專題03幾何概型（期末必考專項講解與訓練）-備戰(zhàn)2021-2022學年高一數(shù)學下學期期末考試精品Word版含解析

一．理論基礎1．幾何概型設D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點．這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)．把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．2．在幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A)＝eq\f(d的測度,D的測度).3．幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．二.通法提煉題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)在區(qū)間－1,1]上隨機取一個數(shù)x，求coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率．(2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率．coseq\f(π,2)x的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).(1)在區(qū)間－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為________．(2)在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是________．【答案】(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,2)【解析】(1)在區(qū)間－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1，即－2≤X≤1的概率為P＝eq\f(3,5).(2)記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長(此時F為OE中點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).題型二與面積、體積有關(guān)的幾何概型例2(1)設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是________．(2)有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________．思維點撥求隨機點所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比．【答案】(1)eq\f(4－π,4)(2)eq\f(2,3)(1)在區(qū)間－π，π]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為________．(2)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________．【答案】(1)1－eq\f(π,4)(2)1－eq\f(π,12)【解析】(1)由函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面積SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函數(shù)f(x)有零點，所構(gòu)成的區(qū)域為M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3，故P(A)＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4).(2)V正＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V正)＝eq\f(2π,8×3)＝eq\f(π,12)，故點P到O的距離大于1的概率為1－eq\f(π,12).題型三生活中的幾何概型問題例3甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的．如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點撥當基本事件受兩個連續(xù)變量控制時，一般是把兩個連續(xù)變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決．(4)結(jié)論：將解出的數(shù)學模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論．某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．(用數(shù)字作答)【答案】eq\f(9,32)三．歸納總結(jié)1．區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個．2．轉(zhuǎn)化思想的應用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應，然后利用幾何概型概率公式．(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關(guān)的幾何概型．四、鞏固練習1．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．設p在0,5]上隨機地取值，則方程x2＋px＋eq\f(p,4)＋eq\f(1,2)＝0有實根的概率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】一元二次方程有實數(shù)根?Δ≥0，而Δ＝p2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋\f(1,2)))＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率為P＝eq\f([0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的長度,[0，5]的長度)＝eq\f(3,5).3．在區(qū)間－1,4]內(nèi)取一個數(shù)x，則2x－x2≥eq\f(1,4)的概率是________．【答案】eq\f(3,5)【解析】不等式2x－x2≥eq\f(1,4)，可化為x2－x－2≤0，則－1≤x≤2，故所求概率為eq\f(2－－1,4－－1)＝eq\f(3,5).4．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為______．【答案】eq\f(1,2)5．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是________．【答案】1－eq\f(2,π)【解析】設分別以OA，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連結(jié)OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1.在以OA為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整體圖形中空白部分面積S2＝2.又因為S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以陰影部分面積為S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).6．已知集合A＝{α|α＝eq\f(nπ,9)，n∈Z}，若從A中任取一個元素均可作為直線l的傾斜角，則直線的斜率小于零的概率是________．【答案】eq\f(4,9)7．在區(qū)間－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.【答案】3【解析】由|x|≤m，得－m≤x≤m.當m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．當2<m<4時，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值為3.8．在區(qū)間1,5]和2,4]上分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________．【答案】eq\f(1,2)9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．【答案】eq\f(13,16)【解析】∵去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\f(1,2)2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\f(1,4)2,