(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)10.4《隨機(jī)變量的分布列、均值與方差》教案 (含詳解)

PAGEPAGE16第四節(jié)隨機(jī)變量的分布列、均值與方差核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，考查常見離散型分布列的求法，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合具體實(shí)例，考查超幾何分布的特征及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．3．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)求簡單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念解決一些簡單實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念、性質(zhì)及均值方差(1)概念：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時(shí)也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性質(zhì)：①pieq\a\vs4\al(≥)0，i＝1,2,3，…，n；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝eq\a\vs4\al(1).(3)稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(4)稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．3．常見的離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布X01P1－pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．4．均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(7)若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(8)若X服從超幾何分布，即X～H(N，M，n)，則E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)；(9)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(隨機(jī)變量的概念)袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．至少取到1個(gè)白球 B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù)解析：選C選項(xiàng)A、B表述的都是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.2．(分布列的性質(zhì))設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p的值為()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,12)解析：選C由分布列的性質(zhì)知，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，∴p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).3．(方差的計(jì)算)已知隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.10.2a0.20.1則D(X)＝()A．1.44 B．1.2C.eq\r(1.2) D．2解析：選B由分布列性質(zhì)知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.4．(超幾何分布)從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取得次品數(shù)為1的概率是()A.eq\f(32,35) B．eq\f(12,35)C.eq\f(3,35) D．eq\f(2,35)解析：選B設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的個(gè)數(shù)，X服從超幾何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值為0,1,2，相應(yīng)的概率為P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35).二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(隨機(jī)變量的概念不清)有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________．解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值為0,1,2,3.答案：0,1,2,32．(分布列的性質(zhì)使用不當(dāng))已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝________.解析：由分布列的性質(zhì)知eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝eq\f(2,2a)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列考法(一)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)[例1]離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)[解析]由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f(1,4×5)))×a＝1，知eq\f(4,5)a＝1，得a＝eq\f(5,4).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).[答案]D[方法技巧]離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．考法(二)離散型隨機(jī)變量分布列的求法[例2]一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；(2)現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)抽取，求抽取次數(shù)ξ的分布列．[解](1)記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，∵f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，∴從中任取兩個(gè)相加即可得到一個(gè)奇函數(shù)．故P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5).(2)易知ξ的所有可能取值為1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,4))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).故ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)[方法技巧]求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列．[提醒]求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).考法(三)超幾何分布[例3]某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語，2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問．求：(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率；(2)在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)X的分布列．[解](1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會(huì)法語，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7).(2)依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)[方法技巧]求超幾何分布的分布列的步驟[針對(duì)訓(xùn)練]1．若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)解析：選C由隨機(jī)變量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．2．某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．故P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30).所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差考法(一)離散型隨機(jī)變量的均值與方差[例1]某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．[解](1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.方差D(X)＝eq\f(4,15)×(0－1)2＋eq\f(7,15)×(1－1)2＋eq\f(4,15)×(2－1)2＝eq\f(8,15).[方法技巧]求離散型隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵及注意(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．考法(二)均值與方差在決策中的應(yīng)用[例2]某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項(xiàng)目二：5G通信設(shè)備．受中美貿(mào)易戰(zhàn)的影響，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，也可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由．[解]若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(萬元)．若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(萬元)．D(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，D(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000，E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資．[方法技巧]利用均值、方差進(jìn)行決策的2個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問題作出判斷．(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．[針對(duì)訓(xùn)練]1．某商場銷售某種品牌的空調(diào)，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)，商場每銷售一臺(tái)空調(diào)可獲利500元，若供大于求，則多余的每臺(tái)空調(diào)需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺(tái)空調(diào)僅獲利200元．(1)若該商場周初購進(jìn)20臺(tái)空調(diào)，求當(dāng)周的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位：臺(tái)，n∈N)的函數(shù)解析式f(n)；(2)該商場記錄了去年夏天(共10周)的空調(diào)周需求量n(單位：臺(tái))，整理得下表：周需求量n1819202122頻數(shù)12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺(tái)空調(diào)，X表示當(dāng)周的利潤(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)當(dāng)n≥20時(shí)，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000；當(dāng)n≤19時(shí)，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000.∴f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200n＋6000n≥20，,600n－2000n≤19))(n∈N)．(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，∴P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1，X的分布列為X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1∴E(X)＝8800×0.1＋9400×0.2＋10000×0.3＋10200×0.3＋10400×0.1＝9860.2．(2021·泰安模擬)某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果(以下簡稱A水果)，購入價(jià)為300元/袋，并以360元/袋的價(jià)格售出，若前8小時(shí)內(nèi)所購進(jìn)的A水果沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的A水果以220元/袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，2小時(shí)內(nèi)完全能夠把A水果低價(jià)處理完，且當(dāng)天不再購進(jìn))．該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計(jì)了100天A水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量，制成頻數(shù)分布條形圖如圖．現(xiàn)以記錄的100天的A水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量的頻率作為A水果在一天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量的概率，記X表示A水果一天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量，n表示水果批發(fā)商一天批發(fā)A水果的袋數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以日利潤的期望值為決策依據(jù)，在n＝15與n＝16中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解：(1)由題意知，根據(jù)條形圖，可得A水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量分別為14,15,16,17的頻率分別是0.2,0.3,0.4和0.1，所以X的分布列為X14151617P0.20.30.40.1(2)當(dāng)n＝15時(shí)，設(shè)Y為水果批發(fā)商的日利潤，則Y的可能取值為760,900，可得P(Y＝760)＝0.2，P(Y＝900)＝0.8，所以期望E(Y)＝760×0.2＋900×0.8＝872.當(dāng)n＝16時(shí)，設(shè)Z為水果批發(fā)商的日利潤，則Z的可能取值為680,820,960，可得P(Z＝680)＝0.2，P(Z＝820)＝0.3，P(Z＝960)＝0.5，所以期望E(Z)＝680×0.2＋820×0.3＋960×0.5＝862.因?yàn)镋(Y)>E(Z)，所以n＝15時(shí)的日利潤期望值大于n＝16時(shí)的日利潤期望值，故選n＝15.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測])1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為()A．25 B．10C．7 D．6解析：選CX的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，則m的值為()A.eq\f(17,38) B．eq\f(27,38)C.eq\f(17,19) D．eq\f(27,19)解析：選B由分布列的性質(zhì)得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×eq\f(2,3)＋m×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋m×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(38m,27)＝1，∴m＝eq\f(27,38).3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選DP(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).4．隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2 B．3C．4 D．5解析：選C因?yàn)閜＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，所以E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3，所以D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故選C.5．一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤，游客向攤主支付2元進(jìn)行1次游戲．游戲規(guī)則：在一個(gè)不透明的布袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球，游客從布袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，若摸出的小球同色，則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì)；若異色，則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì)．則攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位：元)的期望值是()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5解析：選A攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位：元)的期望值是E(X)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＋1×\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))))＝0.2.6．甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為X，則E(X)為()A．1 B．1.5C．2 D．2.5解析：選BX可取0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,6)×C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)×C\o\al(2,5)×C\o\al(2,3),C\o\al(3,6)×C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)×C\o\al(1,4)×C\o\al(1,3),C\o\al(3,6)×C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,6)×C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，故E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝1.5.7．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的期望E(ξ)為()A.eq\f(241,81) B．eq\f(266,81)C.eq\f(274,81) D．eq\f(670,243)解析：選B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒有影響．所以P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，所以E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故選B.8．設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)()A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小解析：選D由題意知E(ξ)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝p＋eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq\f(p,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))2×eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2－eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2p2＋\f(1,2)))－eq\f(p,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(3,2)))2))＝p2＋eq\f(1,4)－p(2p－1)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，∴D(ξ)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上遞減，即當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)先增大后減?。蔬xD.9．隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3)，0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))10．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則P(ξ＝2)＝________.解析：由題意可知，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,2),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)11．某糕點(diǎn)房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價(jià)為4元，售價(jià)為8元．受保質(zhì)期的影響，當(dāng)天沒有銷售完的部分只能銷毀．經(jīng)過長期的調(diào)研，統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量．現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下：日需求量x(個(gè))20304050天數(shù)510105(1)從這30天中任取2天，求2天的日需求量均為40個(gè)的概率；(2)以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤的期望值E(X)＝eq\f(320,3).現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天45個(gè)，試列出生產(chǎn)45個(gè)時(shí)，利潤Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納．解：(1)從這30天中任取2天，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,30)，2天的日需求量均為40個(gè)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(2,10)，∴2天的日需求量均為40個(gè)的概率P＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,30))＝eq\f(3,29).(2)設(shè)該糕點(diǎn)房制作45個(gè)蛋糕對(duì)應(yīng)的利潤為Y，P(Y＝－20)＝eq\f(1,6)，P(Y＝60)＝eq\f(1,3)，P(Y＝140)＝eq\f(1,3)，P(Y＝180)＝eq\f(1,6)，∴Y的分布列為Y－2060140180Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)E(Y)＝－20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(1,3)＋140×eq\f(1,3)＋180×eq\f(1,6)＝eq\f(280,3).∵該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤的期望值E(X)＝eq\f(320,3)，eq\f(280,3)<eq\f(320,3)，∴此建議不該被采納．12．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為10.00cm，只要誤差的絕對(duì)值不超過0.03cm就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：(1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望；(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求．現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值．解：(1)由條形統(tǒng)計(jì)圖知，該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對(duì)值X的分布列為X00.010.020.030.04P0.40.30.20.0750.025所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.01025.(2)由(1)可知標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，設(shè)至少