江蘇版2023版高三一輪總復(fù)習(xí)物理第4章第3節(jié)圓周運(yùn)動(dòng)

16/16圓周運(yùn)動(dòng)一、圓周運(yùn)動(dòng)及其描述1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)(1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，若在相等的時(shí)間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動(dòng)。(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心。2．描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量物理量意義、方向公式、單位線速度(v)①描述圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量②是矢量，方向和半徑垂直，和圓周相切①v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)②單位：m/s角速度(ω)①描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量②中學(xué)不研究其方向①ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)②單位：rad/s周期(T)和轉(zhuǎn)速(n)或頻率(f)①周期是物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間②轉(zhuǎn)速是物體單位時(shí)間轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；頻率是單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)重復(fù)的次數(shù)①T＝eq\f(2πr,v)單位：s②n的單位：r/s、r/min，f的單位：Hz向心加速度(a)①描述速度變化快慢的物理量②方向指向圓心①a＝eq\f(v2,r)＝rω2②單位：m/s2二、圓周運(yùn)動(dòng)的向心力1．作用效果向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小。2．大小F＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r。3．方向始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力。4．來源向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供。三、離心現(xiàn)象1．現(xiàn)象做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。2．受力特點(diǎn)及軌跡(1)當(dāng)Fn＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)Fn＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出。(3)當(dāng)Fn＜mω2r時(shí)，物體逐漸遠(yuǎn)離圓心，做離心運(yùn)動(dòng)。(4)當(dāng)Fn＞mω2r時(shí)，物體逐漸靠近圓心，做近心運(yùn)動(dòng)。一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻加速曲線運(yùn)動(dòng)。 (×)(2)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心加速度與半徑成反比。 (×)(3)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力為變力。 (√)(4)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受到的合外力不一定等于向心力。 (√)(5)做離心運(yùn)動(dòng)的物體是由于受到離心力的作用。 (×)(6)賽車轉(zhuǎn)彎時(shí)沖出賽道是因?yàn)檠剞D(zhuǎn)彎半徑向內(nèi)的靜摩擦力不足以提供向心力。 (√)二、教材習(xí)題衍生1．(描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量)如圖為甲、乙兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線。由圖像可以知道()A．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變B．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變C．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變D．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小逐漸增加A[題圖的圖線甲中a與r成反比，由a＝eq\f(v2,r)可知，甲球的線速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，角速度逐漸減小，A正確，B錯(cuò)誤；題圖的圖線乙中a與r成正比，由a＝ω2r可知，乙球運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，線速度大小增大，C、D錯(cuò)誤。]2．(豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))游樂園的小型“摩天輪”上對稱站著質(zhì)量相等的8位同學(xué)，如圖所示，“摩天輪”在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，某時(shí)刻甲正好在最高點(diǎn)，乙處于最低點(diǎn)。則此時(shí)甲與乙()A．線速度相同B．加速度相同C．所受合外力大小相等D．“摩天輪”對他們作用力大小相等C[由于“摩天輪”在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以甲、乙線速度大小相等，甲線速度方向向左，乙線速度方向向右，故A錯(cuò)誤；根據(jù)a＝eq\f(v2,r)可知，甲、乙加速度大小相等，甲加速度方向豎直向下，乙加速度方向豎直向上，故B錯(cuò)誤；根據(jù)F＝eq\f(mv2,r)可知，甲、乙所受合外力大小相等，故C正確；對甲有mg－FN1＝meq\f(v2,r)，對乙有FN2－mg＝meq\f(v2,r)，“摩天輪”對他們作用力大小不相等，故D錯(cuò)誤。]3．(水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))如圖所示，兩個(gè)圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°，有A、B兩個(gè)質(zhì)量相同的小球在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()A．A、B球受到的支持力之比為eq\r(3)∶3B．A、B球的向心力之比為eq\r(3)∶1C．A、B球運(yùn)動(dòng)的角速度之比為1∶1D．A、B球運(yùn)動(dòng)的線速度之比為1∶1D[設(shè)小球受到的支持力為FN，向心力為F，則有FNsinθ＝mg，F(xiàn)NA∶FNB＝eq\r(3)∶1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；F＝eq\f(mg,tanθ)，F(xiàn)A∶FB＝3∶1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)軌道高度相同，則半徑R＝htanθ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，選項(xiàng)D正確。]描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量1．(圓周運(yùn)動(dòng)的理解)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說法正確的是()A．速度的大小和方向都改變B．勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)C．當(dāng)物體所受合力全部用來提供向心力時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)D．向心加速度不變C[質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度大小始終不變，速度方向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向，時(shí)刻在改變，故A錯(cuò)誤；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度始終指向圓心，即方向在時(shí)刻改變，則勻速圓周運(yùn)動(dòng)是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故B、D錯(cuò)誤；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合力全部用來提供向心力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度的大小不變，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故C正確。]2．(圓周運(yùn)動(dòng)的描述)火車以60m/s的速率轉(zhuǎn)過一段彎道，某乘客發(fā)現(xiàn)放在桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過了約10°。在此10s時(shí)間內(nèi)，火車()A．運(yùn)動(dòng)位移為600m B．加速度為零C．角速度約為1rad/s D．轉(zhuǎn)彎半徑約為3D[圓周運(yùn)動(dòng)的弧長s＝vt＝60×10m＝600m，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；火車轉(zhuǎn)彎是圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，所以合力不為零，加速度不為零，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題意得圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(\f(10,360)×2π,10)rad/s＝eq\f(3.14,180)rad/s，又v＝ωr，所以r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(60,3.14)×180m＝3439m，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。]3．(皮帶傳動(dòng))如圖所示，有一皮帶傳動(dòng)裝置，A、B、C三點(diǎn)到各自轉(zhuǎn)軸的距離分別為RA、RB、RC，已知RB＝RC＝eq\f(RA,2)，若在傳動(dòng)過程中，皮帶不打滑。則()A．A點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小相等B．A點(diǎn)與C點(diǎn)的線速度大小相等C．B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小之比為2∶1D．B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶2B[處理傳動(dòng)裝置類問題時(shí)，對于同一根皮帶連接的傳動(dòng)輪邊緣的點(diǎn)，線速度相等；同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)，角速度相等。對于本題，顯然vA＝vC，ωA＝ωB，選項(xiàng)B正確；根據(jù)vA＝vC及關(guān)系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝eq\f(RA,2)，所以ωA＝eq\f(ωC,2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)ωA＝ωB，ωA＝eq\f(ωC,2)，可得ωB＝eq\f(ωC,2)，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小之比為1∶2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)ωB＝eq\f(ωC,2)及關(guān)系式a＝ω2R，可得aB＝eq\f(aC,4)，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]4．(齒輪傳動(dòng))在如圖所示的齒輪傳動(dòng)中，三個(gè)齒輪的半徑之比為2∶3∶6，當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，關(guān)于小齒輪邊緣的A點(diǎn)和大齒輪邊緣的B點(diǎn)說法正確的是()A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶2B．A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為1∶1C．A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為3∶1D．以上三個(gè)選項(xiàng)有兩個(gè)是正確的C[題圖中三個(gè)齒輪邊緣線速度大小相等，即A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶1；由v＝ωr可得，線速度一定時(shí)，角速度與半徑成反比，則A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為3∶1，故選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤。]5．(同軸轉(zhuǎn)動(dòng))如圖所示，圓桌桌面中間嵌著一可繞中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，A是圓盤邊緣的一點(diǎn)，B是圓盤內(nèi)的一點(diǎn)。分別把A、B的角速度記為ωA、ωB，線速度vA、vB，向心加速度記為aA、aB，周期記為TA、TB，則()A．ωA＞ωB B．vA＞vBC．a(chǎn)A＜aB D．TA＜TBB[因A、B兩點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則角速度相同，則ωA＝ωB，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)閞A＞rB，根據(jù)v＝ωr可知，vA＞vB，選項(xiàng)B正確；因?yàn)閞A＞rB，根據(jù)a＝ω2r可知，aA＞aB，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因ωA＝ωB，根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)可知，TA＝TB，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]常見的三種傳動(dòng)方式及特點(diǎn)類型模型模型解讀皮帶傳動(dòng)皮帶與兩輪之間無相對滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB摩擦(或齒輪)傳動(dòng)兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB同軸傳動(dòng)繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1．水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓且在水平面內(nèi)。2．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)(1)物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。(2)合外力充當(dāng)向心力。3．解答勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般步驟(1)選擇研究對象，找出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。(2)分析物體受力情況，其合外力提供向心力。(3)由Fn＝meq\f(v2,r)、Fn＝mrω2或Fn＝mreq\f(4π2,T2)列方程求解。4．六種常見的向心力實(shí)例運(yùn)動(dòng)模型①飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎②火車轉(zhuǎn)彎③圓錐擺向心力的來源圖示運(yùn)動(dòng)模型④飛車走壁⑤汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎⑥光滑水平轉(zhuǎn)臺(tái)向心力的來源圖示5．水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離的臨界條件是：彈力FN＝0。(2)相對滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，則相對滑動(dòng)的臨界條件是：靜摩擦力達(dá)到最大值。(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT＝0。eq\o([典例])(圓錐擺問題)(2021·鹽城質(zhì)檢)如圖所示，轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于光滑水平面，交點(diǎn)O的上方h(A點(diǎn))處固定細(xì)繩的一端，細(xì)繩的另一端拴接一質(zhì)量為m的小球B，繩長l大于h，轉(zhuǎn)動(dòng)軸帶動(dòng)小球在光滑水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω逐漸增大時(shí)，下列說法正確的是()A．小球始終受三個(gè)力的作用B．細(xì)繩上的拉力始終保持不變C．要使球不離開水平面，角速度的最大值為eq\r(\f(g,h))D．若小球飛離了水平面，則角速度可能為eq\r(\f(g,l))思路點(diǎn)撥：(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較小時(shí)，水平面對小球有支持力作用；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大時(shí)，小球?qū)㈦x開水平面。(2)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與繩長l之間的關(guān)系，可由幾何形狀來確定。(3)小球?qū)λ矫娴膲毫榱悖切∏驅(qū)㈦x開水平面的臨界條件，此時(shí)，小球的合力由自身的重力及細(xì)繩的拉力合成來確定。C[小球可以在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，也可以飛離水平面，飛離水平面后只受重力和細(xì)繩的拉力兩個(gè)力作用，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球飛離水平面后，隨著角速度增大，細(xì)繩與豎直方向的夾角變大，設(shè)為β，由牛頓第二定律得Tsinβ＝mω2lsinβ可知，隨角速度變化，細(xì)繩的拉力T會(huì)發(fā)生變化，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)小球?qū)λ矫娴膲毫榱銜r(shí)，有Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mlω2sinθ，解得臨界角速度為ω＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\r(\f(g,h))，若小球飛離了水平面，則角速度大于eq\r(\f(g,h))，而eq\r(\f(g,l))<eq\r(\f(g,h))，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。]“一、二、三、四”求解圓周運(yùn)動(dòng)問題eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])車輛水平轉(zhuǎn)彎問題1．(2021·江蘇省如東縣第一次檢測)在修筑鐵路時(shí)，彎道處的外軌會(huì)略高于內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌均不會(huì)受到輪緣的擠壓，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則()A．該彎道的半徑r＝eq\f(v2,gsinθ)B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變C．當(dāng)火車速率大于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓D．當(dāng)火車速率小于v時(shí)，外軌將受到輪緣的擠壓B[火車拐彎時(shí)不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力提供向心力，設(shè)轉(zhuǎn)彎處斜面的傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(v2,gtanθ)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(grtanθ)，可知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)火車速率大于v時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，此時(shí)外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)火車速率小于v時(shí)，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此時(shí)內(nèi)軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓內(nèi)軌，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]飛車走壁問題2．(2021·溧陽中學(xué)高三模擬)如圖甲所示，雜技表演“飛車走壁”的演員騎著摩托車飛駛在圓臺(tái)形筒壁上，筒的軸線垂直于水平面，圓臺(tái)筒固定不動(dòng)?，F(xiàn)將圓臺(tái)筒簡化為如圖乙所示，若演員騎著摩托車先后在A、B兩處緊貼著內(nèi)壁分別在圖乙中虛線所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法不正確的是(不計(jì)摩擦)()甲乙A．A處的線速度大于B處的線速度B．A處的角速度小于B處的角速度C．A處對筒的壓力大于B處對筒的壓力D．A處的向心力等于B處的向心力C[對A、B兩處演員和摩托車進(jìn)行受力分析如圖所示，兩個(gè)支持力與豎直方向的夾角相等，均為θ，由于FN1cosθ＝mg，F(xiàn)N2cosθ＝mg，可知FN1＝FN2，根據(jù)牛頓第三定律，可知演員和摩托車對筒的壓力相等，故C錯(cuò)誤；兩處支持力的水平分力等于向心力，因此兩處向心力F也相等，D正確；根據(jù)F＝meq\f(v2,r)可知F一定時(shí)，半徑越大，線速度越大，故A處的線速度比B處的線速度大，A正確；根據(jù)F＝mω2r可知，半徑越大，角速度越小，故A處的角速度比B處的角速度小，B正確。]水平轉(zhuǎn)盤上的圓周運(yùn)動(dòng)問題3．如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上疊放著質(zhì)量均為1kg的A、B兩個(gè)物塊，B物塊用長為0.25m的細(xì)線與固定在轉(zhuǎn)盤中心處的力傳感器相連，兩個(gè)物塊和力傳感器的大小均可不計(jì)。細(xì)線能承受的最大拉力為8N，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，B與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，且可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，細(xì)線剛好伸直，傳感器的讀數(shù)為零。當(dāng)轉(zhuǎn)盤以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳感器上就會(huì)顯示相應(yīng)的讀數(shù)F。g取10m/s2。以下說法中不正確的是()A．當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度ω＝4rad/s時(shí)，A、B間的靜摩擦力達(dá)到最大值B．當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度在0<ω<2rad/s范圍內(nèi)時(shí)，細(xì)線中的拉力隨ω的增大而增大C．當(dāng)細(xì)線中的拉力F＝6N時(shí)，A與B即將相對滑動(dòng)D．當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度ω＝6rad/s時(shí)，細(xì)線中的拉力達(dá)到最大值B[對AB整體分析，當(dāng)繩子剛有拉力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：μ12mg＝2mωeq\o\al(2,1)r，則當(dāng)B物體與轉(zhuǎn)盤將發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的角速度為：ω1＝eq\r(\f(μ1g,r))＝eq\r(\f(0.1×10,0.25))rad/s＝2rad/s，當(dāng)A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時(shí)，A將要脫離B物體，此時(shí)的角速度由μ2mg＝mωeq\o\al(2,3)r得：ω3＝eq\r(\f(μ2g,r))＝eq\r(\f(0.4×10,0.25))rad/s＝4rad/s即轉(zhuǎn)盤的角速度為4rad/s時(shí)，A、B間的靜摩擦力達(dá)最大值，當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度在0<ω<2rad/s范圍內(nèi)時(shí)，細(xì)線中的拉力為0，故A正確，B錯(cuò)誤；對AB整體，根據(jù)牛頓第二定律T＋μ12mg＝2mω2r，則T＝2mω2r－μ12mg＝0.5ω2－2(ω∈[2,4])當(dāng)ω＝4rad/s時(shí)，此時(shí)繩子的張力為：T＝2mω2r－μ12mg＝(2×16×0.25－2)N＝6N<8N，故繩子未斷，接下來隨角速度的增大，A脫離B物體。只有B物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力最大時(shí)的角速度為ω2，根據(jù)牛頓第二定律得：Tmax＋μ1mg＝mωeq\o\al(2,2)r則：ω2＝eq\r(\f(8＋1,0.25))rad/s＝6rad/s，所以當(dāng)細(xì)線中的拉力F＝6N時(shí)，A與B即將相對滑動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為6rad/s時(shí)，細(xì)線拉力達(dá)到最大，故C、D正確。故選B。]豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型一是無支撐(如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的過山車等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”，二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等)，稱為“桿(管)約束模型”。2．豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型特點(diǎn)及求解方法(最高點(diǎn))“輕繩”模型“輕桿”模型圖示受力特征物體受到的彈力方向?yàn)橄蛳禄虻扔诹阄矬w受到的彈力方向?yàn)橄蛳隆⒌扔诹慊蛳蛏鲜芰κ疽鈭D力學(xué)方程mg＋FN＝meq\f(v2,R)mg±FN＝eq\f(mv2,R)臨界特征FN＝0mg＝meq\f(v\o\al(2,min),R)即vmin＝eq\r(gR)v＝0即F向＝0FN＝mg過最高點(diǎn)的條件在最高點(diǎn)的速度v≥eq\r(gR)在最高點(diǎn)的速度v≥0eq\o([典例])(輕桿模型)(2021·曲塘中學(xué)模擬)如圖甲所示，小球穿在豎直平面內(nèi)光滑的固定圓環(huán)上，繞圓心O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其F-v2圖像如圖乙所示，g取10m/s2，則()甲乙A．小球的質(zhì)量為4kgB．固定圓環(huán)的半徑R為0.4mC．小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，小球受圓環(huán)的彈力大小為20N，方向向上D．若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，則其承受的最大彈力為100N思路點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)(1)做好小球在某一位置的動(dòng)力學(xué)分析。(2)將小球的動(dòng)力學(xué)方程與F-v2圖像對應(yīng)，找出已知物理量。D[對小球在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，速度為0時(shí)，F(xiàn)－mg＝0，結(jié)合圖像可知：20N－m·10m/s2＝0，解得小球質(zhì)量m＝2kg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)F＝0時(shí)，由重力提供向心力可得mg＝eq\f(mv2,R)，結(jié)合圖像解得固定圓環(huán)半徑R為0.8m，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，設(shè)小球受圓環(huán)的彈力方向向下，由牛頓第二定律得F＋mg＝meq\f(v2,R)，代入數(shù)據(jù)解得F＝20N，方向豎直向下，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，其受力最大，由牛頓第二定律得F－mg＝meq\f(v2,R)，若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒得mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，由以上兩式得F＝5mg，代入數(shù)據(jù)得F＝100N，選項(xiàng)D正確。]分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])豎直平面內(nèi)輕“繩”模型1．如圖所示，雜技演員表演水流星節(jié)目。一根長為L的細(xì)繩兩端系著盛水的杯子，演員握住繩中間，隨著演員的掄動(dòng)，杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，杯子運(yùn)動(dòng)中水始終不會(huì)從杯子灑出，設(shè)重力加速度為g，則杯子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的角速度ω至少為()A．eq\r(\f(g,L))B．eq\r(\f(2g,L))C．eq\r(\f(5g,L))D．eq\r(\f(10g,L))B[杯子在豎直平面內(nèi)做半徑為eq\f(L,2)的圓周運(yùn)動(dòng)，使水不流出的臨界條件是在最高點(diǎn)重力提供向心力，則有mg＝eq\f(mω2L,2)，可得ω＝eq\r(\f(2g,L))，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]豎直平面內(nèi)輕“桿”模型2．如圖所示，輕桿長為L，一端固定在水平軸上的O點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且能通過最高點(diǎn)，g為重力加速度。下列說法正確的是()A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)速度可能小于eq\r(gL)B．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力不可能為零C．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而增大D．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而減小A[小球在最高點(diǎn)時(shí)，桿對球可以表現(xiàn)為支持力，由牛頓第二定律得：mg－F＝meq\f(v2,L)，則得v<eq\r(gL)，故A正確；當(dāng)小球速度為eq\r(gL)時(shí)，由重力提供向心力，桿的作用力為零，故B錯(cuò)誤