高中數(shù)學《簡單復合函數(shù)的導數(shù)》課件

1.能根據(jù)定義求基本初等函數(shù)的導數(shù).2.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù);能

求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).5.2導數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)5.2.2導數(shù)的四則運算法則5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)原函數(shù)導函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=①

αxα-1

f(x)=sinxf'(x)=②

cosx

f(x)=cosxf'(x)=③

-sinx

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=④

axlna

f(x)=exf'(x)=⑤

ex

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=⑥

f(x)=lnxf'(x)=⑦

1|基本初等函數(shù)的導數(shù)公式南方繞彎名稱內(nèi)容說明和、差的導數(shù)[f(x)±g(x)]'=⑧

f'(x)±g'(x)

“±”前后一致積的導數(shù)[f(x)g(x)]'=⑨

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

g(x)=c

[cf(x)]'=⑩

c'f(x)+cf'(x)=cf'(x)

商的導數(shù)

'=

g(x)≠02|導數(shù)的四則運算法則1.復合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),

那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù),記作y=

f(g(x))

.2.復合函數(shù)的求導法則一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導數(shù)與函數(shù)y=f

(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為

y'x=y'u·u'x

.即

y對x的導數(shù)

等于

y對u的導數(shù)

與

u對x的導數(shù)

的乘積.3|復合函數(shù)的概念及其求導法則南方繞彎1.若f(x)=

,則f'(x)=

.

(√)提示:∵f(x)=

=

,∴f'(x)=

=

,故正確.2.(log3x)'=

.

(

?)提示:(log3x)'=

,故錯誤.3.已知函數(shù)y=2lnx-2x,則y'=

-2xln2.

(√)提示:y'=(2lnx)'-(2x)'=

-2xln2,故正確.4.若函數(shù)f(x)=

,則f'(x)=

.

(

?)提示:f'(x)=

=

=

,故錯誤.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”。5.函數(shù)y=xln(2x+5)的導數(shù)為ln(2x+5)+

.

(

?)提示:y'=[xln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x·

·(2x+5)'=ln(2x+5)+

,故錯誤.6.曲線y=eax在x=1處的切線的斜率為ea.

(

?)提示:∵y'=eax·(ax)'=aeax,∴k=y'x=1=aea,故錯誤.南方繞彎1|利用導數(shù)的四則運算法則求函數(shù)的導數(shù)利用導數(shù)的四則運算法則求函數(shù)的導數(shù)的策略1.對于分式中分子、分母齊次結構的函數(shù),可考慮通過裂項化為和、差形式:若待求導的函數(shù)是兩個函數(shù)商的形式,則可先對函數(shù)進行適當變形,再求導,這樣

會大大減少運算量.2.對于根式型函數(shù),可考慮進行有理化變形:有理化變形通常有兩種形式:一是分子中含有根式,則進行分子有理化;二是分母

中含有根式,則進行分母有理化.如果所給兩“項”的分母是互為有理化因式的

結構形式,則直接通分就能達到分母有理化的效果,從而使化簡過程更為簡捷.3.對于多個整式乘積形式的函數(shù),可以考慮展開,化為和、差形式:若待求導的函數(shù)為多個整式乘積的形式,則可以利用多項式的乘法法則,化為

和、差的形式,再求導,其運算過程將會簡化,運算量將會減小.4.對于三角函數(shù),可考慮恒等變形對含有三角函數(shù)式的函數(shù)求導,往往需要利用三角恒等變換公式,對函數(shù)式進行

化簡,使函數(shù)的種類減少,次數(shù)降低,結構盡量簡單,從而便于求導.南方繞彎求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(x2+1)(x-1);(2)y=x3·ex;(3)y=

;(4)y=

;(5)y=sin4

+cos4

.思路點撥(1)先展開,再求導;(2)(3)(4)結合常見函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則直接

求導;(5)先化簡,再求導.解析(1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,∴y'=3x2-2x+1.(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2·ex+x3·ex.(3)y'=

'=

=

=-

.(4)y'=

'=

=

=

.(5)∵y=sin4

+cos4

=

-2sin2

·cos2

南方繞彎=1-

sin2

=1-

×

=

+

cosx,∴y'=

'=-

sinx.陷阱分析

此類問題出錯的原因主要有兩個:一是基本初等函數(shù)的導數(shù)公式記憶

不準確;二是求導法則掌握不準確,尤其是對積與商的求導法則中的符號出現(xiàn)混

淆,導致運算結果錯誤.對于復雜函數(shù)求導,一般遵循先化簡再求導的原則,但要注

意化簡過程中變換的等價性.2|利用導數(shù)的四則運算法則解決切線問題1.利用導數(shù)的四則運算法則解決切線問題,有以下幾種常見題型:(1)求在某點處的切線方程;(2)已知切線的方程或斜率求切點;(3)切線問題的綜合應用.2.切線問題的處理方法(1)對函數(shù)進行求導;(2)若已知切點,則求出切線斜率、切線方程;(3)若切點未知,則先設出切點,用切點表示切線斜率,再根據(jù)條件求切點坐標.在解決此類問題時,求函數(shù)的導數(shù)是基礎,抓切點是關鍵.南方繞彎已知函數(shù)f(x)=

,g(x)=alnx,a∈R.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點處有相同的切線,求a的值及該切線的方程.思路點撥設出交點的橫坐標

求導并表示出切線的斜率

解方程組

求a的值.解析由題意得,f'(x)=

,g'(x)=

(x>0),設兩曲線交點的橫坐標為x0,則

解得

所以兩曲線的交點坐標為(e2,e),切線的斜率為k=f'(e2)=

,所以切線方程為y-e=

(x-e2),即x-2ey+e2=0.(1)曲線y=

-

在點M

處的切線的斜率為

(B)A.-

B.

C.-

D.

(2)已知曲線f(x)=x3+ax+b在點P(2,-6)處的切線方程是13x-y-32=0.①求a,b的值;②如果曲線y=f(x)的切線與直線y=-

x+3垂直,求切線的方程.解析

(1)∵y'=

=

,∴y'

=

,∴曲線在點M

處的切線的斜率為

.南方繞彎(2)①f(x)=x3+ax+b的導數(shù)f'(x)=3x2+a,由題意可得

解得

②由①知f(x)=x3+x-16,f'(x)=3x2+1.∵切線與直線y=-

x+3垂直,∴切線的斜率k=4.設切點的坐標為(x0,y0),則f'(x0)=3

+1=4,∴x0=±1.由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18,則切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.解題模板(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素,其他的條

件可以轉(zhuǎn)化為這三個元素間的關系.(2)準確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的關鍵,務必做到準確.南方繞彎3|復合函數(shù)的導數(shù)及其應用情境如何求函數(shù)y=

的導數(shù)?問題1.分析函數(shù)的運算特點,函數(shù)y=

是怎樣構成的?提示:函數(shù)y=

是由y=

與t=1-2x通過復合運算得到的.2.函數(shù)y=

是什么函數(shù)?如何求其導數(shù)?提示:y=

=

是冪函數(shù),利用公式(xα)'=αxα-1(α∈Q,α≠0)求其導數(shù),因此y'=

'=(

)'=-

.3.如何利用函數(shù)y=

與t=1-2x的導數(shù)求出函數(shù)y=

的導數(shù)?提示:由y't=-

,t'x=(1-2x)'=-2,得y'x=y't·t'x=-

×(-2),再將t=1-2x代入,得y'x=-

(1-2x

×(-2)=(1-2x

.南方繞彎1.復合函數(shù)求導的步驟2.求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點(1)分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);(2)求導時分清是對哪個變量求導;(3)計算結果盡量簡單.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=e2x+1;(2)y=5log2(1-x);(3)y=e-x·sin2x;(4)y=

.思路點撥選定中間變量u,確定基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x)

由外到內(nèi)求導

變量回代相乘.南方繞彎解析(1)函數(shù)y=e2x+1可看成函數(shù)y=eu和u=2x+1的復合函數(shù),∴y'x=y'u·u'x=(eu)'·(2x+1)'=2eu=2e2x+1.(2)y'=[5log2(1-x)]'·(1-x)'=5·

·(-1)=-

.(3)y'=(e-x)'sin2x+e-x·(sin2x)'=-e-xsin2x+2e-xcos2x.(4)y'=

=

=

.解題模板確定復合函數(shù)關系的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次,一般是從最外層開始,由

外及內(nèi),一層一層地分析,把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本初等函數(shù),逐步確

定復合過程.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x+x2,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.思路點撥利用復合函數(shù)求導法則求出函數(shù)的導數(shù),再利用導數(shù)的幾何意義