在職研究報(bào)告生考試數(shù)學(xué)測(cè)試練習(xí)題

..>在職研究生考試數(shù)學(xué)測(cè)試練習(xí)題微積分〔1〕設(shè)是微分方程的滿足，的解，則〔〕〔A〕等于0. 〔B〕等于1. 〔C〕等于2. 〔D〕不存在.解，將代入方程，得，又，，故，所以，選擇B.〔2〕設(shè)在全平面上有，，則保證不等式成立的條件是〔〕〔A〕，. 〔B〕，.〔C〕，. 〔D〕，.解關(guān)于單調(diào)減少，關(guān)于單調(diào)增加，當(dāng)，時(shí)，，選擇A.〔3〕設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)有，，則當(dāng)時(shí)有〔〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解【利用數(shù)形結(jié)合】為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖形為遞減的凹曲線，當(dāng)時(shí)，的圖形為遞減的凸曲線，選擇D.〔4〕設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得〔〕〔A〕在內(nèi)單調(diào)增加〔B〕在內(nèi)單調(diào)減少〔C〕對(duì)任意的，有〔D〕對(duì)任意的，有解【利用導(dǎo)數(shù)的定義和極限的保號(hào)性】，由極限的的保號(hào)性，，在此鄰域內(nèi)，，所以對(duì)任意的，有，選擇D.(5)函數(shù)在以下哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]【分析】如f(*)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f(*)在(a,b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)*0,1,2時(shí)，f(*)連續(xù)，而，，，，，所以，函數(shù)f(*)在(1,0)內(nèi)有界，應(yīng)選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f(*)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(*)在閉區(qū)間[a,b]上有界；如函數(shù)f(*)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f(*)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有界.〔6〕設(shè)f(*)在(,+)內(nèi)有定義，且，，則(A)*=0必是g(*)的第一類連續(xù)點(diǎn). (B)*=0必是g(*)的第二類連續(xù)點(diǎn).(C)*=0必是g(*)的連續(xù)點(diǎn).(D)g(*)在點(diǎn)*=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). [D]【分析】考察極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)?a(令)，又g(0)=0，所以，當(dāng)a=0時(shí)，，即g(*)在點(diǎn)*=0處連續(xù)，當(dāng)a0時(shí)，，即*=0是g(*)的第一類連續(xù)點(diǎn)，因此，g(*)在點(diǎn)*=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，應(yīng)選(D).【評(píng)注】此題屬于基此題型，主要考察分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.(7)設(shè)f(*)=|*(1*)|，則(A)*=0是f(*)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=f(*)的拐點(diǎn).(B)*=0不是f(*)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=f(*)的拐點(diǎn).(C)*=0是f(*)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=f(*)的拐點(diǎn).(D)*=0不是f(*)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=f(*)的拐點(diǎn). [C]【分析】由于f(*)在*=0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考察f(*)在*=0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0<<1，當(dāng)*(,0)(0,)時(shí)，f(*)>0，而f(0)=0，所以*=0是f(*)的極小值點(diǎn).顯然，*=0是f(*)的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng)*(,0)時(shí)，f(*)=*(1*)，，當(dāng)*(0,)時(shí)，f(*)=*(1*)，，所以(0,0)是曲線y=f(*)的拐點(diǎn).應(yīng)選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考察f(*)在*=0的*空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷.(8)設(shè)有以下命題：(1)假設(shè)收斂，則收斂.(2)假設(shè)收斂，則收斂.(3)假設(shè)，則發(fā)散.(4)假設(shè)收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的選項(xiàng)是(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4). [B]【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性.【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因?yàn)楦淖?、增加或減少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n)，所以發(fā)散.(4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，，都發(fā)散，而收斂.應(yīng)選(B).【評(píng)注】此題主要考察級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基此題型.(9)設(shè)在[a,b]上連續(xù)，且，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(A)至少存在一點(diǎn)，使得>f(a). (B)至少存在一點(diǎn)，使得>f(b). (C)至少存在一點(diǎn)，使得.(D)至少存在一點(diǎn)，使得=0. [D]【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由在[a,b]上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即.同理，至少存在一點(diǎn)使得.所以，(A)(B)(C)都正確，應(yīng)選(D).【評(píng)注】此題綜合考察了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度.〔10〕設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，假設(shè)，則(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)選(Ａ).〔11〕設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[C]【分析】從入手計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性.【詳解】由知，.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則.令，則.所以存在，故此題選〔C〕.〔12〕假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)(A)收斂.〔B〕收斂.(C)收斂.(D)收斂.[Ｄ]【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】由收斂知收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選(Ｄ).或利用排除法：取，則可排除選項(xiàng)〔Ａ〕，〔Ｂ〕；取，則可排除選項(xiàng)〔Ｃ〕.故〔Ｄ〕項(xiàng)正確.〔13〕設(shè)非齊次線性微分方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是〔Ａ〕.〔Ｂ〕.〔Ｃ〕.〔Ｄ〕[Ｂ]【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的構(gòu)造即可.【詳解】由于是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選(Ｂ).【評(píng)注】此題屬基此題型，考察一階線性非齊次微分方程解的構(gòu)造：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解.〔14〕設(shè)均為可微函數(shù)，且，是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是(A)假設(shè)，則.(B)假設(shè)，則.(C)假設(shè)，則.(D)假設(shè)，則.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函數(shù)在〔是對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值〕取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)，并記對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值為，則，即.消去，得,整理得.〔因?yàn)椤常僭O(shè)，則.應(yīng)選〔Ｄ〕.線性代數(shù)〔1〕二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是〔〕.〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解二次型的標(biāo)準(zhǔn)型由它的正負(fù)慣性指數(shù)確定，二次型的矩陣，其特征多項(xiàng)式，故的特征值為，正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，選擇D.〔2〕設(shè)，是三階非零矩陣，且，則〔〕.〔A〕當(dāng)時(shí)，.〔B〕當(dāng)時(shí)，.〔C〕當(dāng)時(shí)，.〔D〕當(dāng)時(shí)，.解，，.當(dāng)時(shí)，，，排除A，C，當(dāng)時(shí)，，，，矛盾，排除D，選擇B.(3)設(shè)階矩陣與等價(jià),則必有(A)當(dāng)時(shí),.(B)當(dāng)時(shí),.(C)當(dāng)時(shí),.(D)當(dāng)時(shí),.[D]【分析】利用矩陣與等價(jià)的充要條件:立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又與等價(jià),故,即,應(yīng)選(D).【評(píng)注】此題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考察,屬基此題型.(4)設(shè)階矩陣的伴隨矩陣假設(shè)是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的根底解系(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. [B]【分析】要確定根底解系含向量的個(gè)數(shù),實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因?yàn)楦捉庀岛蛄康膫€(gè)數(shù)=,而且根據(jù)條件于是等于或.又有互不相等的解,即解不惟一,故.從而根底解系僅含一個(gè)解向量,即選(B).【評(píng)注】此題是對(duì)矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的構(gòu)造等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考察.〔5〕設(shè),，假設(shè)矩陣相似于，則.【答案】2.【解析】相似于，根據(jù)相似矩陣有一樣的特征值，得到的特征值為3，0，0.而為矩陣的對(duì)角元素之和，，.〔6〕設(shè)均為維列向量，為矩陣，以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是(A)假設(shè)線性相關(guān)，則線性相關(guān).(B)假設(shè)線性相關(guān)，則線性無關(guān).(C)假設(shè)線性無關(guān)，則線性相關(guān).(D)假設(shè)線性無關(guān)，則線性無關(guān).[A]【分析】此題考察向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)展判定.【詳解】記，則.所以，假設(shè)向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).〔7〕設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則〔Ａ〕.〔Ｂ〕.〔Ｃ〕.〔Ｄ〕.［Ｂ］【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選〔Ｂ〕.概率論〔1〕設(shè)隨機(jī)變量與分別服從和，且與不相關(guān)，與也不相關(guān)，則〔〕.〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解與不相關(guān)，與不相關(guān)，選擇A.〔2〕設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則〔〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解，排除A，，排除B，，排除C，選擇D.(3)設(shè)，,…,為來自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計(jì)量，則.【答案】【解析】由.〔4〕設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A)(B)(C)(D)[A]【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.應(yīng)選(A).(5)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,對(duì)給定的,數(shù)滿足,假設(shè),則等于(A).(B).(C).(D).[C]【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得.【詳解】由,以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得.故正確答案為(C).【評(píng)注】此題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì),嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考察.微積分〔1〕設(shè)，假設(shè)與都存在，則，.解當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，存在，即，存在，即，解得.(2)假設(shè)，則a=，b=.【分析】此題屬于極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)椋?，所以，得a=1.極限化為，得b=4.因此，a=1，b=4.(3)設(shè)，則.【分析】此題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：*1=t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令*1=t，＝.〔4〕.解由積分中值定理知，存在：，使得.〔5〕設(shè)由方程確定，且，則.解方程為，，，.〔6〕設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，且，則.解，，，，又，故，，，，.〔7〕極限.【分析】此題屬基此題型，直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)展計(jì)算即可.【詳解】=〔8〕微分方程滿足初始條件的特解為.【分析】直接積分即可.【詳解】原方程可化為，積分得，代入初始條件得C=2，故所求特解為*y=2.〔9〕設(shè)二元函數(shù)，則.【分析】基此題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】,,于是.〔10〕.【答案】.【解析】.〔11〕設(shè)，則.【答案】.【解析】由，故代入得，.〔12〕冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.【答案】.【解析】由題意知，所以，該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為〔13〕設(shè)*產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其對(duì)應(yīng)價(jià)格的彈性，則當(dāng)需求量為10000件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即為因?yàn)?，所以所以將代入?線性代數(shù)〔1〕設(shè)矩陣，其中是維列向量，且，則.解，故，所以.〔2〕設(shè)行向量組，，，線性相關(guān)，且，則a=.【分析】四個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對(duì)應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.【詳解】由題設(shè)，有,得，但題設(shè)，故〔3〕設(shè)是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，假設(shè)【答案】【解析】〔4〕設(shè),，假設(shè)矩陣相似于，則.【答案】2.【解析】相似于，根據(jù)相似矩陣有一樣的特征值，得到的特征值為3，0，0.而為矩陣的對(duì)角元素之和，，.(5)二次型的秩為.【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩,亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),于是利用初等變換或配方法均可得到答