滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)秋季班第2講 二次根式的運(yùn)算教師版

二次根式的運(yùn)算二次根式的運(yùn)算內(nèi)容分析內(nèi)容分析本節(jié)主要講解的內(nèi)容包括兩大部分，第一是最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的區(qū)分與化簡(jiǎn)，難點(diǎn)在化簡(jiǎn)二次根式與利用同類二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解綜合題目上；第二是二次根式的四則運(yùn)算，難點(diǎn)是合并同類項(xiàng)及乘除運(yùn)算的時(shí)候符號(hào)問題．這節(jié)內(nèi)容是二次根式的重點(diǎn)與難點(diǎn)．知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式模塊一：最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式知識(shí)精講知識(shí)精講1、最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；（2）被開方數(shù)不含分母．被開方數(shù)同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2、同類二次根式的概念：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．

例題解析例題解析判斷下列二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）．【難度】★（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是．（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；（2）被開方數(shù)不含分母． 同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式， 所以（2）是最簡(jiǎn)二次根式．【總結(jié)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念．將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）．【難度】★（1）；（2）；（3）；（4）．（1）；（2）；（3）；（4）．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)： （1）； （2）；（3）．【難度】★（1）；（2）；（3）．（1）；（2）；（3）====．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．判斷下列二次根式是否為同類二次根式．（1）； （2）； （3）； （4）．【難度】★（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．（1）∵，，∴和不是同類二次根式；（2）∵；∴和不是同類二次根式；（3）∵；∴和不是同類二次根式；（4）∵，，∴和是同類二次根式．【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，先化簡(jiǎn)再判斷．將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式： （1）（）； （2）； （3）．【難度】★★（1）；（2）；（3）．（1）原式===；（2）原式=；（3）．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的各因式的符號(hào)．將下列根號(hào)外的因式移到根號(hào)里面：（1）； （2）； （3）； （4）．【難度】★★（1）；（2）；（3）；（4）．（1）原式=； （2）原式==；（3）∵，∴，∴原式==；（4）．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形，注意移入的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)．是同類二次根式，求的值．【難度】★★．由題意得：，解得：．【總結(jié)】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列出方程組并求解．已知的值．【難度】★★．∵，∴，即，∴．∴原式=．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值．分別求出滿足下列條件的字母a的取值：（1）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式；（2）若二次根式與是同類二次根式．【難度】★★（1）；（2）．（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)以及最簡(jiǎn)二次根式的概念．將下列式子化成最簡(jiǎn)二次根式： （1）； （2）的值．【難度】★★★（1）；（2）．（1）原式===；（2）原式=．∵，∴．∴原式====．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的各因式的符號(hào)．將下列式子化成最簡(jiǎn)二次根式：若x、y為實(shí)數(shù)，且，求的值．【難度】★★★．由題意得：；．∴=====．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的各因式的符號(hào)．已知等式成立，求x的值．【難度】★★★．由題意得：，當(dāng)時(shí)，，不存在，應(yīng)舍去．當(dāng)時(shí)，，∴或，∴．又∵，∴．綜上得．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的各因式的符號(hào)．化簡(jiǎn)：．【難度】★★★．原式=．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式，注意相應(yīng)方法的歸納總結(jié)．師生總結(jié)師生總結(jié)滿足最簡(jiǎn)二次根式的條件是什么？2、滿足同類二次根式的條件是什么？ 模塊二：二次根式的運(yùn)算 模塊二：二次根式的運(yùn)算知識(shí)精講知識(shí)精講1、二次根式的加減運(yùn)算：把二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)（加或者減）．2、二次根式的乘除運(yùn)算：（1）兩個(gè)二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；（2）兩個(gè)二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變．例題解析例題解析計(jì)算：．【難度】★0．原式=．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡(jiǎn)后合并．化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【難度】★（1）；（2）．（1）原式===；（2）原式===．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡(jiǎn)后合并．化簡(jiǎn)：（1）； （2）；（3）．【難度】★（1）；（2）；（3）．（1）原式==；（2）原式=；（3）原式=．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．已知求的值．【難度】★★．．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，綜合性較強(qiáng)，要注意判斷x、y兩數(shù)的符號(hào)，然后利用整體代入的思想求值．化簡(jiǎn)：．【難度】★★．原式====．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．化簡(jiǎn)：（1）； （2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）原式=；（2）原式==．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，（1）求該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；（2）若另一個(gè)正方形，其面積與該長(zhǎng)方形面積相等，試計(jì)算該正方形的周長(zhǎng)．【難度】★★（1）；（2）8．（1）==；（2），∴正邊形的邊長(zhǎng)為2，∴周長(zhǎng)為8．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算以及求值．計(jì)算：．【難度】★★．原式====．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，注意先化簡(jiǎn)后合并，注意方法的選擇．解下列不等式 （1）； （2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)求解不等式．化簡(jiǎn)求值：．【難度】★★★．原式===；把代入，得：原式=．【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)和分母有理化．若等式成立，化簡(jiǎn)：．【難度】★★★．由題意得：，解得：．∴原式===．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的概念、化簡(jiǎn)以及求值．的值．【難度】★★★．∵， ∴．∴原式===．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，一方面考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值運(yùn)算，另一方面考查了利用將次思想以及整體代入思想進(jìn)行求值．隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)下列各式中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)有（ ）；；；；；．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【難度】★D．；；；不是最簡(jiǎn)二次根式；；；是最簡(jiǎn)二次根式．【總結(jié)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念．下列二次根式中，與不是同類二次根式的為（ ） A．B．C．D．【難度】★A．；；；，故選A．【總結(jié)】本題考查同類二次根式的概念．下列化簡(jiǎn)錯(cuò)誤的是（）A． B．=×=0.1×0.7=0.07C．== D．=·=1×=【難度】★D．．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．若最簡(jiǎn)根式和是同類二次根式，求的值的平方根．【難度】★．由題意得：．∴．【總結(jié)】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列方程并求解．合并下列各式中的同類二次根式并計(jì)算：（1）； （2）；（3）； （4）．【難度】★（1）；（2）；（3）；（4）．（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=．比較大小：（1）與； （2）與；（3）與； （4）與．【難度】★★（1）；（2）； （3）； （4）．（1）平方法；（2）平方法；（3）作差法；（4）倒數(shù)法．【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的比較大?。畬⑾铝卸胃交勺詈?jiǎn)二次根式：（1）； （2）；（3）．【難度】★★（1）；（2）；（3）．（1）；（2）；（3）原式=．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．計(jì)算：（1）； （2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）原式=；（2）原式=．【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算和分母有理化．已知，求代數(shù)式的值．【難度】★★289．由已知得：，，∴，．∴．【總結(jié)】本題主要考查了分母有理化和完全平方公式的變形．解下列不等式：（1）； （2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）原不等式可化為：，即，∴；（2）原不等式可化為：，∴．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)求解不等式．把化成最簡(jiǎn)二次根式．【難度】★★★．∵，∴．∴原式=．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．已知，求代數(shù)式的值．【難度】★★★．由題意，，∴，∴．又，把，代入，得：．【總結(jié)】本題主要考查二次根式的概念、化簡(jiǎn)以及求值．【習(xí)題13】已知是的小數(shù)部分，求代數(shù)式的值．【難度】★★★．∵，∴，∴，∴，∴．∴原式==．【總結(jié)】本題主要考查無理數(shù)的小數(shù)部分的表示以及整體思想的運(yùn)用．課后作業(yè)課后作業(yè)下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）A． B． C． D．【難度】★D．；；，故選D．【總結(jié)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的概念．把代數(shù)式根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為_______；【難度】★．．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形，注意移入的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)．若，計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（）（1）； （2）；（3）； （4）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【難度】★B．（1）正確；（2）正確；（3）錯(cuò)誤；（4）錯(cuò)誤．【總結(jié)】本題考查二次根式的性質(zhì)和有意義的條件．二次根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（ ）A． B． C． D．【難度】★★C．．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．若是同類二次根式，求的值．【難度】★★．由題意得：，∴．【總結(jié)】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列方程并求解．計(jì)算： （1）； （2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）原式=；（2）原式==．【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算．化簡(jiǎn)并計(jì)算：（1）；（2）．【難度】★★（1）；（2）．（1）原式=；（2）原式=．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)．若的值．【難度】★★．由已知得：，∴，∴，∴，∴．【總結(jié)】本題主要考查了完全平方公式的變形．將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式． （1）（）； （2）已知a、b、c為正數(shù)，d為負(fù)數(shù)，．【難度】★★（1）3；（2）．（1）原式=；（2）∵為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，∴，∴原式=．【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意被開方數(shù)的的符號(hào)． 已知x，y分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求的平方根．【難度】★★★．∵，，∴，∴．∴，∴，∴的平方根為．【總結(jié)】對(duì)于一個(gè)無理數(shù)的小數(shù)部分，沒有辦法完整寫出來，只能用一種整體思想相應(yīng)