奧數(shù)時(shí)鐘問題

奧數(shù)時(shí)鐘問題一鐘面追及時(shí)間：2008-11-3018:33:57點(diǎn)擊：2502基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：①確定分針與時(shí)針的初始位置；②確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：①分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成0小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)起0分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1/12分格。②度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/（12*60）度，即1/2度。解法，時(shí)鐘，算法，公式四、時(shí)鐘問題解法與算法公式解題關(guān)鍵：時(shí)鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時(shí)〃分為12大格，按“分〃分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊?，分針每小時(shí)可追及。1、二點(diǎn)到三點(diǎn)鐘之間，分針與時(shí)針什么時(shí)候重合？分析：兩點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12,時(shí)針指向2,分針在時(shí)針后5x2=10（小格）。而分針每分鐘可追及1—=（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時(shí)間應(yīng)為（10+）分鐘。解： （5x2）+（1—）=10+=10（分）答：2點(diǎn)10分時(shí)，兩針重合。2、在4點(diǎn)鐘至5點(diǎn)鐘之間，分針和時(shí)針在什么時(shí)候在同一條直線上？分析：分針與時(shí)針成一條直線時(shí)，兩針之間相差30小格。在4點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12,時(shí)針指向4,分針在時(shí)針后5x4=20（小格）。因分針比時(shí)針?biāo)俣瓤?，要成直線，分針必須追上時(shí)針（20小格）并超過時(shí)針（30小格）后，才能成一條直線。因此，需追及20+30）小格。解： （5x4+30）+（1—）=50+=54（分）答：在4點(diǎn)54分時(shí)，分針和時(shí)針在同一條直線上。3、在一點(diǎn)到二點(diǎn)之間，分針什么時(shí)候與時(shí)針構(gòu)成直角？分析：分針與時(shí)針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點(diǎn)時(shí)分針在時(shí)針后5x1=5小格，在成直角，分針必須追及并超過時(shí)針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5x1+15）小格或追及（5x1+45）小格。解： （5x1+15）+（1—）=20+=21（分）或（5x1+45）+（1—）=50+=54（分）答：在1點(diǎn)21分和1點(diǎn)54分時(shí)，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針正好處在一條直線上。看完書之后，巧得很，時(shí)針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點(diǎn)，是幾點(diǎn)敲幾下；半點(diǎn)敲一下）請(qǐng)你算一算小明從幾點(diǎn)開始看書？看到幾點(diǎn)結(jié)束的？分析：連半點(diǎn)敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時(shí)間是在中午12點(diǎn)以后。12點(diǎn)以后時(shí)針與分針：第一次成一條直線時(shí)刻是：（0+30）+（1—）=30-=32（分）即12點(diǎn)32分。第二次成一條直線時(shí)刻是：（5x1+30）+（1—）=35+=38（分）即1點(diǎn)38分。第三次成一條直線的時(shí)刻是：（5x2+30）+（1—）=40-=43（分）即2點(diǎn)43分。如果從12點(diǎn)32分開始，到1點(diǎn)38分，只敲2下，到2點(diǎn)43分，就共敲5下（不合題意）如果從1點(diǎn)38分開始到2點(diǎn)43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點(diǎn)38分開始看書，到2點(diǎn)43分時(shí)結(jié)束的。5、一只掛鐘，每小時(shí)慢5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間中午12點(diǎn)時(shí)，把鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間對(duì)準(zhǔn)。現(xiàn)在是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間下午5點(diǎn)30分，問，再經(jīng)過多長時(shí)間，該掛鐘才能走到5點(diǎn)30分？分析：1、這鐘每小時(shí)慢5分鐘，也就是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)鐘走60分時(shí)，這掛鐘只能走60—5=55（分），即速度是標(biāo)準(zhǔn)鐘速度的=2、因每小時(shí)慢5分，標(biāo)準(zhǔn)鐘從中午12點(diǎn)走到下午5點(diǎn)30分時(shí)，此掛鐘共慢了5x（17—12）=27（分），也就是此掛鐘要差27分才到5點(diǎn)30分。3、此掛鐘走到5點(diǎn)30分，按標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間還要走27分，因它的速度是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘速度的，實(shí)際走完這27分所要時(shí)間應(yīng)是27人解：5x（17—12）=27（分）27+=30（分）

答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點(diǎn)30分。一個(gè)鐘表一圈有60個(gè)小格，這里計(jì)算就以小格為單位。1分鐘時(shí)間，分針走1個(gè)小格，時(shí)針指走了1/60*5=1/12個(gè)小格，所以每分鐘分針比時(shí)針多走11/12個(gè)小格，以此作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)，對(duì)于解決類似經(jīng)過多長時(shí)間時(shí)針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。例1：從5時(shí)整開始，經(jīng)過多長時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線？5時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向右下方，此時(shí)兩者之間間隔為25個(gè)小格(表面上每個(gè)數(shù)字之間為5個(gè)小格)，如果要成直線，則分針要超過時(shí)針30個(gè)小格，所以在此時(shí)間段內(nèi)，分針一共比時(shí)針多走了55個(gè)小格。由每分鐘分針比時(shí)針都走11/12個(gè)小格可知，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時(shí)針與分針第一次成了直線。例2：從6時(shí)整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。

例3：在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直?8時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向左下方，兩者之間間隔為40個(gè)小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個(gè)是第一次垂直，此時(shí)兩者間隔為15個(gè)小格（分針落后時(shí)針），也就是分針比時(shí)針多走了25個(gè)小格，此段時(shí)間為25/（11/12）=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時(shí)兩者間隔仍為15個(gè)小格（但分針超過時(shí)針），也就是分針比時(shí)針多走了55個(gè)小格，此段時(shí)間為55/（11/12）=60分鐘，時(shí)間變?yōu)?時(shí)，超過了題意的8時(shí)多少分要求，所以在8時(shí)300/11分時(shí)，分針與時(shí)針垂直。由上面三個(gè)例題可以看出，求解此類問題（經(jīng)過多少時(shí)間，分針與時(shí)間成多少夾角）時(shí)，采用上述方法是非常方便、簡(jiǎn)單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是抓住分針比時(shí)針多走了多少個(gè)小格，而不論兩者分別走了多少個(gè)小格。下面再通過幾個(gè)例題來介紹這種方法的用法和要點(diǎn)。例4：從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線？9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之

間間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走15個(gè)小格，此段時(shí)間為15/(11/12)=180/11分鐘。例5：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘？9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要分針追上時(shí)針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/(11/12)=540/11分鐘。例6：時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線？時(shí)針和分針重合，也就是兩者間隔為0個(gè)小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘?！踞槍?duì)性練習(xí)】.十點(diǎn)與11點(diǎn)之間，兩針在什么時(shí)刻成直線(不包括重合情況)？()A.10時(shí)21分B,10時(shí)22分C,10時(shí)21 D,10時(shí)21分2現(xiàn)在是下午3點(diǎn)，從現(xiàn)在起時(shí)針和分針什么時(shí)候第一次重合？3。分針和時(shí)針每隔多少時(shí)間重合一次？一個(gè)鐘面上分針和時(shí)針一晝夜重合幾次？4。鐘面上5點(diǎn)零8分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？5。在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針什么時(shí)候成直角？

6.9點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離、'9〃的距離相等，并且在、'9〃的兩邊?【參考答案詳解】答案A滿足.分針：6度/分時(shí)針0.5度/分，十點(diǎn)時(shí)，兩針夾角為60度，設(shè)需要時(shí)間為x分，則如圖有60-0.5x=180-6x，x=分，即10時(shí)分兩針成直線。答案A滿足?，F(xiàn)在是下午3點(diǎn)，從現(xiàn)在起時(shí)針和分針什么時(shí)候第一次重合？解析：分針：6度/分 時(shí)針0.5度/分3點(diǎn)整，時(shí)針在分針前面15格，所以第一次重合時(shí)，分針應(yīng)該比時(shí)針多走15格，即90度，用追及問題的處理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分鐘，所以下午3點(diǎn)16分鐘，時(shí)針和分針第一次重合。分針和時(shí)針每隔多少時(shí)間重合一次？一個(gè)鐘面上分針和時(shí)針一晝夜重合幾次？解析：分針：6度/分 時(shí)針0.5度/分當(dāng)兩針第一次重合到第二次重合，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)360度。所以兩針再次重合需要的時(shí)間為：360/(6-0.5)=720/11分，一晝夜有：24x60=1440分，所以兩針在一晝夜重合的次數(shù)：1440分/(720/11)分/次=22次鐘面上5點(diǎn)零8分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？解析：分針：6度/分 時(shí)針0.5度/分5點(diǎn)零8分，時(shí)針成角：5x30+8x0,5=154度，分針成角：8x6=48度，所以夾角是154-48=106度。在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針什么時(shí)候成直角？解析：整4點(diǎn)時(shí)，分針指向12,時(shí)針指向4。此時(shí)，時(shí)針領(lǐng)先分針20格。時(shí)，分兩針成直角，必須使時(shí)針領(lǐng)先分針15格，