2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《全等三角形中的輔助線與?？寄Ｐ蛦栴}》精講與精練高分突破

專題強(qiáng)化訓(xùn)練二：全等三角形中的輔助線與?？寄Ｐ蛦栴}題型一：連接兩點(diǎn)做輔助線問題1．已知等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點(diǎn)E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．2．已知點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時(shí)，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．題型二：倍線中線模型問題3．某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長(zhǎng)．4．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．題型三：旋轉(zhuǎn)模型5．問題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋FD，并說明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F．且AE⊥AD，米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)．6．綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．題型四：垂線模型7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）．8．如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的同側(cè)）時(shí)其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說明理由．題型五：其它技巧模型9．已知：和都是等腰直角三角形，，連接、交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形．10．如圖1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的異側(cè)，點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn)，且AC＝AE，連接CE交直線AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥AD交直線CE于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD，AF，BD的數(shù)量關(guān)系．專題訓(xùn)練精練一、單選題11．如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．12．如圖：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝3，AC＝6，則AD的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．9 D．413．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（

）A．2＜AD＜3 B．3＜AD＜5 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜814．如圖，已知是的平分線，，若的面積為，則的面積（

）A． B． C． D．15．如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③16．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④二、填空題17．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF，延長(zhǎng)BC交EF于點(diǎn)D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝___．19．（2016育才周測(cè)）如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫出3對(duì)全等三角形___________________________．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（2，0），B（0，1）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且點(diǎn)C落在第一象限），則點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為______．21．如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)C是射線上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點(diǎn)M，則CM的長(zhǎng)為__________．22．如圖，是的角平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，若，，則__________．三、解答題23．在中，，，是過A的一條直線，于點(diǎn)D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明；（3）若直繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明．24．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°．MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求證：BD=AE．（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G（如圖2），其他條件不變，求證：BD=AE．（3）在（2）的情況下，若CE的延長(zhǎng)線過AB的中點(diǎn)F（如圖3），連接GF，求證：∠1=∠2．25．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）26．如圖，為等邊的邊延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？隨著點(diǎn)位置的變化，與的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．27．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于D．（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長(zhǎng)．28．、是的邊上兩定點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，分別以、為邊在上方同側(cè)作正方形、正方形．(1)如圖①，，，，連接、．①求證：；②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出答案；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否存在最小值，若存在，請(qǐng)用直尺與圓規(guī)作出此時(shí)點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．29．如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且．(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，，則BE_________CF．②如圖2，若0°<∠BCA<180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與∠BCA關(guān)系的條件__________________，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；(2)如圖3．若線CD經(jīng)過∠BCA的外部，，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡(jiǎn)述理由30．我們知道兩個(gè)全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一個(gè)等腰三角形（如圖1），那么對(duì)其中一個(gè)直角三角形作適當(dāng)改變又能得到什么結(jié)論呢？現(xiàn)在我們一起來探究吧．(1)如圖2，將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC，求證：MB＝MC．(2)將CE向上平移，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC．①如圖3，當(dāng)∠CAE=∠BAD時(shí)，求證：MB＝MC；②當(dāng)∠CAE＞∠BAD時(shí)，在圖4中補(bǔ)全相應(yīng)的圖形，并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系_______．參考答案：1．（1）見詳解；（2）圖2：，圖3：【分析】（1）在線段上截取，連接，，證明，可得到，即可求解．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得．【詳解】解：（1）證明：在線段上截取，連接，∵，∴∴∵∴∵∴，∴∴∵∴∵∴∴∴（2）當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2：在的延長(zhǎng)線上截取，連接，∵∴∵∴∵∴∵，，∴∴∴∵，∴又∵，∴∴∵∴當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3：當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段上截取，連接，∵，，∴∴∵∴∵∴∵∴，∴，，且∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合理添加輔助線證全等是解題的關(guān)鍵．2．（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）結(jié)論成立.（3）90°．【分析】(1)根據(jù)已知條件可證△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C，得出,因此有BM⊥AN；(2)根據(jù)所給條件可證△MPB≌△APN，得出結(jié)論BM＝AN；(3)取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB，通過已知條件推出△APC為等邊三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，進(jìn)一步得出∠PAB的度數(shù).【詳解】解：（Ⅰ）結(jié)論：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如圖1中，∵M(jìn)P＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）結(jié)論成立理由：如圖2中，∵△APM，△BPN，都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如圖3中，取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵點(diǎn)C是PB的中點(diǎn)，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC為等邊三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于全等三角形的綜合性題目，充分考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的判定定理及其性質(zhì)的應(yīng)用的能力，此類題目常常需要數(shù)形結(jié)合，借助輔助線才得以解決，因此，作出合理正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.3．(1)對(duì)頂角相等；BD；SAS(2)(3)【分析】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，根據(jù)SAS定理證明△ABD≌△ECD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，證明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（對(duì)頂角相等）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案為：對(duì)頂角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案為；(3)延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件．4．（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【分析】（1）延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進(jìn)而可知AC∥BM；（3）延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進(jìn)而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長(zhǎng)中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)∠BAD＝2∠EAF，理由見解析(3)這條道路EF的長(zhǎng)為米．【分析】（1）先證明，得到AE=AG，∠BAE＝∠GAD，從而證明∠GAF=∠EAF，可證得出EF＝GF＝GD＋DF即可；（2）仿照（1）的方法延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，則可通過的相同的方法證明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可證出；（3）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，先通過證明△BAE是等邊三角形得出BE＝AB，再利用（2）的結(jié)論得到，將BE、DF的值代入即可求出．（1）解：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，如圖（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴，∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG，∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°?45°＝45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AEF和△AGF中，，∴，∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF；（2）解：∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如圖（2），延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△EAF和△EAM中，，∴△EAF≌△EAM，∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF，即EF＝BE＋DF；（3）解：如圖3，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AF．∵∠BAD＝150°，AE⊥AD，∴∠BAE＝150°-90°=60°，又∵∠B＝60°，∴△BAE是等邊三角形，∴BE＝AB＝80，∵∠ADC=120°，∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°，由（2）得，（米），即這條道路EF的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，對(duì)于大角中等于其中包含的小角的2倍的問題，可利用題中旋轉(zhuǎn)的方法補(bǔ)全三角形，再通過證明三角形全等的方法求解相關(guān)線段．6．（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【分析】（1）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（3）在NC上截取CM'=AM，連接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CBM'，從而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，進(jìn)而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意做適當(dāng)輔助線，得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．(1)證明見詳解(2)DE+BE=AD．理由見詳解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由見詳解.【分析】（1）根據(jù)題意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根據(jù)AAS可以證明△ADC≌△CEB，結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）由題意根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、圖形中線段間的和差關(guān)系以及等量代換證得DE+BE=AD；（3）由題意可知DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．證明的方法與（2）相同．(1)證明：如圖1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；∴DC=BE，AD=EC，∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如圖2，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．又∵AD⊥MN于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．(3)解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由如下：如圖3，易證得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時(shí)，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論．8．（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=DE+CE；證明見解析；（4）BD=DE?CE【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合，直接用AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)而可得；（3）方法同（1）證明，進(jìn)而可得（4）方法同（1）結(jié)論同（2）證明，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（1）證明見解析；（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△ACD≌△BCE，從而可知AD=BE；（2）根據(jù)條件即可判斷圖中的全等直角三角形．【詳解】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB．理由：∵AC=DC，∠ACB=∠DCE，∴AC=CD=EC=CB，∴△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠EBC=∠DAC，∠ADC=∠BEC，∴∠AHF=90°，∵∠EBC=∠CEB=∠CDA，∴△BCF≌△DCG（ASA），∴CF=CG，∴AF=EG，∵∠AHF=∠EHG，∠FAH=∠HEG，∴△AHF≌△EHG（AAS），∴AH=EH，又∵DE=AB，∴Rt△EHD≌Rt△AHB（HL）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定條件．10．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD【分析】（Ⅰ）先判斷出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判斷出∠CAF＝∠EAG，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）先用ASA判斷出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判斷出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，進(jìn)而判斷出MF＝CM，即可得出結(jié)論；（Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE，∴∠ACF＝∠AEG，∵AF⊥AD，∴∠DAF＝90°＝∠CAB，∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，∴∠CAF＝∠EAG，在△AGE和△AFC中，，∴△AGE≌△AFC（ASA）；（Ⅱ）如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥AC，交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠AGE＝∠AFC，∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，∴∠AGC＝∠AFG，∵∠CFM＝∠AFG，∴∠AGC＝∠CFM，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠AGC，∴∠CFM＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AM＝AF+CM，∴AD＝AF+BD；（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；過點(diǎn)C作CM⊥AC，交AF于點(diǎn)M，∴∠ACM＝90°＝∠ABD，由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，在△ACM和△ABD中，，∴△ACM≌△ABD（ASA），∴AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，∴∠G＝∠F，∵∠BAC＝90°＝∠ACM，∴CM∥AB，∴∠MCF＝∠G，∴∠F＝∠MCF，∴MF＝CM，∴AF＝AM+CM＝AD+BD，故答案為：AF＝AD+BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．11．B【分析】連接，可證≌，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】連接，如圖，在與中，≌，，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．A【分析】首先證明，再利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖連接BD，，，，，在中，，∴，在中，，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的證明和勾股定理，解題的關(guān)鍵是能通過已知的條件結(jié)合三角形全等的判定方法來證明三角形全等，結(jié)合垂直關(guān)系和邊的等量代換運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)．13．C【分析】如圖，延長(zhǎng)至使再證明可得再利用三角形的三邊關(guān)系可得：從而可得答案.【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至使為的中線，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線的含義，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系，掌握：“兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是解題的關(guān)鍵.14．C【分析】延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)C，根據(jù)題意，通過ASA判定，因?yàn)楹屯叩鹊?，所以面積相等，根據(jù)等量代換便可得出．【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)C，如圖所示，，∵，∴，∵BP是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的角平分線和全等三角形的判定．15．D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷①；根據(jù)全等三角形的判定定理判斷②；根據(jù)SAS定理判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系判斷④．【詳解】解：∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，①正確；∵EA與DA不一定相等，∴△ABE與△ACD不一定全等，②錯(cuò)誤；∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE＝45°，在△AED和△AEF中，∴△AED≌△AEF，③正確；∵△ADC≌△AFB，∴BF＝CD，∵BE＋BF＞DE∴BE＋DC＞DE，④錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換，掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．C【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．17．1＜AD＜7【分析】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點(diǎn)加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．3【分析】如圖，連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AD．在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．19．

①②③⑤

△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ【分析】①可證明△ACD≌△BCE,從而得出AD=BE；②可通過證明△BCQ≌△ACP，從而可證明△PCQ為等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明PQ∥AE．③由②中△BCQ≌△ACP，可證AP=BQ；④通過證明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由圖可知DE＞QE，從而④錯(cuò)誤；⑤通過三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得該結(jié)論．由前面的證明過程可得出三個(gè)全等三角形．【詳解】解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故本選項(xiàng)正確；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本選項(xiàng)正確；③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本選項(xiàng)正確；④∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴DP=EQ，∵DE＞QE∴DE＞DP，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本選項(xiàng)正確；∴正確的有：①②③⑤．由上面證明過程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．故答案為：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理，并能依據(jù)等邊三角形三邊相等，三角相等都是60°的特征判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．20．【分析】過點(diǎn)C向y軸，引垂線CD，利用△OAB≌△DBC，確定DC，DO的長(zhǎng)度，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，對(duì)稱坐標(biāo)自然確定.【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，∵∠ABC=90°，∴∠DBC+∠OBA=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵AB=BC，∠BDC=∠AOB=90°∴△OAB≌△DBC，∴DC=OB，DB=OA，∵A（2，0），B（0，1）∴DC=OB=1，DB=OA=2，∴OD=3，∴點(diǎn)C（1,3），∴點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,3），故答案為：（-1,3）.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的確定，熟練分解點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形全等，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度計(jì)算是解題的關(guān)鍵.21．4cm.【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AN于F，先利用AAS證出△ABC≌△FCE，從而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS證出△DCM≌△EFM,從而求出CM的長(zhǎng).【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥AN于F，如圖所示∵AN⊥AB，△BCE和△ACD為等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE=90°，BC=CE，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠FCE，在△ABC和△FCE中∴△ABC≌△FCE∴AB=FC=8cm，AC=FE∴CD=FE在△DCM和△EFM中∴△DCM≌△EFM∴CM=FM=FC=4cm.故答案為：4cm.【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握用AAS證兩個(gè)三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.22．102°【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，進(jìn)而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根據(jù)SAS證明△CDE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：在BC上截取BF＝AB，連接DF，如圖，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案為：102°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．23．（1）；（2），證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明即可得解；（2）根據(jù)已知條件證明即可得解；（3）根據(jù)已知條件證明即可得解；【詳解】（1）在和中，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又，∴，即；故答案是：；（2）答：；證明：∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；（3）∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可得，再由，可證得，即可求證；（2）根據(jù)同角的余角相等，可得，再由，可證得，即可求證；（3）過作交于，可得，再證明，可得，，再證得，得到，即可求證．【詳解】證明：（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）過作交于，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴∵，∴，∴，，∵的中點(diǎn)，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，根據(jù)題意得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．25．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AG=AC-CG+=2.5，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．（1）證明見解析；（2）；（3）；數(shù)量關(guān)系不變；理由見解析【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出結(jié)論；（2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再結(jié)合，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)CD與AP交于點(diǎn)O，由，得∠ACD=∠APD，結(jié)合∠AOC=∠DOP，三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC與△APD是等邊三角形，∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD，∴∠BAP＝∠DAC，在△ABP與△ACD中，，∴（SAS）；（2）∵，∴∠APC=∠CAP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°，又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°，∴∠APB=90°-60°=30°，∴∠ADC=∠APB=30°，∵△APD是等邊三角形，∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°；（3）=，隨著點(diǎn)位置的變化，與的數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：設(shè)CD與AP交于點(diǎn)O，∵，∴∠ACD=∠ABP=60°，∵∠APD=60°，∴∠ACD=∠APD，又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°，∴=．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（1）見解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，過點(diǎn)E作ET∥BC，根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△CAE與△ABD中∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）連接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，∴∠EAH＝∠DBH，在△AEH與△BDH中∴△AEH≌△BDH（SAS），∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°即∠EHD＝90°，∴∠EDH＝∠DEH＝；（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥F