小學(xué)1-6年級數(shù)學(xué)知識點

數(shù)學(xué)知識點2019-7-8一、和差問題的公式二、和倍問題的公式三、差倍問題的公式四、相遇問題的公式五、盈虧問題的公式六、三角形七、圓1一、和差問題的公式和差應(yīng)用題，簡稱和差問題。221．基本公式.先求大數(shù)大數(shù)=（和+差）÷2小數(shù)=和－大數(shù)或者小數(shù)=大數(shù)-差.先求小數(shù)小數(shù)=（和-差）÷2大數(shù)=和－小數(shù)或者大數(shù)=小數(shù)+差2．列公式，假設(shè)兩數(shù)M（大數(shù)）和X，差為Y，那么先求大數(shù)：M=N=X-M或N=M-Y；也可以先求小數(shù)：N=，M=X-N或M=N+Y3．例題一批錫鋁合金共重500㎏，其中鋁比錫重100㎏，問兩種金屬各多少？解：答：（提示：解和差問題時，通常先用公式求一個數(shù)，再用減法求另一個數(shù)）應(yīng)用題：例1、參加體驗夏令營的學(xué)生共有96人，其中男生比女生多8人，男、女生各有多少人？男生：8人96人女生：2例2、學(xué)校排球、籃球共62個，排球比籃球多12個，排球、籃球各有多少個？例3、甲、乙兩車間共有工人260人，甲車間比一車間少30人，甲、乙兩車間各有工人多少人？例4、某校五、六年級共有324人，六年級的人數(shù)比五年級多46人，這個學(xué)校五、六年級各多少人？例5、小敏和他爸爸的平均年齡是29歲，爸爸比他大26歲。小敏和他爸爸年齡各是多少歲？例6、小寧與小方今年的年齡和是28歲，小寧比小芳小2歲，小芳今年多少歲？例7、小蘭期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分是96分，數(shù)學(xué)比語文多4分。小蘭語文、數(shù)學(xué)各得多少分？例8、媽媽星期天上街買衣服，花75元買了一條褲子和一件上衣。已知上衣比褲子貴15元，媽媽買上衣花了多少錢？例9、甲、乙兩人共用150元錢，如果甲增加13元，而乙減少27元，那么兩人的錢數(shù)就相等。甲、乙兩人各有多少元？3二、和倍問題的公式已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，我們通常叫做和倍問題。解題思路;簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式計算1.公式兩數(shù)和÷份數(shù)和=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)或兩數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)2.列公式，假設(shè)兩數(shù)M（大數(shù)）和是N的Y倍，那么大數(shù)：N=M=X-N；M=Y·N或3.舉例1、某校買了幾支紅鉛筆和白鉛筆，已知紅鉛筆和白鉛筆的和是64支，紅鉛筆是白鉛筆的3倍，求兩種鉛筆各幾支。2、小明有14本本子，其中，作文本是作業(yè)本的6倍。問：小明有作文本和作業(yè)本各多少？☆解析我們可以用解方程的方法來解答：1、“紅鉛筆是白鉛筆的3倍”表示白鉛筆是一倍數(shù)，紅鉛筆是三倍數(shù)。因此，我們可以把白鉛筆設(shè)為一倍x3x數(shù)：用表示，那么紅鉛筆就是白鉛筆的3倍，用表示，“紅鉛筆和白鉛筆的和是64支”就是說紅鉛筆的支數(shù)+白鉛筆的支數(shù)=64支（總支數(shù)）x3x解：設(shè)白鉛筆為（一倍數(shù)）支，那么紅鉛筆為支。x+=64x4=64=64÷4=16x=紅鉛筆：33×16=48（支）答：白鉛筆有16支，紅鉛筆有48支。應(yīng)用題例1、三堆糖果共有105顆，其中第一堆糖果的數(shù)量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的數(shù)量又比第二堆的2倍少3顆．第三堆糖果有多少顆？（難度：★★★）4例2、甲、乙、丙三個糧倉一共存有109噸糧食．其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍．問：甲糧倉比丙糧倉多存糧多少噸？（★★★）例3、549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和．如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等．求4個數(shù)各是多少？（☆☆☆☆）例4、有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？（☆☆☆）例5、果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵．桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？（☆☆☆）例6、某駐軍有三個坦克連，共有115輛坦克，一連坦克數(shù)量比二連的2倍多2，而二連的坦克數(shù)量比三連的3倍多1．請問：一連比三連多幾輛坦克？（★★★）5三、差倍問題的公式差倍問題即已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求出兩數(shù)。1.公式：差÷（倍數(shù)－1）=小數(shù)；小數(shù)+差或小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。2.列公式，假設(shè)兩數(shù)M（大數(shù)）和是N的Y倍，那么大數(shù)：N=M=X+N；M=Y·N或3.舉例例、兩根電線長度相差30米，長的那根是短的那根的4倍。這兩根電線各長多少米？分析與解答：這題的“差”=30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長：30÷(4－1)=10(米)，長的電線長：10+30=40(米)或10×4=40(米)。答：短的電線長10米，長的電線長40米。應(yīng)用題例2、甲、乙二工程隊，甲隊有56人，乙隊有34人。兩隊調(diào)走同樣多人后，甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的3倍。問：調(diào)動后兩隊各有多少人？例3、甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？6例4、小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？例5、李師傅生產(chǎn)的零件個數(shù)是徒弟的6倍，如果兩個人各再生產(chǎn)20個，那么李師傅生產(chǎn)零件的個數(shù)是徒弟的4倍，兩人原來各生產(chǎn)零件多少個？例6、某班買來單價為0.5元的練習(xí)本若干，如果將這些練習(xí)本只給女生，平均每人可得15本；如果將這些練習(xí)本只給男生，平均每人可得10本。那么，將這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人應(yīng)付多少錢?男生，平均每人可得10本,這兩句話說男生多。女生每人交15*0.5=7.5元男生每人交10*0.5=5.0元根據(jù)1510，可得男女比例為3：2。女生占2/5，男生占3/5。[7.5*3/5+5.0*2/5]/1=6元這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人應(yīng)付6元很遺憾，以上計算是錯誤的根據(jù)15，10，得出男女生比例是15：10.假設(shè)男生為15份，女生為10份。則總本數(shù)為15×10=1500.5×150÷（15+10）=3元。正確答案為3元。7四、相遇問題的公式兩個物體從兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過一段時間，必然會在途中相遇，這類題型就把它稱為相遇問題。相遇問題是研究速度，時間和路程三者數(shù)量之間的關(guān)系。1．基本概況兩個物體從兩地出發(fā),相向而行，經(jīng)過一段時間,必然會在途中相遇，這類題型就把它稱為相遇問題。相遇問題是研究速度,時間和路程三者數(shù)量之間關(guān)系的問題。它和一般的行程問題區(qū)別在：不是一個物體的運(yùn)動,所以,它研究的速度包含兩個物體的速度，也就是速度和。2．基本公式相遇問題的關(guān)系式是:速度和×相遇時間=路程；路程÷速度和=相遇時間；路程÷相遇時間=速度和。3.列公式速度為v（相對運(yùn)動的兩物體速度為S，時間為t;S÷（v1+v2）=t；S÷t=v1+v2；【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，而復(fù)雜的題目變通后再利用公式。4.舉例例南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？相距392km南京上海28km/h21km/h例1小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？例2甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。8五、盈虧問題的公式如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。（盈+虧）÷兩次分配量之差=參加分批的份數(shù)；（大盈-小盈）÷兩次分配量之差=參加分批的份數(shù)；（大虧-小虧）÷兩次分配量之差=參加分批的份數(shù)；例題講解：棵時810原有樹苗多少棵？2、少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？3485人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。問聽報告的學(xué)生有多少人？4、鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？95個則余10友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？6、某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學(xué)生可能有多少人？7、幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？8、有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？9、在若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則還缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？10、用繩測井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？1011、有兩根同樣長的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。原來每根繩子長多少米？12、有一個班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學(xué)？13、張宇上午7時20分從家里出發(fā)到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學(xué)校的上課時間。14、"六一"兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等?；ㄇ蛟瓋r1元錢2個，白球原價1元錢3個。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？15、蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？11☆盈虧問題例題講解：1、老師拿來一批樹苗，分給一些同學(xué)去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當(dāng)分剩下12810學(xué)？原有樹苗多少棵？12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學(xué)正好栽10棵。過這一句話，我們可以知道參加種樹的同學(xué)一共有12+8=20人，加上再拿來的8棵，一共有20*10=200棵。所以，原有樹苗=200-8=192棵。12+8=20名，原有樹苗20*10-8=192棵。534個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即：應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖6個樹坑，形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。那么它就相當(dāng)于每人挖6個樹坑，就要差（6-4）*2=4個樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就是3+4=7，所以，有少先隊員7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個坑。名，共挖了5*7+3=38個樹坑。3、學(xué)校安排學(xué)生到會議室聽報告。如果每3人坐一條長椅，那么剩下48人沒有坐；若每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。問聽報告的學(xué)生有多少人？48+5*2=58，所以，長椅的數(shù)量就等于條。那么，聽報告的人數(shù)等于29*3+48=135人。條，聽報告的學(xué)生有29*3+48=135人。1元25支鋼筆差1元58支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？東西。因此，我們要利用盈虧問題的公式計算就必須將它轉(zhuǎn)化成為同一對象--鋼筆或者圓珠筆。小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，我們可以將它轉(zhuǎn)化成買5支圓珠筆，因為我們知道鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，把買5支鋼筆改買5支圓珠筆，就要省下6元錢，也就是比原來差1元5角，反而可以多出6元-1元5角=4元5角。這樣我們就將原來的問題轉(zhuǎn)化成了：小明帶的錢買5支圓珠筆多4元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？那么，盈虧總數(shù)=4元5角-6角=3元9元9元3角。所以，小明共有8*1元3角+6角=11元。5支鋼筆差1元5角，相當(dāng)于買5支圓珠筆多4元5角，每支圓珠筆的價錢=（4元5角-6角）/8-5）=1元3角。小明帶了8*1元3角+6角=11元。5、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？5個則余10個，大班比小班多3個小朋友，相當(dāng)于分給小班的12小朋友每人5個則余10+3*5=25個，盈虧總數(shù)=25+2=27，小班人數(shù)=27/（8-5）=9人，蘋果有9*5+25=70個。8332個人，寢室就要增加10個，問這批學(xué)生可能有多少人？8個人，要用33個寢室，那么人數(shù)肯定多于32*8=256人，但不超過33*8=264人；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，即如果每個寢室安排6個人，要用43個寢室，那么人數(shù)肯定多于42*6=252人，但不超過43*6=258人；兩次比較，人數(shù)應(yīng)該多于256人，不超過258人。所以，這批學(xué)生可能有257或258人。256數(shù)不超過258人。這批學(xué)生可能有257或258人。7、幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據(jù)盈虧人，糖果最多有9*11-1=98塊；最后一人分不到9塊，但8人，糖果最多有9*18-8=154塊；所以，這批糖果最多有154塊。人，糖果最多18*9-8=154快。8、有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？4本，有剩余；每人5本，書不夠。說明第一組人數(shù)少于48/4=12人，多于48/5=9......3，即9人；如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。說明第二組人數(shù)少于48/3=16人，多于48/4=12人；因為已知第二組比第一組多5人，所以，第一組只能是10人，第二組15人。12916人，多于12人。因為已知第二組比第一組多5人，所以，第二組有15人。9、在若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則還缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？88張則還缺少5即如果我們在每盒中加5盒共加408*8=6460張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，4/4==11，說明有11人。8盒，小朋友人數(shù)有（4+5*8）/4=11人。10、用繩測井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？13米。米，繩長=（10+2）*3=36米。11、有兩根同樣長的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。原來每根繩子長多少米？2米。那么，如果同樣是5段的話，第二種就要比第一種少5*2=10米，現(xiàn)在第二種7段和第一種5段一樣長，說明第二種的兩段長是10米，也就是說每一段為10/2=5米。所以，繩子長為5*7=35米。7*（2*5/2）=35米。12、有一個班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學(xué)？條，也就是說，每條船坐6人正好，每條船坐9人則空出兩條船。這樣就是一個盈虧問題的標(biāo)準(zhǔn)形式了。條，這個班共有6*6=36名同學(xué)。13、張宇上午7時20分從家里出發(fā)到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學(xué)校的上課時間。7+5=127*50+5*35=52535）=35分鐘。所以，上課時間是7點55分。分鐘，學(xué)校上課時間為7點55分。14、"六一"兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等?；ㄇ蛟瓋r1元錢2個，白球原價1元錢3個。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？1元錢2個，白球原價1元錢3個。即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢303010/2=530/2+30/3=25元?，F(xiàn)在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30元，說明花球和白球各買30個能省下25-24=1元?，F(xiàn)在共省了4元，說明花球和白球各有30*4=120個，共買了120*2=240個。304元，花球和白球各買30*4=120個。所以，小明共買了240個球。15、蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？只蘋果和3只梨裝一袋比5只蘋果和3只梨裝一袋多了2只蘋果，梨從剛好到多12只，相當(dāng)于把原來裝好的袋拿出了12/3=4袋，抽出其中的蘋果（4*5=20只）和原來剩下的4只（共20+4=24只）蘋果，添加到其余原來裝好的袋子中去。每袋添加2只，添加了24/2=12袋剛12+4=1616*5+4=8416*3=4884+48=132只。只蘋果和3只梨裝一袋，共裝了24/2+4=16袋，所以，蘋果和梨共有=16*（3+5）=4=132只。14六、三角形三角形是由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，在數(shù)學(xué)、建筑學(xué)有應(yīng)用。銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形。1、分類①、按角分判定法一：1、銳角三角形：三角形的三個內(nèi)角都小于90度。2、直角三角形：三角形的三個內(nèi)角中一個角等于90度，可記作Rt△。3、鈍角三角形：三角形的三個內(nèi)角中有一個角大于90度。判定法二：1、銳角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角小于90度。2、直角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角等于90度。3、鈍角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角大于90度，小于180度。其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。②、按邊分1、不等邊三角形；不等邊三角形，數(shù)學(xué)定義，指的是三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形。2、等腰三角形；等腰三角形（isosceles為這個三角形的腰。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等（簡寫成“等邊對等三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰三角形的腰與它的高的關(guān)系，直接的關(guān)系是：腰大于高。60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質(zhì)。2、周長公式若一個三角形的三邊分別為，則周長C=a+b+c153、面積公式1S=（面積=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所對應(yīng)的高）注釋：三邊均可為底，2應(yīng)理解為：三邊與之對應(yīng)的高的積的一半是三角形的面積。這是面積法求線段長度的基礎(chǔ)。4、四線中線ABDC高ACDB角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線（bisectorofABC中位線三角形的三邊中任意兩邊中點的連線叫中位線。它平行于第三邊且等于第三邊的一半。A△ABC中，D為AB中點，E為BC中點DB連接DE，則DE為△ABC的中位線，且ED∥AC；EC165、性質(zhì)1、在平面上三角形的內(nèi)角和等于2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。3、在平面上三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和。推論：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。4、一個三角形的三個內(nèi)角中最少有兩個銳角。5、在三角形中至少有一個角大于等于60度，也至少有一個角小于等于60度。6、三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。7、在一個直角三角形中，若一個角等于30度，則30度角所對的直角邊是斜邊的一半。*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。9、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。10、三角形的三條角平分線交于一點，三條高線的所在直線交于一點，三條中線交于一點。11、三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的3/4。12、等底同高的三角形面積相等。13、底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底之比。14、三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。6、邊角關(guān)系三角函數(shù)給出了直角三角形中邊和角的關(guān)系，可以用來解三角形。三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中超越函數(shù)的一類。7、全等三角形定義兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。[3]特點全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊也相等。翻折，平移，旋轉(zhuǎn)，多種變換疊加后仍全等判定1、兩個三角形對應(yīng)的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"；5、兩個直角三角形對應(yīng)的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“斜邊、直角178、相似三角形定義對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。特點1、相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。3、相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。4、相似三角形對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比。判定1、如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡稱：2、如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角3、如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似（簡4、如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。18七、圓在一個平面內(nèi)，一動點以一定點為中心，以一定長度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線叫做圓。圓有無數(shù)個對稱軸。在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。圓可以表示為集合{M||MO|=r},圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2是圓心，r是半徑。圓形是一種圓錐曲線，由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到。圓是一種幾何圖形。根據(jù)定義，通常用圓規(guī)來畫圓。同圓內(nèi)圓的直徑、半徑長度永遠(yuǎn)相同，圓有無數(shù)條半徑和無數(shù)條直徑。圓是軸對稱、中心對稱圖形。對稱軸是直徑所在的直線。同時，圓又是接近于圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是概念性的圖形。中文名圓外文名Circle別圍幾何圖形圖形表示⊙稱圓形表達(dá)式（x-a)2+（y-b)22應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)適用領(lǐng)域范圓的定義第一定義圓形一周的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓，等圓有無數(shù)條對稱軸。圓是一個正n邊形（n0但永遠(yuǎn)無法等于0。第二定義1的常數(shù)，則此動點的軌跡是圓。證明：點坐標(biāo)為(x1,y1)與(x2,y2)，動點為(x,y)，距離比為k，由兩點距離公式。滿足方程(x-x1)2+(y-y1)2=k2×[(x-x2)2+(y-y2)2]當(dāng)k不為1時，整理得到一個圓的方程。幾何法：假設(shè)定點為A，B，動點為P，滿足|PA|/|PB|=P點作角APB的內(nèi)、外角平分線，交AB與AB的延長線于C，D兩點由角平分線性質(zhì)，角CPD=90°。由角平分線定理：PA/PB=AC/BC=AD/BD=k，注意到唯一k確定了C和D的位置，C在線段AB內(nèi)，D在AB延長線上，對于所有的P，P在以CD為直徑的圓上。1、相關(guān)特點徑1.連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r（radius）2.通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為對稱軸圓的直徑d=2r弦1.連接圓上任意兩點的線段叫做弦（chord）.在同一個圓內(nèi)最長的弦是直徑。直徑所在的直線是圓的對稱軸，因此，圓的對稱軸有無數(shù)條?；?.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。╝rc）以“⌒”表示。192.大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧，所以半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧一般用三個字母表示，劣弧一般用兩個字母表示。優(yōu)弧是所對圓心角大于180度的弧，劣弧是所對圓心角小于180度的弧。3.在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條弧叫做等弧。角1.頂點在圓心上的角叫做圓心角（central2.頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。圓周率圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，通常用字母π表示，≈3.1415926535......計算時通常取近似值3.14。我們可以說圓的周長是直徑的π倍，或大約3.14倍，不能直接說圓的周長是直徑的3.14倍。形1.由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。2.2、表示方式圓—⊙；半徑—r或；扇形弧長—L；周長—C；面積—S。3、計算公式圓的周長公式圓的周長：C=2πr=πd圓周長的一半c=πr半圓的周長c=πr+2r圓的面積公式圓的面積計算公式：S=πr4、位置關(guān)系點和圓位置關(guān)系①P在圓O外，則PO>r。②P在圓O上，則PO=r。③P在圓O內(nèi)，則PO<r。20反之亦然。直線和圓位置關(guān)系①直線和圓無公共點，稱相離。AB與圓O相離，d>r。②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d<r。③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。圓心與切點的連線垂直于切線。AB與⊙O為圓心到直線的距離）圓和圓位置關(guān)系①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。②有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P<R-r；內(nèi)切P=R-r；相交R-r<P<R+r。5、圓的性質(zhì)⑴圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理①在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同③如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AC與BD分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（6）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。（7）圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。（8）周長相等，圓面積比正方形、長方形、三角形的面積大。21例題例1一個等腰三角形，一條邊是5厘米，另一條邊是12厘米，這個等腰三角形的周長是多少厘米?例2一個平行四邊形相鄰兩邊的長度分別是12厘米和18厘米，其中條邊上的高是15厘米，另一條邊上的高是多少厘米?例3王大爺用竹籬笆圍了一個半圓形的養(yǎng)雞場。已知養(yǎng)雞場的直徑是12米?；h笆長多少米?養(yǎng)雞場占地面積是多大?22☆三角形例題講解：例1一個等腰三角形，一條邊是5厘米，另一條邊是12厘米，這個等腰三角形的周長是多少厘米?【分析】三角形邊與邊之間的關(guān)系，是三角形知識中的重要內(nèi)容，但在解題中容易被忽視。此題看似簡單：等腰三角形的兩腰相等，那么腰長可能是5厘米，也可能是12厘米，再