行調(diào)整，以便選出最優(yōu)的方案，這就需要進(jìn)行統(tǒng)籌與規(guī)劃。典例解析及同步練習(xí)124要5分鐘，醫(yī)生如何安排三人的治療順序，才能使他們在衛(wèi)生室的時間總和最短？最短需要多長時間？舉一反三訓(xùn)練1、四人各提一只水桶來到一個自來水龍頭前排隊打水，每人打各自的水桶所需要時間為：甲5分鐘，乙3分鐘，丙6分鐘，丁8分鐘。怎樣安排他們四人打水順序，使他們等候打水的時間最短？最短時間需要多久？2、理發(fā)室有甲、乙兩位理發(fā)師，同時來了五位顧客，他們所要理的發(fā)型不同，所需要的時間分別為10分鐘，15分鐘，18分鐘，13分鐘和24分鐘。怎樣安排他們的理發(fā)順序，才能使這五人理發(fā)和等候時間總和最短？最短是多長時間？3、李老師找甲、乙、丙三名學(xué)生來辦公室談話，與甲談完需要12分鐘，與乙談完需要8分鐘，與丙談完需要14分鐘。怎樣安排三人的談話順序，使三人花的總時間最短？最短時間是多少分鐘？21001020噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩倉庫是空的?，F(xiàn)在想把所有的貨集中存放在同一個倉庫里，如果每噸貨物運輸一千米需要0.5元運費，那么最少要花多少運費才行？舉一反三訓(xùn)練1A、、、DE、、E952A8C7（單位：千米110的調(diào)配方案，總運費最省是多少元？25453.8元，幼兒園張老師帶領(lǐng)45少要花多少錢？3、王鎮(zhèn)長要召集甲、乙、丙、丁四個村的村干部如開會議。這四個村子每相鄰兩個村子都是相距5千米，參加會議的人數(shù)：甲村8537路程總和最短？典例3有一個水塔給公路旁的六個居民點供水，居民點間的距離如圖所示（單位：千米足夠供應(yīng)六個居民點的用水，細(xì)管只能供應(yīng)一個居民點的用水，粗管每千米7000元，細(xì)管每千米2000元，粗細(xì)管如果搭配才能使費用最少？最少為多少元？舉一反三訓(xùn)練15531041221575310升。用多少輛大卡車及小卡車來運輸。耗油量最低？3A一G七個居民區(qū)，兩個居民區(qū)間的距離如圖所示（位：千米8000元，可供七個居民區(qū)用氣，細(xì)管每千米3000元，可供一個居民區(qū)用氣。粗、細(xì)管的轉(zhuǎn)接處于居民區(qū)中。如何搭配使用粗、細(xì)兩種管道費用最少？能力加強111511212、用一只平底鍋煎餅，每次只能放2張餅，煎熟一張餅需要2（正反面各需要1分鐘。那么：①煎熟3餅至少需要多少分鐘？②如果需要煎熟N（N＞1）張餅，至少需要幾分鐘？36080102105200304、大李鎮(zhèn)有甲、乙、丙、丁四個糧店。甲糧店存糧20噸，乙糧店存糧60噸，丙糧店存糧30噸，丁糧店存糧40噸。四個糧店和居民點的位置可以用圖表示（單位：千米。假設(shè)運輸一噸糧食每千米的運費為0.330工程所在地鋼工程所在地鋼公鐵司ABCD甲130370510510樣調(diào)運這兩批鋼材運費最少？6、電力公司維修站有7輛電車需要維修。如果用一名工人維修這7輛電車的修復(fù)時間分別為：12、17、8、18、23、30、14分鐘，每輛電車停開1分鐘經(jīng)濟(jì)損失11元。現(xiàn)有3名工效相同的維修工人各自單獨工作，要使經(jīng)濟(jì)損失減至最小程度，最小缺失多少元？7 邏輯推理知識要點算，而是根據(jù)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)行合理的推理，最終找到問題的答案，這就是邏輯推理問題。在推斷的過程中，我們通常采用假設(shè)的方法，而先假設(shè)一個結(jié)論，然后驗證這個結(jié)論是不是符合所級的一切條件，如果符合，結(jié)論是正確的，否則，就換個結(jié)論來驗證。典例解析及同步練習(xí)典例1某年的一月份只有四個星期一和四個星期五，那么這年的1月1號是星期幾？舉一反三訓(xùn)練1、有紅、橙、黃、綠、青五塊小木塊，它們之間的重量關(guān)系是：紅比綠重30克，青比黃重10克，綠比黃輕5克，青比橙輕10克，已知最輕的木塊重20克，那么最重的木塊的顏色是什么顏色的？重多少克？2順序。3、A、BC、DA；B；CD43場，乙隊比賽21典例2A、B、C、、EF中有一人得了滿分，老師讓他們猜一猜是誰得了滿分。AE或者是FB:“”CDDB：“不會是我也不會是Ｅ舉一反三訓(xùn)練１．?dāng)?shù)學(xué)測驗，甲，乙，丙，丁四人中只有一人未得１００分，有人問他們誰未得１００分。1002、學(xué)校舉行田徑運動會，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加了百米短路，另有A、B、C、D、E五位同學(xué)對結(jié)果，丙第54，丁第5.C，戊第4”D1，乙第2.”E，丁第43、賽馬比賽前，四名觀眾對A、、、D四匹馬預(yù)測名次。甲說A就是B跑得比DAC、D名次。能力加強1幾場？2歲，農(nóng)民比乙年齡小。誰是農(nóng)民？誰是工人？誰是老師？3年級的，在一年級的不是四班，在二年級的不是五班，小趙不是六班的，小楊在幾年級幾班？4、A、B、C、D、E五人參加羽毛球比賽。每兩人都要比賽一場，并且只賽一場。規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得0分。現(xiàn)在知道比賽的結(jié)果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。那么C的得分是多少分？5、甲、乙、丙三人在深圳、南京、上海工作，他們的職業(yè)分別是工人、記者、教師，現(xiàn)在知道：①甲不在深圳；么職業(yè)？、136234、475、876在同一個數(shù)位上有一個相同的數(shù)字。這件商品的編號是多少？7、從前有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另一個有時講真話，有時講假話。一天，一位智者和尚遇到這三個8抽屜原理知識要點抽屜原理是眾人皆知的一個原理：把多于N個的蘋果放進(jìn)N果。也可以說：把M個東西任意放進(jìn)N個抽屜里N，那么一定有一個抽屜里放進(jìn)了兩個東西。題的難點與關(guān)鍵所在。典例解析及同步練習(xí)典例1 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋的口袋中隨意摸出3枚棋子。證明：這5人中至少有兩個出的棋子的顏色的配組是一樣的。舉一反三訓(xùn)練1、五年級一班第一組共有13名同學(xué)，是否會有兩個人是同一個月出生的？2、19枝鉛筆放入4個鉛筆盒里，說明為什么至少有一個鉛筆盒里要放入5枝或5枝以上？3、把400本書隨意分給若干同學(xué)，但每人不得超過11本，至少有多少個同學(xué)得到的書的本數(shù)相同？典例2學(xué)校買來紅、黃、藍(lán)三種顏色的球。規(guī)定每位學(xué)生最多可以借兩個不同顏色的球，那么，至少有幾個學(xué)生借球，就可以保證必有兩位學(xué)生借的球顏色完全一致？舉一反三訓(xùn)練1、在一幅撲克牌中，至少取多少張牌，就可以保證其中有4張牌的點數(shù)相同？2、有三種圖書，科技書，文藝書，故事書。每位同學(xué)可任意借兩本，問至少多少位同學(xué)借書，才能保證其中必有4個借的書類型相同？3、有四面紅、黃、綠、藍(lán)的小旗，任意取出其中的三面排成一行表示一種信號。在145個信號中至少有多少個信號是完全相同的？典例3 從、23、……19、20這20個自然數(shù)中，至少選出幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它的差為12.舉一反三訓(xùn)練1、在前2N個自然數(shù)中，任意取N＋1個自然數(shù)，則其中必有兩個數(shù)互質(zhì)。21、、57……37392014倍數(shù)。387能力加強1、一個口袋里有白色、紅色、黑色的襪子各30只，問：要拿出多少只襪子，才能保證其中至少有兩雙不同顏色的襪子？2、商店有18種糖果，如果每人買一種或兩種，至少有多少人購買，才能保證有兩人購買的各類相同？3、鉛筆盒里有4枝圓珠筆和3支鋼筆，如果閉著眼睛拿筆，一次至少拿幾枝才能保證有一枝是鋼筆？4、五年級共有學(xué)生57人，至少有幾人是在同一個星期內(nèi)過生日？5、五年級二班有43名同學(xué)，他們都訂閱了《作文輔導(dǎo)報其中有多少名學(xué)生訂的報刊的種類是完全相同？67020107、從3、5、7、9、……27、29這14個數(shù)奇數(shù)中，任意取出幾個數(shù)，其中一定有兩個數(shù)之和和32？9 獲勝對策知識要點采用分析的倒推的方法常常可以幫助我們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找出取勝的方法。典例解析及同步練習(xí)11，222、311、2233、430，誰就勝。怎樣才能做到必勝？解析：從后面往前面想，假如其中一人報數(shù)為29，那么對方報一個數(shù)就把30搶走了；如果這個人報28，對方報兩個數(shù)也把30搶走了。所以想要搶30，必須先搶27.同樣，要想搶27，必須先搶24，要搶24，必須先搶21，以此類推，第1步必須搶3.舉一反三訓(xùn)練1、一堆棋子有1000個，兩人輪流從中任取，每次取的個數(shù)不得超過7個，取得最后棋子的為輸。如果要先取的人勝，他應(yīng)該怎么辦？2、甲、乙與人輪流在黑板上寫下不超過10且大于0的自然數(shù)，每次寫一個。游戲規(guī)則是不允許寫黑板上已經(jīng)寫過的數(shù)的因數(shù)，輪到游戲人無法再寫時就是輸者，現(xiàn)在甲先寫，想要獲勝有什么策略？34013拿，誰一定能取勝？4、兩人做一種游戲：輪流報數(shù)，必須報不大于6的自然數(shù)，把兩人報的數(shù)依次加起來，誰報數(shù)后加起來的和是“99”，誰就獲勝，如果你先報數(shù)，那么為了獲勝，你第一次報幾？以后怎么報？典例2 N個“一”排成一行，甲、乙兩人輪流改寫“一”為每次只準(zhǔn)改一個或相鄰的兩個，先得全“＋”者勝。若甲先改，請問甲是否有必勝的策略。解析：若N=1，甲必勝；若N=2，甲也必勝；若N=3，甲先改第二個，這時剩下的兩個不相鄰，甲必勝；若N=4，甲先改第2個，第3個，這時剩下的兩個不相鄰，甲必勝。以此類推，甲有必勝策略。舉一反三訓(xùn)練1、黑板上寫有1998、1999、2000、2001、……2096、2097，甲、乙兩人輪流劃掉任意相鄰的4個數(shù)，如果甲劃過后乙不能劃了，則算甲勝。甲必勝的策略是什么？21個、3個、9個。甲、乙兩人輪流從這些棋子中取走（不再放回到誰取，至少取走1個棋子；②每次只能從同一堆取走棋子，取走的數(shù)目不限（也可以把這堆都取走；③最后一個取到棋子者勝。問：是先取者有必勝把握還是后取者有必勝把握？3、99張卡片上分別寫著1一99.甲先從中抽走一張，然后乙再從中抽走一張，如此輪流下去。若最后兩張上的數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則甲勝；若最重兩張上的數(shù)不是互質(zhì)數(shù)，則乙勝。甲要想獲勝應(yīng)該怎樣抽取卡片？能力加強1、10張正面朝下的撲克牌排成一排放在桌子上，兩個小朋友做翻牌游戲。規(guī)定：每人每次只能翻動一張或兩張相鄰的牌使之正面朝上，翻過的牌不能再翻，兩人輪流翻動，翻動最后一張牌的人獲勝。怎樣才能必定獲勝？2即兩個不相鄰頂點的連線對角線相交，畫最后一條線者為勝。若甲先畫，他怎樣畫才能取勝？3、有一排2000個空格的棋盤，預(yù)先在左邊第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙兩人輪流走，甲先乙后。每人走時，可以將棋子向右移動1一4格，規(guī)定誰將棋子走到最后一格誰輸。甲為了獲勝，第一步走幾格？以后怎樣走？4、有一個3×3的棋盤方格以及9張大小與小方格相同的卡片。每一張卡片上分別寫有1、3、4、5、6、7、8、9、10這幾個數(shù)，甲、乙兩人做游戲，輪流取一張卡片放到9格中的一格，由甲方計算上、下兩行6個數(shù)的和，乙方計算左、右兩列6個數(shù)的和，和數(shù)大的一方為勝。5、有分別裝7根和10根的兩盒火柴，甲、乙兩人輪流在某一盒中任取，但不能同時兩盒中都取，也不能不取，規(guī)定取到最后火柴者為勝。甲先取時是否有必勝的策略？、甲、乙兩人在長方桌子上放一些大小相同的圓形硬幣（不能重疊時，另一方就獲勝。誰能勝，需要什么對策？10搭配中的規(guī)律知識要點可以運用枚舉法或者依據(jù)加法原理和乘法原理來解決。所謂枚舉法，就是根據(jù)題目要求將符合要求的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏的一一列出來，從而解決問題的方法。加法原理：做一件事，完成它可以有幾類方法，在第一類辦法中有M1種方法，在第二類辦法中有M2種方法，在第N類辦法中，有MN種方法，而無論采用這些方法中的哪一種，都能單獨地完成這項工作，那么完成這件工作的方法總數(shù)等于各類完成這種工作的辦法的種數(shù)的和：即：N=M1＋M2＋……＋MN。乘法原理：做一件事，完成它需要幾個步驟，做第一步有M1種方法，做第二步有M2種方法，做第N種有MN種方法。那么完成這件工作的方法總數(shù)等于完成各步的方法的乘積，即：N=M1×M2×M3×……×MN。在學(xué)習(xí)加法原理和乘法原理后，我們就容易理解排列和組合了的含義了。利用公式就容易解決排列組合的問題了。例如：從4個對象中任意取2個對象，按一定順序排列數(shù)為：P2 =4×3=12.排列公式：4P2

m=n(n－1)（n－n43==2）……(n－m＋1)例如：從4個對象中任意取2個對象，不按順序組合的組合數(shù)為：C==pm

2 4 P2

21

=6。組合公式：C mn

n，區(qū)分排列組合的關(guān)鍵是有序、無序，即排列是有序，組合是無序。pmpm典例解析及同步練習(xí)12342甲地到丙地共有多少種不同的走法？舉一反三訓(xùn)練1、快餐店有5種漢堡、6種飲料、2種甜點，要點漢堡、飲料、甜點各1份，有多少種不同的組合？2、要從四年級的六個班的中評選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)班級各一個，有多少種不同的選法？3、一天中，從甲地到乙地有6班汽車、5列火車、3艘輪船。在這一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？48102（1）、1、3用、1、3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？用、1、3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，共有多少個？舉一反三訓(xùn)練1、從1、、7中任意取兩個數(shù)字，且從、、、8）一共可以組成多少個沒有重復(fù)的可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？2、有長度分別為1、2、3、4、5、6、7、8、9的線段各一條，從中先出若干條來組成正方形，那么有多少種不同的選法？3222254典例3在一個圓周上有10（圓周上任意三點均不在同一直線上1）從中選（2）（3）從中選出兩個不相鄰的點（5）從中選出三個點，使得恰有兩點相鄰。舉一反三訓(xùn)練1192、9個人排成一排，有多少種不同的排法？3、玲玲的寒假作業(yè)有語言、數(shù)學(xué)、外語三門。她準(zhǔn)備每天做一門作業(yè)，且相鄰兩天不做同一門作業(yè)。如果玲玲第一天做語文，第5天也做語文，那么前5天作業(yè)她有多少種不同的安排？4、有一張伍角幣，4張貳角幣，8張壹角幣?，F(xiàn)在要取出9角錢，有多少種不同的取法?5、有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？6、從南京到上海的某次快車中途要?？苛鶄€大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同的車票？這些車票最多有多少種不相同的票價？7、從6個學(xué)生中選出3人，另外3名教師中選出2人組成一組一起去參加同一會議，有幾種不同的參會方式？8、培優(yōu)小學(xué)六年級甲、乙、丙三個班組織了一次文藝晚會，共演出14個節(jié)目。如果每個班至少演出三個節(jié)目，那么，這三個班演出節(jié)目數(shù)的不同情況有多少種？11操作問題知識要點方法不能完成這件事情，這得舉出反例說明理由；二是操作能成功，要給出具體的操作方法。操作題是開放性的題目，具有一定的難度，我們應(yīng)該在深刻理解題意，認(rèn)真分析思考的基礎(chǔ)上，進(jìn)行探索性解題。典例解析及同步練習(xí)典例1 有10枚棋子擺成下圖，至少移動幾枚棋子可以將圖形倒過來？面一行就可以了。舉一反三訓(xùn)練1、你能將一個正方形切四刀然后拼成5個正方形嗎？試試看？210只茶杯，杯口都朝上（用↑表示）擺在桌上。每次操作將其中任意3只茶杯同時翻轉(zhuǎn)（口朝下的，杯口朝下的翻成杯口朝上。至少需要幾次這樣的操作，才能使這10只杯子全部變成杯口朝下（↓表示）？請用↑和↓表示幾次操作的過程。原來情況：↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑3、有20枚棋子。在桌上擺成十字形，圖中的棋子二甲擺成了很多正方形，至少拿掉幾枚棋子后，就一個正方形也擺不成了？拿掉棋子后的圖形是怎樣的？4、王強畫了一幅9塊正方體搭成的立方圖。卻被明明用橡皮擦去一部分。你能使這幅圖復(fù)原嗎？典例2 有9個表面完全相同的零件，其中8個是一等品，只有一個是次品較輕?，F(xiàn)在有一架天平，最少幾次就保證將次品找到？怎么稱？舉一反三訓(xùn)練1、有27個小球，其中26個球重量相等，1個球較輕，現(xiàn)在有一架天平，最少稱幾次可以保證找出輕球？2、有12棵樹苗要栽成6行，每行栽4棵，你會栽嗎？請畫出示意圖。3、某食堂買回100個雞蛋，每袋裝10個。其中九袋里裝的雞蛋每個都是50克，另一只袋里裝的每個都是40克。這十只袋子混在一起，只準(zhǔn)稱一次，就能找出哪一袋每個雞蛋是40克的，要怎樣做？42020402040能力加強1、一幅撲克牌共54張，最上面的一張是紅桃K。如果每次把最上面的4張牌移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那么至少經(jīng)過幾次移動，紅桃K才會再次出現(xiàn)在最上面？25100101102104107現(xiàn)有一臺帶指針的臺秤。它可以稱出30031003751步驟。4、5、有9只蚊子住同一個正方形臥室中，蚊子們都想單獨住，只要再砌兩個正方形墻，就能讓每只蚊子單獨住，該怎么砌？6、李明過生日，來了6個好朋友，分蛋糕時只能切3刀，但必須把蛋糕切成7塊，如果你是李明該怎么切？12 火柴棒游戲知識要點火柴棒可以作為一種游戲工具，用來做數(shù)學(xué)游戲。即通常所說的火柴棒游戲，對訓(xùn)練學(xué)生思維，增長智慧起到了火柴棒拼圖形3形。用火柴棒可以擺成數(shù)字，運算符號和算式，還可以拼成形狀各異的美麗圖案。通過移動、添上、去掉一根或幾根掉和添上火柴棒成了另一個數(shù)，改變運算符號，使算式成立。常見的火柴棒變化方法如下：1、（17變化為1（2“＋”變成“－”或“1（3“4”（456）10可變?yōu)?.2、添上一根火柴棒，數(shù)和運算符號的變化也有六種17變成217或72“＋”變成43“一”變成（）4變成14或4（）1變成11或7）10變成11101或70.3、移動一根火柴棒有兩種變化（）＋41=10中，把減數(shù)1添上一根火柴變?yōu)?1（2）原來的差100.典例解析及同步練習(xí)典例1 移動一根或兩根火柴棒，使下列各算式分別成為一個等式。舉一反三訓(xùn)練1、下面這個算式是成立的，請你移動一根火柴棒，仍能得到一個正確的算式。2、下面兩道算式都不正確，你能在每一題上只移動一根火柴棒，使它們的結(jié)果都是11嗎？3、在下面各式中去掉或添上一根火柴棒，使算式成立。典例2在圖中移動3根火柴棒，得到3個相同的正方形。舉一反三訓(xùn)練1、如圖是用24根火柴棒擺成的“回”字形方環(huán)。4求移動后所得圖形的周長（5）2、如圖是一個火柴棒擺成的缺了一條腿的翻倒的椅子。請移動兩根火柴棒使椅子復(fù)原站立，看上去也不缺腿。3、如圖是用20根火柴棒組成的圖形，移動其中4根，把它變成三個形狀相同、面積相等的圖形。怎樣移？能力加強1、移動一根火柴棒，使下列算式成立。2、移動兩根火柴棒，使下面各等式成立。3、如圖是