人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義課件

歐氏幾何與非歐幾何的意義歐幾里得龐加萊歐氏幾何與非歐幾何的意義歐幾里得龐加萊舊知回顧通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道球面幾何與平面幾何中的許多定理是“相同”的，但也有一些定理是不相同的。舊知回顧通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道球面幾何與平導(dǎo)入新課在本講，我們首先通過平面幾何與球面幾何的比較，追溯某些定理不相同的根源，給出歐氏幾何與非歐幾何的定義；然后通過歐氏平行公理的分析，給出非歐幾何的一種模型——龐加萊模型。導(dǎo)入新課在本講，我們首先通過平面幾何與球面幾何教學(xué)目標(biāo)知識與能力感知球面幾何與平面幾何的異同點(diǎn)。認(rèn)識非歐幾何的特點(diǎn)。了解龐加萊模型的內(nèi)涵。教學(xué)目標(biāo)知識與能力感知球面幾何與平面幾何的異同點(diǎn)。通過比較，了解平面幾何與球面幾何的異同點(diǎn)。進(jìn)一步了解球面幾何在實(shí)際生活中的應(yīng)用。過程與方法從對比中學(xué)習(xí)知識。從生活中大量存在的現(xiàn)象中總結(jié)規(guī)律。培養(yǎng)合作交流意識。情感態(tài)度與價(jià)值觀通過比較，了解平面幾何與球面幾何的異過程與方法從對比中學(xué)習(xí)球面幾何與平面幾何的比較。非歐幾何的概念和意義。龐加萊模型。教學(xué)重難點(diǎn)球面幾何與平面幾何的比較。教學(xué)重難點(diǎn)一平面幾何與球面幾何的比較平面幾何球面幾何相同的定理1.平面（球面）三角形兩邊之和大于第三邊。2.若兩個(gè)平面（球面）三角形的三對邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。3.若兩個(gè)平面（球面）三角形的兩對邊對應(yīng)相等，且其夾角對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。4.若兩個(gè)平面（球面）三角形的兩對角對應(yīng)相等，且其夾邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。5.平面（球面）“等腰”三角形的兩底角相等，兩腰對應(yīng)相等。…………….一平面幾何與球面幾何的比較平面幾何球面幾何1.平面（球面平面幾何球面幾何不相同的定理平面三角形內(nèi)角和為180°。球面三角形內(nèi)角和大于180°。平面三角形的面積與內(nèi)角和無關(guān)。球面三角形的面積與內(nèi)角和減π成正比。同一平面上存在兩個(gè)不全等的相似三角形。同一球面上不存在兩個(gè)不全等的相似三角形?！私谈咧袛?shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT平面幾何球面幾何平面三角形內(nèi)角和為180°。球面三角形內(nèi)角和為什么會(huì)出現(xiàn)不同？追溯其根源，是平面上有這樣一個(gè)結(jié)論：

過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與該直線不相交。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT為什么會(huì)出現(xiàn)不同？追溯其根源，是我們把兩條不相交的直線稱為平行線，上述結(jié)論最早出現(xiàn)在歐幾里得所著的《原本》中，所以我們把上述結(jié)論稱為歐氏平行公理。在歐氏平行公理成立的條件下，推導(dǎo)出來的所有定理及其他結(jié)果所組成的幾何體系成為歐氏幾何。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT我們把兩條不相交的直線稱為平行線，上述結(jié)論最早球面上的大圓可視為“直線”。在球面上有這樣一個(gè)結(jié)論：任意兩條“直線”（大圓）都相交，即過“直線”外一點(diǎn)，沒有一條“直線”與該“直線”不相交。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT球面上的大圓可視為“直線”。在球面上有這樣一個(gè)結(jié)論：也就是說，對球面上的大圓而言，歐氏平行公理是不成立的。于是，在球面上產(chǎn)生了一些與歐氏平面幾何完全不同的定理。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT也就是說，對球面上的大圓而言，歐氏平行公理是不成立的在歐氏平行公理不成立的條件下，推導(dǎo)出來的所有定理與其結(jié)果所組成的幾何體系，稱為非歐幾何。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT在歐氏平行公理不成立的條件下，推導(dǎo)出來的所有定理與其二歐氏平行公理與非歐幾何模型——龐加萊模型在球面上歐氏平行公理不成立的原因，是我們把大圓當(dāng)作“直線”，因此任意兩條“直線”都相交。但是大圓是彎曲的，并非像直線一樣是筆直的；大圓的長度是有限的，而直線的長度是可以無限增大的。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT二歐氏平行公理與非歐幾何模型在球面上歐氏那么，為什么把大圓作為“直線”呢？在球面上，大圓具有直線在平面上的一些最基本的性質(zhì)。例如，過兩點(diǎn)有且只有一條直線；兩點(diǎn)之間的連線中直線最短，等等，這些性質(zhì)球面上的大圓都具備。所以大圓可以作為直線所具有的基本性質(zhì)的一種說明或解釋，這種解釋可以視為一種模型。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT那么，為什么把大圓作為“直線”呢？在球面上，現(xiàn)在我們來分析一下歐氏平行公理：“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與該直線不相交。”在平面上歐氏平行公理是不證自明的。因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論沒有加以證明，所以我們當(dāng)然可以懷疑它是否正確。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT現(xiàn)在我們來分析一下歐氏平行公理：“過直線外一點(diǎn)在球面上，如果我們把大圓作為“直線”，那么這個(gè)結(jié)論就不正確。這是一種懷疑方式，即“過直線外一點(diǎn)，沒有一條直線與該直線不相交”。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT在球面上，如果我們把大圓作為“直線”，那么這個(gè)我們還可以用另一種方式來懷疑它，即“過直線外一點(diǎn)，不只一條直線與該直線不相交”。我們把這樣改變后的結(jié)論稱為非歐（雙曲）平行公理。有雙曲平行公理成立的情況下，推導(dǎo)出來的所有定理所組成的幾何體系稱為雙曲幾何。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT我們還可以用另一種方式來懷疑它，即“過直線外一那么是否在某個(gè)特殊的“平面”上，可以把某種曲線叫作“直線”，此時(shí)，非歐平行公理是成立的，這個(gè)“平面”可作為非歐幾何模型。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT那么是否在某個(gè)特殊的“平面”上，可以把某種曲線下面，我們給出法國數(shù)學(xué)家龐加萊建立的滿足非歐平行公理的一種幾何模型。

圖8-1xxAllA人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT下面，我們給出法國數(shù)學(xué)家龐加萊建立的滿足非歐平在歐氏平面上做一條直線x，以x為邊緣的上半平面（不包含x

上的點(diǎn)）記為（圖8-1），現(xiàn)在考慮內(nèi)部的點(diǎn)，我們規(guī)定內(nèi)部的點(diǎn)為“非歐點(diǎn)”，圓心在x上的半圓或垂直于x的射線稱為“非歐直線”。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT在歐氏平面上做一條直線x，以x為邊緣的上半平面（不包那么，在內(nèi)、圓心在x上的一段圓弧，或垂直于x的射線上的一條線段是“非歐線段”，兩條“非歐直線”的夾角是“非歐角”。這樣，在內(nèi)部建立了一個(gè)非歐幾何的模型，在此模型內(nèi)滿足：過直線外一點(diǎn)，不只一條直線與該直線不相交。結(jié)合圖8-1，我們具體說明如下：人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT那么，在內(nèi)、圓心在x上的一段圓弧，或垂直于x的射

設(shè)l為內(nèi)垂直于x的射線，或者圓心在x上的半圓，點(diǎn)A為l外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)A必可作兩個(gè)半圓（或一射線、一半圓），其圓心在x上，且與l相切（顯然，切點(diǎn)在x上，而x上的點(diǎn)都不在內(nèi)），那么經(jīng)過點(diǎn)A就有兩條“非歐直線”與l都不相交，所以在內(nèi)非歐平行公理是成立的。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT設(shè)l為內(nèi)垂直于x的射線，或者圓心在x上把“過直線外一點(diǎn)，沒有一條直線與該直線不相交”作為公理推導(dǎo)出的幾何稱為橢圓幾何。非歐幾何主要有橢圓幾何和雙曲幾何，它們與歐氏幾何有明顯的差異。上面模型是龐加萊模型，龐加萊模型是一個(gè)雙曲幾何的模型。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT把“過直線外一點(diǎn)，沒有一條直線與該直線不相交”作為公歐氏幾何橢圓幾何雙曲幾何過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與該直線不相交。

過直線外一點(diǎn)，沒有一條直線與該直線不相交。

過直線外一點(diǎn)，不只一條直線與該直線不相交。三角形內(nèi)角和為180°。三角形內(nèi)角和大于180°。三角形內(nèi)角和小于180°。三角形的面積與內(nèi)角和無關(guān)。三角形的面積與內(nèi)角和減180°成正比。三角形的面積與180°減內(nèi)角和成正比。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT歐氏幾何橢圓幾何雙曲幾何過直線外一點(diǎn)，有且只有當(dāng)然，這三種幾何也有相同的地方：1.三角形中兩邊之和大于第三邊；2.若兩個(gè)三角形的三對邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT當(dāng)然，這三種幾何也有相同的地方：人教高中數(shù)學(xué)歐氏三歐氏幾何與非歐幾何的意義歐氏平行公理與非歐平行公理看起來是相互矛盾的，在一般情況下，如果有兩個(gè)互相矛盾的結(jié)論，則必定有一個(gè)是錯(cuò)誤的，現(xiàn)在我們?nèi)绾闻袛嗾l對誰錯(cuò)？人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT三歐氏幾何與非歐幾何的意義歐氏平行公理與非歐平首先，判斷一種幾何是否正確的標(biāo)準(zhǔn)是什么？1.這種幾何在理論上是否成立，這是本質(zhì)上的邏輯問題；2.這種幾何在實(shí)際中是否成立，能否刻畫我們生活的物理世界。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT首先，判斷一種幾何是否正確的標(biāo)準(zhǔn)是什么？數(shù)學(xué)家用間接的方法，在歐氏幾何中建立了一個(gè)非歐幾何的模型，在這個(gè)模型中，規(guī)定了一些（非歐）基本概念后，全部的推理都是依照歐氏幾何所遵循的邏輯進(jìn)行的，因此這個(gè)模型是歐氏幾何與非歐幾何的一個(gè)“橋梁”。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT數(shù)學(xué)家用間接的方法，在歐氏幾何中建立了一個(gè)非歐非歐幾何的結(jié)論通過模型又可解釋為歐氏幾何中的一個(gè)結(jié)論，這樣一來，如果非歐幾何是矛盾的，那么，歐氏幾何在邏輯上也是矛盾的，因此，龐加萊模型告訴我們，如果歐氏幾何是無矛盾的，那么非歐幾何也是無矛盾的。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT非歐幾何的結(jié)論通過模型又可解釋為歐氏幾何中的一愛因斯坦認(rèn)為，時(shí)間和空間是不可分的，物理空間十分復(fù)雜，無論歐氏幾何或非歐幾何都不能全面、精確的解釋物理的時(shí)空概念，但他們都是物理空間，對物理空間在不同方面有很好的近似。因此，兩者對于我們的世界有重要的物理意義。人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT愛因斯坦認(rèn)為，時(shí)間和空間是不可分的，物理空間十再見人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT再見人教高中數(shù)學(xué)歐氏幾何與非歐幾何的意義PPT人教高中數(shù)學(xué)歐1.中美貿(mào)易摩擦已升級為輿論戰(zhàn)，堅(jiān)持正確輿論導(dǎo)向、弘揚(yáng)愛國主義精神尤為重要。2.愛國主義精神具有深厚的歷史性，極強(qiáng)的傳承力、感染力，以及堅(jiān)韌性，頑強(qiáng)性和理性。3.愛國主義精神，是在中國共產(chǎn)黨近百年之奮斗史中不斷形成，積聚與升華而成的。4.面對史上規(guī)模最大的貿(mào)易戰(zhàn)，中國政府和人民最重要的是“集中力量做好自己的事”5.美方發(fā)起貿(mào)易戰(zhàn)，進(jìn)行恫嚇威脅，不會(huì)給中國發(fā)展帶來困難和影響，只會(huì)