2009年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析版)

絕密★啟用前數(shù)本試卷共5120在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）15分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+2i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（．第一象限B．第二象限C．第三象限）．第四象限25分）已知向量（1001=k+（kR=﹣，如果∥，那么（）．k=1且c與d同向C．﹣1且c與d同向35分）為了得到函數(shù)y=lgB．k=1且c與d反向．k=﹣1且c與d反向的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點(diǎn)（）．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度45分）若正四棱柱ABCD﹣ABCD的底面邊長為1AB與底面ABCD成1111160°角，則AC到底面ABCD的距離為（）11．B．1C．．55分）“α=+（k∈Z）是“cos2α=的（）．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件．既不充分也不必要條件65分）若（1+）=a+b（，b+b=（）5．45B．55C．70．80第1頁（共24頁）75分）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）．324B．328C．360．64885分）點(diǎn)P在直線：y=x﹣1上，若存在過P的直線交拋物線y=x于AB2PA|=|P為“點(diǎn)．直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”）B．直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C．直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”．直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）95分）=．105分）若實(shí)數(shù)x，y滿足5分）設(shè)f（x）是偶函數(shù)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1斜率為1，則該曲線在（﹣1，（﹣1則s=y﹣x的最小值為．．125分）橢圓|PF2|=+=1的焦點(diǎn)為F、F，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF|=4，則121，∠FPF的大小為．12135分）若函數(shù)則不等式的解集為．145分）{a}滿足：a=1，a=0，a=a，nN則a2009=；*n4n34n12nn﹣﹣第2頁（共24頁）a=．2014三、解答題（共6小題，滿分80分）1513分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，．（）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．1614P﹣ABC中，PA⊥底面ABCPA=ABABC=60°，∠BCA=90°，點(diǎn)、E分別在棱、PC上，且∥．（1）求證：⊥平面PAC；（2）當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)E使得二面角﹣﹣P為直二面角？并說明理由．1713分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min．第3頁（共24頁）（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望．1813分）設(shè)函數(shù)（x）=xekx（k≠0（）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，（0（Ⅱ）求函數(shù)（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．1914分）已知雙曲線C：方程為x==1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準(zhǔn)線（）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l是圓O：x+y=2上動(dòng)點(diǎn)P（x，yxy≠0）處的切線，l與雙220000曲線C交于不同的兩點(diǎn)，，證明∠AOB的大小為定值．第4頁（共24頁）2013分）已知數(shù)集{a，a，…，a}（1≤a＜a＜…a，n≥2）具有性質(zhì)12n12n；對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤naa與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．ij（）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（Ⅱ）證明：1，且；，a，a，a，a成等比數(shù)列．（Ⅲ）證明：當(dāng)n=5時(shí)，a12345第5頁（共24頁）2009年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）15分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+2i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（．第一象限B．第二象限C．第三象限）．第四象限【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】：計(jì)算題．【分析】按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則展開，化簡為+bi（a，b∈R）的形式，即可確定復(fù)數(shù)z所在象限．【解答】解：∵（1+2i）=i+2i=﹣2+，∴復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（﹣2，1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查．25分）已知向量（1001=k+（kR=﹣，如果∥，那么（）．k=1且c與d同向C．﹣1且c與d同向B．k=1且c與d反向．k=﹣1且c與d反向【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】：計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的選項(xiàng)特點(diǎn)，檢驗(yàn)k=1是否滿足條件，再檢驗(yàn)k=﹣1是否滿足條件，從而選出應(yīng)選的選項(xiàng)．【解答】解：∵（1，0（0，1k=1，第6頁（共24頁）則=+（1，1=﹣（1，﹣1顯然，與不平行，排除、B．若﹣1，則﹣+=（﹣1，1=﹣（1，﹣1即∥且與反向，排除，故選：．【點(diǎn)評(píng)】于另一個(gè)向量坐標(biāo)的若干倍．35分）為了得到函數(shù)y=lg的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點(diǎn)（）．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，即可選出答案．【解答】解：∵，∴只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移31個(gè)單位長度故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換．屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．45分）若正四棱柱ABCD﹣ABCD的底面邊長為1AB與底面ABCD成1111160°角，則AC到底面ABCD的距離為（）11．B．1C．．第7頁（共24頁）【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行．【專題】：計(jì)算題；13：作圖題；16：壓軸題．【分析】畫出圖象，利用線段的關(guān)系，角的三角函數(shù)，求解即可．的長度即AC到上面ABCD的距離，【解答】解：依題意，111AB=60°，BB×tan60°=，∠B11故選：．【點(diǎn)評(píng)】距離等概念，屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．55分）“α=+（k∈Z）是“cos2α=的（）．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件．既不充分也不必要條件29G9：任意角的三角函數(shù)的定義；：二倍角的三角函數(shù)．【分析】基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．將a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=時(shí)，a=+2kπk∈Z）卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a=+2kπ（kZ）時(shí)，cos2a=cos（+）=cos=第8頁（共24頁）反之，當(dāng)cos2a=時(shí)，有2a=2kπ+?a=kπ+（kZ或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（kZ故選：．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若pq為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若pq為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若pq為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．65分）若（1+）=a+b（，b+b=（）5．45B．55C．70．80【考點(diǎn)】：二項(xiàng)式定理．【專題】：計(jì)算題．【分析】展開式求出，b，求出a+b【解答】解析：由二項(xiàng)式定理得：（1+）5=1+5122334455?（）5+C（）+C（）+C（）+C555+5+20+20+20+4=41+29，∴，b=29，+b=70．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式、組合數(shù)公式求二項(xiàng)式系數(shù)．75分）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）第9頁（共24頁）．324B．328C．360．648【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】本題要分類來解，當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時(shí)，個(gè)位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，個(gè)位有8種，寫出結(jié)果數(shù)，當(dāng)尾數(shù)為0時(shí)，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，寫出結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到共有的結(jié)果數(shù)．【解答】解：由題意知本題要分類來解，當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時(shí)，個(gè)位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有8×8×4=256當(dāng)尾數(shù)為0時(shí)，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，共有9×8×1=72根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有256+72=328故選：B．【點(diǎn)評(píng)】字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．85分）點(diǎn)P在直線：y=x﹣1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于ABPA|=|P為“點(diǎn)．直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”）B．直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C．直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”．直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”【考點(diǎn)】IR：兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】：計(jì)算題；16：壓軸題；2：創(chuàng)新題型．第10頁（共24頁）【分析】根據(jù)題設(shè)方程分別設(shè)出，P的坐標(biāo)，進(jìn)而B的坐標(biāo)可表示出，把，B的坐標(biāo)代入拋物線方程聯(lián)立消去y0程有解，進(jìn)而可推斷出直線l上的所有點(diǎn)都符合．【解答】解：設(shè)（m，n（x，x﹣1）則，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵，B在y=x上2∴n=m，2n﹣x+（2m﹣x）22消去n，整理得關(guān)于x的方程x﹣（4m﹣1）x+2m﹣1=022∵△=8m﹣8m+5＞0恒成立，2∴方程恒有實(shí)數(shù)解，∴故選．【點(diǎn)評(píng)】方程聯(lián)立，解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，利用判別式來判斷．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）95分）=．【考點(diǎn)】：極限及其運(yùn)算．【專題】：計(jì)算題．【分析】通過因式分解把原式轉(zhuǎn)化為=，由此能夠得到，消除零因子后得到的值．【解答】解：==第頁（共24頁）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極限，解題時(shí)要注意消除零因子．105分）若實(shí)數(shù)x，y滿足則s=y﹣x的最小值為﹣6．【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】①畫可行域如圖②目標(biāo)函數(shù)s為該直線縱截距③平移目標(biāo)函數(shù)可知直線過（4，﹣2）點(diǎn)時(shí)s有最小值．【解答】解：畫可行域如圖陰影部分，令s=0作直線l：y﹣x=0平移l過點(diǎn)A（4，﹣2）時(shí)s有最小值﹣6，故答案為﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃問題：可行域畫法目標(biāo)函數(shù)幾何意義5分）設(shè)f（x）是偶函數(shù)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1斜率為1，則該曲線在（﹣1，（﹣1﹣1．【考點(diǎn)】：奇函數(shù)、偶函數(shù)；62：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【分析】偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合圖象，根據(jù)對(duì)稱性即可解決本題．【解答】解；?。▁）=x﹣1，如圖，第12頁（共24頁）易得該曲線在（﹣1，（﹣11．故應(yīng)填﹣1．【點(diǎn)評(píng)】意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．125+=1的焦點(diǎn)為FFPPF|=4PF|=12122，∠FPF的大小為120°．12【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；16：壓軸題．|+|PF|=6，且|PF|=4，易得|PF|；第二問【分析】第一問用定義法，由|PF1212如圖所示：角所在三角形三邊已求得，用余弦定理求解．|+|PF|=2a=6，【解答】解：∵|PF12|=6﹣|PF|=2．∴|PF21PF中，在△12cos∠FPF12第13頁（共24頁）===﹣，PF=120°．∴∠12故答案為：2；120°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問題，這類題是?？碱愋停y度不大，考查靈活，特別是對(duì)曲線的定義和性質(zhì)考查的很到位．135則不等式的解集為[﹣31]．【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法．【專題】：計(jì)算題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】法和絕對(duì)值不等式的解法分別求解，最后兩種結(jié)果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集為x|﹣3≤x≤1，故答案為：[﹣3，1]．【點(diǎn)評(píng)】本運(yùn)算．145分）{a}滿足：a=1，a=0，a=a，nN=1；a=*則a2009n4n34n12nn2014﹣﹣0．第14頁（共24頁）【考點(diǎn)】81：數(shù)列的概念及簡單表示法．【專題】16：壓軸題．，a，a=a，知第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是1，第三項(xiàng)是0，﹣【分析】由a4n34n12nn﹣第2009項(xiàng)的2009可寫為503×4﹣32009項(xiàng)是12014項(xiàng)等于1007項(xiàng)，而1007=252×4﹣1，所以第2014項(xiàng)是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴2009=1，=a，∵201410071007=252×4﹣1，∴2014=0，故答案為：1，0．【點(diǎn)評(píng)】培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法．三、解答題（共6小題，滿分80分）1513分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，．（）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；HP：正弦定理．【專題】：計(jì)算題．【分析】（ⅠcosA=得到A為銳角且利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA﹣﹣AC的值代入sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，將sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面積，根據(jù)面積公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里邊的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．第15頁（共24頁）【解答】）∵、B、C為△ABC的內(nèi)角，且∴A為銳角，＞0，則sinA=∴=∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（）知sinA=，sinC=又∵∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面積S=absinC=×××，，=．【點(diǎn)評(píng)】本關(guān)系化簡求值．靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值．1614P﹣ABC中，PA⊥底面ABCPA=ABABC=60°，∠BCA=90°，點(diǎn)、E分別在棱、PC上，且∥．（1）求證：⊥平面PAC；（2）當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)E使得二面角﹣﹣P為直二面角？并說明理由．【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】：計(jì)算題；14：證明題．【分析】（1）欲證⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證第16頁（共24頁）BC與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BC，而AC⊥，滿足定理所需條件；（2⊥平面PACEDAE是AD與平面PAC△ADE中，求出AD與平面PAC所成角即可；（3DE⊥⊥PEAEP為二面角A﹣﹣P的平面角，而PA⊥AC，則在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得⊥PC，從而存在點(diǎn)E使得二面角﹣﹣P是直二面角．1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥．又∠BCA=90°，∴AC⊥，∴⊥平面PAC．（2）∵D為PB的中點(diǎn)，∥BC，∴DE=．又由（1）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴AD=AB．在△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在△ADE中，sin∠DAE===，即AD與平面PAC所成角的正弦值為．（3）∵∥BC，又由（1）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC．又∵?平面PAC，PE?平面PBC，∴⊥，DE⊥，∴∠AEP為二面角﹣﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得⊥．這時(shí)，∠AEP=90°，第17頁（共24頁）故存在點(diǎn)E使得二面角﹣﹣P是直二面角．【點(diǎn)評(píng)】識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．1713分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min．（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望．【考點(diǎn)】C8：相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】：計(jì)算題．【分析】（1一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，根據(jù)公式得到結(jié)果．（2）由題意知變量的可能取值，根據(jù)所給的條件可知本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到變量的分布列，算出期望．【解答】ⅠA，∵事件A等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈，∴事件A的概率為（Ⅱ）由題意可得可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）事件“ξ=2k”等價(jià)于事件該學(xué)生在路上遇到k次紅燈（k=0，1，2，3，4∴，第18頁（共24頁）∴即的分布列是0∴的期望是【點(diǎn)評(píng)】生的概率互不影響，而對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．1813分）設(shè)函數(shù)（x）=xekx（k≠0（）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，（0（Ⅱ）求函數(shù)（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】（）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．（II）先求出（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間即可；（III）由（）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)﹣≤﹣1時(shí)，函數(shù)（x11）內(nèi)單調(diào)遞增，若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)﹣≥1時(shí)，函數(shù)（x11）內(nèi)單調(diào)遞增，由此即可求k的取值范圍．【解答】）f′（x）=（1+kx）e，f′（0），（0）=0，kx曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，（0y=x；（Ⅱ）由f′（x）（1+kx）kx，得x=﹣（k≠0若k＞0，則當(dāng)x（﹣∞，﹣）時(shí)，第19頁（共24頁）f′（x）＜0，函數(shù)（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x（﹣f′（x）＞0，函數(shù)（x）單調(diào)遞增，若k＜0，則當(dāng)x（﹣∞，﹣）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x（﹣f′（x）＜0，函數(shù)（x）單調(diào)遞減；（Ⅲ）由（）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)﹣≤﹣1，即k≤1時(shí)，函數(shù)（x1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)﹣≥1，即k≥﹣1時(shí)，函數(shù)（x1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)（x1，1）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是[﹣1，0）∪（0，1]．【點(diǎn)評(píng)】于基礎(chǔ)題．1914分）已知雙曲線C：方程為x==1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準(zhǔn)線（）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l是圓O：x+y=2上動(dòng)點(diǎn)P（x，yxy≠0）處的切線，l與雙220000曲線C交于不同的兩點(diǎn)，，證明∠AOB的大小為定值．【考點(diǎn)】KJ：圓與圓錐曲線的綜合．【專題】：計(jì)算題；15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（I）先利用條件列出關(guān)于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出第20頁（共24頁）雙曲線方程．（II）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯(lián)立求出關(guān)于點(diǎn)，B坐標(biāo)之間的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可證明∠AOB的大小為定值．）由題意，解得，c=，，b=c2，22﹣a∴所求雙曲C的方程．=2上，2（Ⅱ）設(shè)（m，n≠0）在x+y2圓在點(diǎn)（m，n）處的切線方程為y﹣n=﹣（x﹣m化簡得+ny=2．=2得2以及m+n2，2（3m﹣4）x﹣4mx+8﹣2m22∵切L與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且0＜m＜2，23m﹣4≠0，且△=16m﹣4（3m﹣48﹣2m）＞0，2222，yx，y設(shè)、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別（x1122x+x=，xx=．1212∵且，=xx+[4﹣2m（x+x）+mxx]2121212=+[4﹣+]第21頁（共24頁）=﹣．∴∠AOB的大小為90．0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考